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En mathématiques, l'inégalité de Bonnesen^[1]^,^[2] est un raffinement de l'inégalité isopérimétrique dans le plan euclidien. Elle énonce qu'une courbe de Jordan (courbe fermée sans croisement) de longueur $L$ englobant une surface $S$ d'aire $A$ vérifie l'inégalité :

\pi ^{2}(R-r)^{2}\leqslant L^{2}-4\pi A

où $r$ et $R$ sont respectivement les rayons d'un plus grand disque inclus dans la surface (de circonférence un cercle inscrit) et du plus petit disque englobant (de circonférence un cercle circonscrit)cette surface $S$ .

L'inégalité de Bonnesen généralise l'inégalité isopérimétrique car elle implique cette dernière. En effet, d'après l'inégalité de Bonnesen,

4\pi A\leqslant L^{2}-\underbrace {\pi ^{2}(R-r)^{2}} _{\geqslant 0}\leqslant L^{2}

On retrouve bien l'inégalité isopérimétrique :

L^{2}\geqslant 4\pi A.

Le nom de cette inégalité honore Tommy Bonnesen (en) qui fut le premier à établir cette inégalité^[3].

Démonstration

La démonstration présentée ici, due à Hugo Hadwiger^[4], montre un résultat un peu plus précis: les deux rayons $r$ et $R$ sont situés entre les deux racines de la fonction polynomiale du second degré qui à t associe l'aire de la surface $S+tB$ où tB est le disque de rayon t centrée en l'origine.

La valeur –r est d'image négative par le polynôme qui, à t associe l'aire de la surface S + tB :

On considère un compact convexe non vide $S$ , un cercle inscrit, de rayon $r$ et un cercle circonscrit $C$ de rayon $R$ . Cette situation est illustrée sur la figure de gauche, le compact convexe est le carré violet, le cercle $C$ est illustré en bleu et le cercle inscrit en vert. La technique utilisée consiste à considérer la zone bleue Z correspondant aux points de $C$ qui ne sont pas dans $S$ . La surface Z + rB est doublement mesurée, les symboles rB désignent ici la boule de rayon r et de centre le vecteur nul. Cette figure recouvre intégralement $S$ et définit un disque de rayon R + r, illustré en jaune. On en déduit une première égalité :

A(Z+r{\mathcal {B}})=\pi (R+r)^{2}.

On découpe alors la surface Z en deux par une droite Δ passant par les centres des deux cercles inscrit et circonscrit. La partie supérieure de Z est notée Z_s, comme indiquée sur l'illustration à droite. La somme de Minkowski de Z_s et de rB correspond, dans la partie supérieure à la droite Δ, à un demi-disque, de rayon R + r. Si l₁ et l₂ sont les longueurs des deux intersections de Z avec Δ (voir la figure), l'intersection de la somme avec la partie inférieure à la droite Δ possède une aire égale à πr² + (l₁ + l₂)r. On en déduit l'égalité :

A(Z_{s}+r{\mathcal {B}})={\frac {\pi }{2}}(R+r)^{2}+(l_{1}+l_{2})r+\pi r^{2}.

Il est aussi possible d'évaluer cette aire à l'aide de la formule de Steiner-Minkowski. Comme Z_s n'est pas convexe, la formule est une majoration et non pas une égalité :

A(Z_{s}+r{\mathcal {B}})={\frac {\pi }{2}}(R+r)^{2}+(l_{1}+l_{2})r+\pi r^{2}\leq A(Z_{s})+(\pi R+l_{1}+l_{2}+p_{s})r+\pi r^{2}.

Ici p_s désigne la longueur de la partie supérieure de la frontière de S. On peut appliquer exactement le même raisonnement à la partie inférieure à la droite Δ. En utilisant l'indice i pour décrire la partie inférieure, on obtient :

A(Z_{i}+r{\mathcal {B}})={\frac {\pi }{2}}(R+r)^{2}+(l_{1}+l_{2})r+\pi r^{2}\leq A(Z_{i})+(\pi R+l_{1}+l_{2}+p_{i})r+\pi r^{2}.

En sommant les deux majorations :

\pi (R+r)^{2}+2(l_{1}+l_{2})r+2\pi r^{2}\leq A(Z)+2\pi Rr+2\pi r^{2}+2(l_{1}+l_{2})r+pr.

Le périmètre p de S est en effet la somme de p_s et de p_i. L'aire de Z est aussi égale à la différence de l'aire d'un disque de rayon R avec l'aire a de S, ce qui donne :

\pi (R+r)^{2}+2\pi r^{2}\leq \pi R^{2}-a+2\pi Rr+2\pi r^{2}+pr\quad {\text{et}}\quad a-pr+\pi r^{2}\leq 0.

La dernière majoration signifie que -r est d'image négative par le polynôme associant à t l'aire de S + tB.

La valeur –R est d'image négative par le polynôme qui, à t associe l'aire de la surface S + tB :

On applique exactement le même raisonnement que le précédent en remplaçant le coefficient r par R, le rayon du cercle circonscrit (R n'est-il pas trop grand pour que cela soit possible ?). On obtient la majoration :