La courbe de Gosper peut être représentée en utilisant un L-système avec les règles suivantes :
Angle: 60°
Axiome:
Règles:
Dans ce cas, à la fois A et B signifient "avancer", + signifie "tourner à gauche à 60 degrés" et - signifie "tourner à droite à 60 degrés", en utilisant un programme de type "tortue" comme Logo.
Construction
La courbe de Gosper est obtenue par un processus itératif consistant à remplacer, à chaque itération, chaque segment par 7 segments d'une longueur réduite de 1/√7.
Première itération
Quatrième itération.
La courbe ayant ainsi 7 similitudes internes de rapport 1/√7, sa dimension fractale tend vers 2, elle pave donc le plan.
À l'infini, l'ensemble rempli par la courbe est appelé île de Gosper.
Île de Gosper
La frontière de l'île de Gosper — baptisée par Benoît Mandelbrot (1977)[1] — peut également être obtenue, à partir d'un hexagone, de manière itérative comme suit.
À chaque itération, chaque segment est remplacé par 3 segments √7 fois plus courts. La dimension de Hausdorff de cette frontière vaut donc 2 ln(3)/ln(7)= 1,12915.
Sept copies de l'île de Gosper juxtaposées forment une île de Gosper √7 fois plus grande, comme illustré ci-dessous. Le pavage est non seulement possible à l'infini mais également à chaque niveau d'itération.
