Iya Savvina sort diplômée, en 1958, de la faculté de journalisme de Moscou, à l'Université d'État de la région de Moscou, où elle a participé à des spectacles d'étudiants.
En 1960, Iossif Kheifitz lui donne le premier rôle dans la version filmée de la nouvelle de TchekhovLa Dame au petit chien qui emporte un immense succès, tant en U.R.S.S. (malgré le thème de l'adultère) qu'à l'étranger. Ce film subtil en noir et blanc qui illustre, de façon presque minimaliste, le déchaînement des passions, fait une grande impression sur la génération des années 1960 de l'ère khrouchtchévienne, plus sensible que la génération précédente. Il reçoit le prix de la meilleure participation au Festival de Cannes, en 1960[2].
En 1987, le grand public découvre Le Bonheur d'Assia, film réalisé en 1967 par Andreï Kontchalovski, mais censuré par les autorités de l'époque, où Savvina joue le personnage principal. Pour ce rôle elle est nommée au prix Nika pour sa performance ; puis, en 1990, elle reçoit le prix des frères Vassiliev.
Iya Savvina est nommée Artiste du peuple de l'URSS en 1990 et reçoit de nombreuses décorations russes, dont l'Ordre du Mérite pour la Patrie de 4e classe (2006). En 1999, elle est lauréate des Turandot de cristal. En 2007, elle est nommée au prix du meilleur second rôle féminin de l'Aigle d'or pour son rôle dans le film En écoutant le silence.
