PROFILPELAJAR.COM

En géométrie plane euclidienne, le cercle de Van Lamoen d'un triangle $\mathrm {T}$ est le cercle qui contient les centres des cercles circonscrits des six triangles définis à l'intérieur de $\mathrm {T}$ par ses trois médianes^[1]^,^[2].

Plus précisément, pour les trois sommets $A$ , $B$ , $C$ d'un triangle $\mathrm {T}$ , on note $G$ son centre de gravité (l'intersection de ses trois médianes). Soient $M_{a}$ , $M_{b}$ , et $M_{c}$ les milieux des côtés $BC$ , $CA$ , et $AB$ , respectivement. Il apparait alors que les centres des cercles circonscrits des six triangles intérieurs $AGM_{c}$ , $BGM_{c}$ , $BGM_{a}$ , $CGM_{a}$ , $CGM_{b}$ , et $AGM_{b}$ se situent sur un cercle commun, qui est le cercle de Van Lamoen de $\mathrm {T}$ ^[2].

Histoire

Le cercle de Van Lamoen porte le nom du mathématicien Floor van Lamoen (nl) qui l'a posé comme problème en 2000^[3]^,^[4]. Une preuve a été fournie en 2001^[4], et les éditeurs de l'American Mathematical Monthly en 2002^[1]^,^[5].

Propriétés

Le centre du cercle de Van Lamoen est le point $X(1153)$ dans la liste complète des centres du triangle de Clark Kimberling^[1].

En 2003, il a été mis en évidence que la réciproque du théorème est presque vraie, dans le sens où, pour un point $P$ quelconque à l'intérieur du triangle $\mathrm {T}$ , et $AA'$ , $BB'$ , et $CC'$ les céviennes passant par $P$ , c'est-à-dire les segments de droite qui relient chaque sommet à $P$ et sont étendus jusqu'à ce que chacun rencontre le côté opposé. Alors les centres des cercles circonscrits des six triangles $APB'$ , $APC'$ , $BPC'$ , $BPA'$ , $CPA'$ , et $CPB'$ sont cocyliques si et seulement si $P$ est le centre de gravité de $\mathrm {T}$ (ce qui donne le cercle de Van Lamoen) ou son orthocentre (l'intersection de ses trois hauteurs, cas du cercle d'Euler)^[6]. Une preuve plus simple de ce résultat a été donnée en 2005^[7].

Généralisation

Dans le cas d'un point quelconque du plan, Kimberling avait remarqué que les six centres des cercles circonscrits étaient tous sur une même conique^[8].

Une extension du théorème de van Lamoen est donné par Myakishev :

On considère deux triangles

ABC

et

A_{1}B_{1}C_{1}

, deux triangles homologiques de centre d'homologie

M

et de même centre de gravité

G

. Alors les centres des cercles circonscrits des six triangles intérieurs

AMB_{1}

,

B_{1}MC

,

CMA_{1}

,

A_{1}MB

,

BMC_{1}

, et

C_{1}MA

se situent sur un cercle commun^[6]^,^[9].

Le théorème de van Lamoen correspond au cas particulier où $A_{1}B_{1}C_{1}$ est le triangle médian de $ABC$ .

Voir également

Références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Van Lamoen circle » (voir la liste des auteurs).

↑ ^{a b et c} (en) Clark Kimberling, « Encyclopedia of Triangle Centers » (consulté le 10 octobre 2014). Voir X(1153) = Center of the van Lemoen circle.
↑ ^{a et b} (en) Eric W. Weisstein, « van Lamoen circle », sur MathWorld
↑ (en) Floor van Lamoen, « Problem 10830 », American Mathematical Monthly, vol. 107,‎ 2000, p. 893
↑ ^{a et b} (en) Kin Y. Li, « Concyclic problems », Mathematical Excalibur, vol. 6, n^o 1,‎ 2001, p. 1–2 (lire en ligne)
↑ (en) Floor van Lamoen, « Solution to Problem 10830 », American Mathematical Monthly, vol. 109, n^o 4,‎ 2022, p. 396-397.
↑ ^{a et b} (en) Alexey Myakishev et Peter Y. Woo, « On the Circumcenters of Cevasix Configuration », Forum Geometricorum, vol. 3,‎ 2003, p. 57–63 (lire en ligne)
↑ (en) N. M. Ha, « Another Proof of van Lamoen's Theorem and Its Converse », Forum Geometricorum, vol. 5,‎ 2005, p. 127–132 (lire en ligne)
↑ (en) Clark Kimberling, « Triangle centers and central triangles », Congressus Numerantium, vol. 129,‎ 1998, p. 1–285
↑ (en) Oai Thanh Dao, « A Synthetic proof of A. Myakishevus generalization on van Lamoen Circle theorem and an application », International Journal of Geometry, vol. 3, n^o 2,‎ 2014 (lire en ligne)