En géométrie différentielle, la conjecture de Willmore fournit la valeur de la borne inférieure de l'énergie de Willmore d'un tore. Elle tire son nom du mathématicien anglais Tom Willmore, qui l'a proposée en 1965^[1]. Une démonstration a été annoncée en 2012 puis publiée en 2014 par Fernando Codá Marques et André Neves^[2],[3].

Soit v : M → R ³ une immersion douce d'une surface compacte et orientable. Donnant à M la métrique riemannienne induite par v, soit H : M → R la fonction courbure moyenne (moyenne arithmétique des courbures principales K₁ et K₂ en chaque point). Avec ces notations, l’énergie de Willmore W (M) de M est donnée par :

${\displaystyle }$${\displaystyle W(M)=\int _{M}H^{2}\,dS}$.

Il n’est pas difficile de prouver que l’énergie de Willmore vérifie W(M) ≥ 4π, avec égalité si et seulement si v(M) est une sphère.

Le calcul de W (M) dans quelques cas particuliers suggère qu’il devrait y avoir une meilleure borne que W (M)  ≥  4 π pour les surfaces de genre g (M)  >  0. En particulier, le calcul de W (M) pour des tores présentant diverses symétries a amené Willmore à proposer en 1965 la conjecture suivante, qui porte désormais son nom :

Pour tout tore M immergé dans R³, W(M) ≥ 2π².

En 2012, Fernando Codá Marques et André Neves ont prouvé la conjecture en utilisant la théorie mini-max Almgren – Pitts des surfaces minimales^[2],[3]. Martin Schmidt avait annoncé une preuve en 2002^[4] mais sa publication n’a été acceptée dans aucune revue mathématique évaluée par des pairs (bien qu’elle ne contienne pas de preuve de la conjecture de Willmore, elle contient des démonstrations d’autres conjectures importantes). Avant la preuve de Marques et Neves, la conjecture de Willmore avait déjà été prouvée dans de nombreux cas particuliers, comme les tores à section circulaire (par Willmore lui-même) et les tores de révolution (par Langer & Singer).

Tore de Willmore sur mathcurve.

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