Elliott étudie à l'Université Queen's située à Kingston où il obtient sa maîtrise en 1966) et à l'Université de Toronto, où il soutient sa thèse en 1969 sous la direction d'Israel Halperin avec comme sujet de recherche : Derivations of Matroid C* Algebras[2].
En tant que post-doctorant il travaille à l'Université Queen's et à l'Université de la Colombie-Britannique ainsi qu'à l'Institute for Advanced Study en 1971/72. En 1972 il devient assistant-professeur à l'Université de Copenhague. De 1979 à 1985 il est de plus professeur adjoint à l'Université d'Ottawa et à partir de 1984 à l'Université de Toronto, où il est actuellement professeur titulaire.
Depuis 1974 il est marié avec la mathématicienne Noriko Yui qui travaille à l'Université Queen's.
