Aleksei Paramonov commence sa carrière dans un petit club de la ville de Moscou avec lequel il joue deux saisons. Le club du VVS Moscou est fondé et dispute sa première saison en 1946 avec Paramonov dans ses rangs mais il joue très peu lors des deux saisons 1946 et 1947.
Aventure au Spartak
Aleksei Paramonov n'attend pas la fin de la saison 1947 pour se diriger vers le Spartak Moscou. D'abord, il est mis sur la touche mais en 1948, il joue 26 matchs et marque huit buts. Ses deux premières saisons avec le Spartak se concluent par des troisièmes places.
Le , il fait ses débuts en équipe nationale contre la Suède. En 1956, il remporte pour la troisième fois le championnat d'URSS et est sélectionné pour les Jeux Olympiques de 1956 où il remporte la médaille d'or.
La saison 1958 le voit faire le doublé coupe-championnat et il prend sa retraite après une triste saison 1959 qui ne le voit jouer que cinq matchs.
Entraîneur
Un an après sa décision de prendre sa retraite, Aleksei Paramonov entraîne l'équipe des moins de 19 ans de l'URSS pendant cinq ans avant de partir en Tunisie pour l'Étoile du Sahel, remportant le championnat tunisien en 65-66 et échouant à la seconde place en 66-67.
Il revient en URSS en 1967 pour entraîner les moins de 21 ans de l'équipe nationale avant d'être épisodiquement adjoint de l'équipe première, notamment sous Gavriil Kachalin.
Il revient pour une saison à l'Étoile du Sahel mais ne peut faire mieux que la cinquième place en 76-77.
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