D'abord intéressé par la boxe, Côté s'oriente ensuite vers la course à pied et la raquette en 1931. Il complète son premier marathon à Montréal en 1934. Il prend part au marathon de Boston pour la première fois en 1936 et il y remporte la victoire à quatre reprises, soit en 1940, 1943, 1944 et 1948. En 1940, il établit le record du parcours et mérite le trophée Lou Marsh décerné à l'athlète canadien de l'année. Il fut le premier francophone à se voir attribuer cette récompense. Son meilleur résultat au marathon de Boston fut établi en 1943 avec un temps de 2 h 28 min 25 s.
Parmi ses plus grandes réalisations en 25 ans de carrière, il y a ses 4 victoires au marathon de Boston. En 1940, à sa première victoire, il établit un nouveau record de parcours en terminant le marathon avec un chrono de 2 h 28 min 28 s. En 1948 après sa 4e victoire à Boston, il devient le 2e plus grand vainqueur de cette épreuve. Aujourd'hui encore, seul Clarence DeMar (7) a plus de victoires que Côté à Boston. Cependant, le Kenyian Robert Kipkoech Cheruiyot et l'Américain Bill Rodgers ont égalé la marque du Québécois.
À l'occasion des jeux olympiques de Montréal de 1976, le comité organisateur l'a choisi pour allumer la vasque sur le mont royal au terme du relais de la flamme olympique[1].
