Alors, l'entropie S = S(U,V,N) du gaz (défini par son volume V, son énergie interne U et son nombre de particules N) vaut :
Courbes entropie-température des gaz parfaits monoatomiques classiques et quantiques (gaz de Fermi, gaz de Bose(en)) en trois dimensions. Bien qu'elles soient en bon accord à température élevée, elles divergent à basse température où l'entropie classique (équation de Sackur-Tetrode) commence à prendre des valeurs négatives.
soit en développant :
.
Les expressions ci-dessus supposent que le gaz est dans le régime classique et est décrit par la statistique de Maxwell-Boltzmann (avec le "décompte correct de Boltzmann"). D'après la définition de la longueur d'onde thermique, cela signifie que l'équation de Sackur-Tetrode est valable uniquement quand :
L'entropie prédite par l'équation de Sackur-Tetrode tend vers moins l'infini quand la température tend vers zéro.
En chimie, on préfère parfois retenir plutôt l'enthalpie libre G = U + NkT -TS = -NkT. Ln P/P(T) avec P(T) = kT/Vo :
La constante de Sackur–Tetrode, écrite S0/R, est égale à S/kBN évaluée à la température de T = 1 kelvin, à la pression standard (100 kPa ou 101,325 kPa, à préciser), pour une mole d'un gaz idéal composé de particules de masse égale à l'unité de masse atomique unifiée (mu = 1,66053906660(50)×10−27 kg). Sa valeur recommandée par CODATA 2018 est :
S0/R = −1,151 707 537 06 ± (45) pour po = 100 kPa[5]
S0/R = −1,164 870 523 58 ± (45) pour po = 101,325 kPa[6].
Gaz rares
En chimie, on donne l'entropie molaire standard dans les conditions standard (25 °C, P = 1 × 105 Pa).
On pourra vérifier que les données s'accordent pour donner :
S° = S°(M=1) +3/2 R.Ln M
avec une assez bonne corrélation à condition de modifier légèrement pour l'hélium la correction de de Boer ; S°(M=1) est même négative, ce qui laisse parfois perplexes certains[Quoi ?], inattentifs à la condition de non-dégénérescence.
En comptant en bit[Quoi ?]/molécule, on retient que pour l'Argon,
S° =~ 27 bits/molécule pour M = 40 : évidemment il faut S° assez grand, sinon la dégénérescence quantique doit être évaluée.
↑Sackur publia ses découvertes dans la série suivante d'articles :
(de) O. Sackur, « "Die Anwendung der kinetischen Theorie der Gase auf chemische Probleme" » [« The application of the kinetic theory of gases to chemical problems »], Annalen der Physik, vol. 36, , p. 958–980.
O. Sackur, "Die Bedeutung des elementaren Wirkungsquantums für die Gastheorie und die Berechnung der chemischen Konstanten" (The significance of the elementary quantum of action to gas theory and the calculation of the chemical constant), Festschrift W. Nernst zu seinem 25jährigen Doktorjubiläum gewidmet von seinen Schülern (Halle an der Saale, Germany: Wilhelm Knapp, 1912), pages 405–423.
(de) O. Sackur, « "Die universelle Bedeutung des sog. elementaren Wirkungsquantums" » [« The universal significance of the so-called elementary quantum of action »], Annalen der Physik, vol. 40, , p. 67–86
↑(de) H. Tetrode, « "Die chemische Konstante der Gase und das elementare Wirkungsquantum" » [« The chemical constant of gases and the elementary quantum of action »], Annalen der Physik, vol. 38, , p. 434–442
↑(de) H. Tetrode, « Berichtigung zu meiner Arbeit: "Die chemische Konstante der Gase und das elementare Wirkungsquantum" » [« Correction to my work: "The chemical constant of gases and the elementary quantum of action" »], Annalen der Physik, vol. 39, , p. 255–256 (lire en ligne)
![{\displaystyle {\frac {S}{kN}}=\ln \left[{\frac {V}{N\Lambda ^{3}}}\right]+{\frac {5}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f1cd15c69b66a8ae6f497fc7144105c0b542137)
![{\displaystyle S=kN\ln \left[\left({\frac {V}{N}}\right)\left({\frac {U}{N}}\right)^{\frac {3}{2}}\right]+{\frac {3}{2}}kN\left({\frac {5}{3}}+\ln {\frac {4\pi m}{3h^{2}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43877d5ad3b5b697818e920f9ce8473ea6b5857a)
