En mathématiques, et plus spécifiquement en topologie algébrique, les groupes d'homotopie des sphères sont des invariants qui décrivent, en termes algébriques, comment des sphères de dimensions et égales ou différentes peuvent s'enrouler l'une sur l'autre. La notion, définie au départ pour des sphères de dimension 1 (cercles) et de dimension 2, se généralise à des sphères de toutes dimensions (les -sphères).
Définition et premières propriétés
Le groupe d'homotopie d'ordre de la sphère de dimension , , est l'ensemble, noté , des classes d'homotopie d'applications continues qui envoient un point fixé de la sphère sur un point fixé de la sphère .
Cet ensemble (pour et fixés), noté , peut être muni d'une structure de groupe abélien.
Si , ce groupe est réduit à un seul élément : .
Si , ce groupe est monogène infini (c'est-à-dire infini et engendré par un seul élément) : (cela résulte du point précédent, par le théorème d'Hurewicz).
Si , le groupe est soit un groupe fini, soit la somme d'un groupe fini et d'un groupe infini monogène.
La suite spectrale de Serre fut inventée pour calculer les groupes d'homotopie des sphères, mais aucune liste complète de ces groupes n'est connue.
Pour calculer ces groupes, on utilise aussi les fibrations de Hopf et la technique des variétés équipées (framed en anglais) qui provient de la théorie du cobordisme.
Les tables de groupes d'homotopies sont plus facilement organisées en présentant
en fonction de et de :
Sn
πn
πn+1
πn+2
πn+3
πn+4
πn+5
πn+6
πn+7
πn+8
πn+9
πn+10
πn+11
πn+12
πn+13
πn+14
πn+15
πn+16
πn+17
S1
Z
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
S2
Z
Z
Z2
Z2
Z12
Z2
Z2
Z3
Z15
Z2
Z22
Z12×Z2
Z84×Z22
Z22
Z6
Z30
Z30
Z6×Z2
S3
Z
Z2
Z2
Z12
Z2
Z2
Z3
Z15
Z2
Z22
Z12×Z2
Z84×Z22
Z22
Z6
Z30
Z30
Z6×Z2
Z12×Z62
S4
Z
Z2
Z2
Z× Z12
Z22
Z22
Z24×Z3
Z15
Z2
Z23
Z120× Z12×Z2
Z84×Z25
Z26
Z24× Z6×Z2
Z2520× Z6×Z2
Z30
Z62×Z2
Z24×Z12× Z6 ×Z62
S5
Z
Z2
Z2
Z24
Z2
Z2
Z2
Z30
Z2
Z23
Z72×Z2
Z504×Z22
Z23
Z6×Z2
Z6×Z2
Z30×Z2
Z22
Z4 ×Z22
S6
Z
Z2
Z2
Z24
0
Z
Z2
Z60
Z24×Z2
Z23
Z72×Z2
Z504×Z4
Z240
Z6
Z12×Z2
Z60×Z6
Z504×Z22
Z24
S7
Z
Z2
Z2
Z24
0
0
Z2
Z120
Z23
Z24
Z24×Z2
Z504×Z2
0
Z6
Z24×Z4
Z120×Z23
Z24
Z24
S8
Z
Z2
Z2
Z24
0
0
Z2
Z× Z120
Z24
Z25
Z242×Z2
Z504×Z2
0
Z6×Z2
Z240× Z24×Z4
Z120×Z25
Z27
Z6×Z24
S9
Z
Z2
Z2
Z24
0
0
Z2
Z240
Z23
Z24
Z24×Z2
Z504×Z2
0
Z6
Z16×Z4
Z240×Z23
Z24
Z24
S10
Z
Z2
Z2
Z24
0
0
Z2
Z240
Z22
Z×Z23
Z12×Z2
Z504
Z12
Z6
Z16×Z2
Z240×Z22
Z240×Z2
Z23
S11
Z
Z2
Z2
Z24
0
0
Z2
Z240
Z22
Z23
Z6×Z2
Z504
Z22
Z6×Z2
Z16×Z2
Z240×Z2
Z2
Z23
S12
Z
Z2
Z2
Z24
0
0
Z2
Z240
Z22
Z23
Z6
Z× Z504
Z2
Z6×Z2
Z48× Z4×Z2
Z240×Z2
Z2
Z24
S13
Z
Z2
Z2
Z24
0
0
Z2
Z240
Z22
Z23
Z6
Z504
Z2
Z6
Z16×Z2
Z480×Z2
Z2
Z24
S14
Z
Z2
Z2
Z24
0
0
Z2
Z240
Z22
Z23
Z6
Z504
0
Z×Z3
Z8×Z2
Z480×Z2
Z24×Z2
Z24
S15
Z
Z2
Z2
Z24
0
0
Z2
Z240
Z22
Z23
Z6
Z504
0
Z3
Z4×Z2
Z480×Z2
Z23
Z25
S16
Z
Z2
Z2
Z24
0
0
Z2
Z240
Z22
Z23
Z6
Z504
0
Z3
Z22
Z× Z480×Z2
Z24
Z26
S17
Z
Z2
Z2
Z24
0
0
Z2
Z240
Z22
Z23
Z6
Z504
0
Z3
Z22
Z480×Z2
Z24
Z25
S18
Z
Z2
Z2
Z24
0
0
Z2
Z240
Z22
Z23
Z6
Z504
0
Z3
Z22
Z480×Z2
Z22
Z×Z24
S19
Z
Z2
Z2
Z24
0
0
Z2
Z240
Z22
Z23
Z6
Z504
0
Z3
Z22
Z480×Z2
Z22
Z24
S20
Z
Z2
Z2
Z24
0
0
Z2
Z240
Z22
Z23
Z6
Z504
0
Z3
Z22
Z480×Z2
Z22
Z24
Pour les « grandes » dimensions, on a :
(première colonne en jaune du tableau précédent)
(deuxième colonne — en mauve — du tableau précédent)
(troisième colonne — turquoise — du tableau précédent)
Comme il peut être conjecturé, il s'avère que est indépendant de pour suffisamment grand. Ce phénomène est connu sous le nom de stabilité. Il résulte du théorème de suspension de Freudenthal suivant :
Le morphisme de suspension est un isomorphisme pour
et un épimorphisme (morphisme surjectif) pour .
Liste des groupes d'homotopie stable
Les premiers groupes stables sont les suivants :
Les groupes d'homotopie stable sont finis sauf pour .
À partir de , la décomposition de se complique, par exemple :
Groupes d'homotopie stable avec inférieur à 60
0
1
2
3
4
5
6
7
Z
Z2
Z2
Z24=Z8⊕Z3
0
0
Z2
Z240 =Z16⊕Z3⊕Z5
8
9
10
11
12
13
14
15
Z22
Z23
Z6=Z2⊕Z3
Z504 =Z8⊕Z9⊕Z7
0
Z3
Z22
Z480⊕Z2 =Z32⊕Z2⊕Z3⊕Z5
16
17
18
19
20
21
22
23
Z22
Z24
Z8⊕Z2
Z264⊕Z2 =Z8⊕Z2⊕Z3⊕Z11
Z24 = Z8⊕Z3
Z22
Z22
Z16⊕Z8⊕Z2 ⊕Z9⊕Z3 ⊕Z5⊕Z7⊕Z13
24
25
26
27
28
29
30
31
Z22
Z22
Z22⊕Z3
Z24=Z8⊕Z3
Z2
Z3
Z6=Z2⊕Z3
Z64⊕Z22⊕Z3 ⊕Z5⊕Z17
32
33
34
35
36
37
38
39
Z24
Z25
Z4⊕Z23
Z8⊕Z22⊕Z27 ⊕Z7⊕Z19
Z6=Z2⊕Z3
Z22⊕Z3
Z2⊕Z60= Z2⊕Z4⊕Z3⊕Z5
Z16⊕Z25⊕Z32 ⊕Z25⊕Z11
40
41
42
43
44
45
46
47
Z25⊕Z4⊕Z3
Z25
Z8⊕Z22⊕Z3
Z552 =Z8⊕Z3⊕Z23
Z8
Z16⊕Z23 ⊕Z9⊕Z5
Z24⊕Z3
Z32⊕Z4⊕Z23 ⊕Z9⊕Z3 ⊕Z5⊕Z7⊕Z13
48
49
50
51
52
53
54
55
Z24⊕Z4
Z22⊕Z3
Z3⊕Z23
Z8⊕Z4⊕Z22⊕Z3
Z23⊕Z3
Z24
Z4⊕Z2
Z16⊕Z32⊕Z5⊕Z29
56
57
58
59
60
61
62
63
Z22
Z24
Z22
Z8⊕Z22⊕Z9 ⊕Z7⊕Z11⊕Z31
Z4
0
Z24⊕Z3
Z128⊕Z4⊕Z22⊕Z3 ⊕Z5⊕Z17
p-composantes des groupes d'homotopie stable
La table précédente incite à s'intéresser à la classe de congruence modulo 4 de k, si p est un nombre premier supérieur ou égal à 7 :
Si k est pair (colonnes , , , du tableau précédent),
ou si k est congru à 1 modulo 4 (colonnes et du tableau précédent), alors la p-composante de est nulle (0) quel que soit p premier supérieur ou égal à 7.
Si k est congru à 3 modulo 4 (colonnes et du tableau précédent) et si p est premier et supérieur ou égal à 7, alors la p-composante de est
cyclique et d'ordre p () si divise ,
sinon elle est nulle ().
Par exemple :
si et sinon ;
si et sinon ;
si et sinon ;
si et sinon.
La complexité réside essentiellement dans les 2-, 3- et 5- composantes du groupe .
Groupes d'homotopie non stables
Les premiers groupes non stables sont les suivants :
En dimension 2 et 3 () :
En dimension 4 :
Groupes d'homotopie infinis
Les groupes d'homotopie stables sont finis sauf pour ().
Les groupes d'homotopie instables sont finis sauf les groupes (avec p > 0). Ces derniers (, , , …)
sont isomorphes à la somme directe de et d'un groupe fini.
Groupes d'homotopie non nuls
On sait que si , il y a une infinité de groupes qui sont non nuls (ce sont des résultats de Jean-Pierre Serre).
Les groupes d'homotopie stable servent à décrire les groupes de h-cobordisme(en) des homotopies orientées de sphères, qui pour différent de 4 est le groupe des sphères exotiques orientées de dimension .
Les groupes d'homotopie des sphères sont liés aux classes de cobordisme des variétés.
En géométrie algébrique, on définit les qui sont les sphères de dimension et de poids .
On peut définir les groupes d'homotopie stable des sphères comme colimites (ou limites inductives) de l'ensemble des classes d'homotopie d'applications de vers