Image (mathématiques)

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En mathématiques, la notion d’image est reliée à la notion d’application avec plusieurs définitions distinctes.

Étant donné une application  :

  • pour tout élément x de E, l’unique élément qui lui est relié dans F est appelé image de x par f, et dans ce cas on dit que x est un antécédent de par f ;
  • l’ensemble des images des éléments de E est appelé ensemble image de f, ou simplement image de f, et se note  ;
f(X) est en jaune.
  • pour tout sous-ensemble , l’image directe de A par f est l’ensemble des images des éléments de A par f : , autrement dit c’est l’ensemble des éléments de F qui ont au moins un antécédent par f ;
  • pour tout sous-ensemble , l’image réciproque ou préimage de B par f est l’ensemble des antécédents des éléments de B par f :

Cette terminologie n'est pas réservée aux seules fonctions d'une variable réelle mais à toute transformation ; ainsi on parle de l'image de la figure par symétrie.

f est surjective.

L'ensemble image ne doit pas être confondue avec l'ensemble d'arrivée (ou codomaine) de f. Pour une fonction donnée f : X → Y, l'ensemble de définition est X et l'ensemble d'arrivée est Y. L'image f(X) de X par f, aussi appelée l'image de f, est en général seulement un sous-ensemble strict de Y. On a f(X) = Y si et seulement si f est une surjection.

Image d'une fonction

Une fonction numérique ou complexe associe toujours à tout élément de l'ensemble de définition E un unique élément de l'ensemble d'arrivée F, c'est la définition d'une fonction. L'image de par se note et correspond au nombre associé à x par f. A une image peut correspondre plusieurs antécédents.

exemple : pour , 8 a pour image , mais 64 a pour antécédents

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