McEvoy ne joue pas lors de la défaite de Blackburn en finale de la FA Cup 1960 contre les Wolves.
Lors de la saison 1963-64, il est le meilleur buteur de la First Division avec 32 buts puis partage ce titre en 1964-65 avec Jimmy Greaves et leur 29 buts chacun.
Blackburn est relégué en 1966 et après une saison en Division Two, il retourne en Irlande jouer chez les Limerick FC avec qui il remporte la FAI Cup en 1971.
Il remporte son 17e et dernier match avec la république d'Irlande contre la Tchécoslovaquie en 1967. Il a en tout inscrit six buts pour son pays.
(en) Stephen McGarrigle, The Complete who's who of Irish international football : 1945-1996, Edimbourg, Mainstream Publishing, , 237 p. (ISBN1-85158-894-9), p. 124