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En analyse réelle, une fonction à variation lente est une fonction d'une variable réelle dont le comportement à l'infini est similaire à celui d'une fonction qui converge à l'infini. De même, une fonction variant régulièrement est une fonction d'une variable réelle dont le comportement à l'infini est similaire à celui d'une fonction de loi de puissance (comme un polynôme) proche de l'infini. Ces deux classes de fonctions ont été introduites par Jovan Karamata^[1]^,^[2] et ont trouvé plusieurs applications importantes, par exemple en théorie des probabilités.

Définitions

La théorie de Karamata a pour objet l'étude de relations asymptotiques de la forme

{\lim _{x\to \infty }{\frac {L(ax)}{L(x)}}}=g(a)\in (0,\infty )

.

En particulier, une fonction mesurable $L:(0,\infty )\to (0,\infty )$ est dite à variation lente (à l'infini) si, pour tout $a>0$ , on a

\lim _{x\to \infty }{\frac {L(ax)}{L(x)}}=1

.

Une fonction $L:(0,\infty )\to (0,\infty )$ est à variation régulière si, pour tout $a>0$ , on a

\lim _{x\to \infty }{\frac {L(ax)}{L(x)}}\in \mathbb {R} _{+}

.

En particulier, la limite doit donc être finie.

Ces définitions sont dues à Jovan Karamata^[1]^,^[2].

Propriétés de base

Les fonctions à variation régulière ont des propriétés importantes^[1] dont une partie est détaillée ci-dessous. Des analyses plus poussées des propriétés caractérisant la variation régulière sont présentées dans la monographie de Bingham, Goldie & Teugels (1987).

Uniformité du comportement limite

Dans les deux définitions, les limites sont uniformes sur des parties compactes du paramètre $a>0$ .

Théorème de caractérisation de Karamata

Théorème — Tout fonction à variation régulière est de la forme

f(x)=x^{\beta }L(x)

où $\beta$ est un nombre réel et $L$ et une fonction à variation lente.

Cela implique que la fonction $g(a)=\lim _{x\to \infty }{\frac {L(ax)}{L(x)}}$ dans la définition est nécessairement de la forme :

g(a)=a^{\rho }

pour un nombre réel $\rho$ ; ce nombre est appelé l'indice de variation régulière, et la classe des fonctions de cet indice est notee $R_{\rho }$

Théorème de représentation de Karamata

Théorème — Une fonction $L$ varie lentement si et seulement s'il existe un nombre $B>0$ tel que pour tout $x\geq B$ , la fonction peut s'écrire sous la forme

L(x)=\exp \left(\eta (x)+\int _{B}^{x}{\frac {\varepsilon (t)}{t}}\,dt\right)

où $\eta (x)$ est une fonction bornée mesurable qui converge vers un nombre fini quand $x$ tend vers l’infini et $\varepsilon$ est une fonction mesurable bornée qui tend vers 0 quand $x\to \infty$ .

Théorème de Karamata

Théorème — Si $f\in R_{\rho }$ et $\sigma >-(\rho +1)$ , alors

{\frac {x^{\sigma +1}f(x)}{\int _{a}^{x}{t^{\sigma }f(t)}{dt}}}\rightarrow \sigma +\rho +1(x\rightarrow \infty ).

Cela signifie que la fonction $L$ dans la formule $f(x)=x^{\rho }L(x)$ se comporte asymptotiquement comme une constante sous l'intégration. Inversement, l'équation implique $f\in R_{\rho }$ .

Exemples

Si $L$ est une fonction mesurable et a une limite

\lim _{x\to \infty }L(x)=b\in (0,\infty ),

alors

L

est une fonction variant lentement.

La fonction $L(x)=\log ^{\beta }(x)$ varie lentement pour tout nombre réel $\beta$ .
Ni la fonction $L(x)=x$ ni la fonction $L(x)=x^{\beta }$ pour $\beta \neq 0$ ne varie lentement. Cependant, ces fonctions varient régulièrement.

Applications

Une application importante de la théorie de Karamata à l'analyse est le théorème taubérien de Karamata (ou théorème de Hardy-Littlewood-Karamata) :

Théorème — Soit $f\in R_{\rho }$ (avec $\rho \geq 0$ ) une fonction croissante, avec la transformée de Laplace-Stieltjes

{\widehat {f}}(s)=\int _{0}^{\infty }{e^{-sx}}{df(x)}

.

On a $f(x)\sim c{{x^{\rho }L(x)}/{\Gamma (1+\rho )}}$ quand $x\rightarrow \infty$ avec $c\geq 0$ , et $L\in R_{0}$ si et seulement si ${\widehat {f}}(s)\sim cs^{-\rho }L({1/s})$ ( $s\downarrow 0$ ).

La réunion des classes $R_{\rho }$ , pour $\rho \in \mathbb {R}$ , est la classe des fonctions à variation régulière notée $R$ . Cette classe est contenue dans la classe plus large ER des fonctions régulières étendues, elle-même incluse dans la classe OR des fonctions à variation 0-régulière : $R\subset ER\subset OR$ . De même qu'une fonction $f\in R$ possède un indice $\rho$ de variation régulière, et donc $f\in R_{\rho }$ , une fonction $f\in ER$ admet un couple $(c(f),d(f))$ d'indices de Karamata supérieurs et inférieurs (et ceux-ci sont égaux si et seulement si $f\in R$ ) et une fonction $f\in OR$ possède une paire $\alpha (f),\beta (f)$ d'indices de Matuszewska supérieur et inférieur. Ces classes ER et OR ont des propriétés analogues à celles décrites ci-dessus, par exemple, les théorèmes de convergence uniforme et de représentation sont valables.

La théorie de Karamata a été largement utilisée dans plusieurs domaines de l'analyse, comme les théorèmes taubériens et abéliens et le théorème de Mercer, la théorie de Levin-Pfluger de croissance complètement régulière des fonctions entières^[2], et est également utile dans les questions asymptotiques en théorie analytique des nombres^[2]. Elle a été largement utilisée aussi en théorie des probabilités, à la suite des travaux de W. Feller^[3].

Voir également

Théorie analytique des nombres
Théorème taubérien de Hardy-Littlewood et son traitement par Karamata.

Références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Karamata Theory » (voir la liste des auteurs).

↑ ^{a b et c} (Galambos et Seneta 1973)
↑ ^{a b c et d} (Bingham, Goldie et Teugels 1987).
↑ W. Feller, An introduction to probability theory and its applications, Springer (1976).