Rollen lause

Rollen lause on erikoistapaus differentiaalilaskennan Cauchyn väliarvolauseesta, jonka todistuksessa Rollen lausetta hyödynnetään. Lauseen julkaisi ensimmäisenä Michel Rolle vuonna 1691.

Rollen lauseen mukaan suljetulla välillä $[a,b]$ jatkuvan ja avoimella välillä $(a,b)$ derivoituvan funktion derivaatta saa arvon $0$ jossain avoimen välin $(a,b)$ pisteessä $c$ , mikäli funktio saa saman arvon suljetun välin $[a,b]$ päätepisteissä $a$ ja $b$ . ^[1] Tämä voidaan ilmaista formaalisti muodossa

f(a)=f(b)\quad \Longrightarrow \quad \exists \ c\in (a,b):f'(c)=0.

Todistus

Oletuksen nojalla funktio $f$ on jatkuva välillä $[a,b]$ , joten Weierstrassin lauseen mukaan se saa suurimman ja pienimmän arvonsa tällä välillä. Jos suurin ja pienin arvo saavutetaan välin päätepisteissä $a$ ja $b$ , niin kyseessä on vakiofunktio ja derivaatta $f'(x)=0$ jokaisessa välin pisteessä.

Oletetaan sitten, että kyseessä ei ole vakiofunktio ja maksimi saavutetaan välin $(a,b)$ pisteessä $x$ . Osoitetaan, että tässä pisteessä $f'(x)=0$ . Käsitellään erikseen vasemman- ja oikeanpuoleiset derivaatat.

(i) Käsitellään ensin vasemmanpuoleiset derivaatat. Jos $y<x$ , niin erotusosamäärälle on voimassa epäyhtälö

{\frac {f(x)-f(y)}{x-y}}\geq 0,

sillä osoittaja on positiivinen tai 0, koska $f(x)$ on funktion suurin arvo. Samoin nimittäjä on positiivinen, koska $x-y>0$ . Siten myös erotusosamäärän raja-arvolle eli derivaatalle pätee epäyhtälö

\lim _{y\to x}{\frac {f(x)-f(y)}{x-y}}\geq 0.

Tämä perustuu siihen, että funktio $f$ on derivoituva, jolloin sekä vasemman- että oikeanpuoleiset derivaatat ovat olemassa.

(ii) Käsitellään sitten oikeanpuoleiset derivaatat. Jos $y>x$ , niin erotusosamäärälle on voimassa epäyhtälö

{\frac {f(x)-f(y)}{x-y}}\leq 0,

sillä osoittaja on positiivinen tai 0, koska $f(x)$ on funktion suurin arvo, ja nimittäjä on negatiivinen, koska $x-y<0$ . Funktion derivaatta toteuttaa nyt epäyhtälön

\lim _{y\to x}{\frac {f(x)-f(y)}{x-y}}\leq 0.

(iii) Koska funktio $f$ on derivoituva pisteessä $x$ , niin erotusosamäärän vasemman- ja oikeanpuoleisten raja-arvojen tulee olla yhtäsuuret. Yhtäsuuruus toteutuu vain, kun sekä kohdan (i) että kohdan (ii) raja-arvot ovat nollia. Tästä päätellään, että

f'(x)=0.

Kun merkitään $c=x$ , niin todistus on päätöksessään. $\scriptstyle \square$

Katso myös

Jatkuvien funktioiden väliarvolause

Lähteet

↑ Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013), s. 350–351 (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf). Viitattu 8.7.2019.

Wikimedia Commonsissa on kuvia tai muita tiedostoja aiheesta Rollen lause.

Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.

Read other articles:

Orecchiette

OrecchietteJenisPastaDaerahApuliaBahan utamaTerigu, airSunting kotak info • L • BBantuan penggunaan templat ini Media: Orecchiette Orecchiette adalah pasta khas Puglia, sebuah wilayah di Italia Selatan. Nama mereka berasal dari bentuknya, yang menyerupai telinga kecil. Orecchietta berbentuk kubah kecil, dengan bagian tengahnya lebih tipis dari ujungnya, dan dengan permukaan yang kasar. Seperti jenis pasta lainnya, orecchiette dibuat dengan gandum durum dan air. Telur j...

Acridotheres ginginianus

Bank myna Acridotheres ginginianus Uttar Pradesh, IndiaStatus konservasiRisiko rendahIUCN22710929 TaksonomiKerajaanAnimaliaFilumChordataKelasAvesOrdoPasseriformesFamiliSturnidaeGenusAcridotheresSpesiesAcridotheres ginginianus Latham, 1790 lbs Acridotheres ginginianus adalah beo yang ditemukan di bagian utara Asia Selatan. Ini lebih kecil tetapi serupa dalam pewarnaan dengan kerak ungu, hanya berbeda dalam memiliki kulit telanjang berwarna merah bata di belakang mata, bukan kuning. Itu adalah ...

Gundremmingen

Maltese (anjing)

Maltese Maltese Puppy Negara asal Central Mediterranean Area [1] Ciri-ciri Jumlah anak Rata-rata tiga anak anjing Klasifikasi & standar FCI Grup 9 Seksi 1 #65 standar AKC toy group standar ANKC Group 1 (Toys) standar CKC Group 5 - Toys standar KC (UK) Toy standar NZKC Toy and Teacup standar UKC Companion Breeds standar Maltese adalah sejenis anjing kecil dalam kategori anjing mainan. Nama anjing ini yang berarti dari Malta dalam bahasa Inggris, biasanya tidak diterjemahkan dalam ...

نشيد دوري أبطال أوروبا

نشيد دوري أبطال أوروبا أغنية دوري أبطال أوروبا الفنان دوري أبطال أوروبا تاريخ الإصدار 1992 اللغة إنجليزية، فرنسية، ألمانية الكاتب توني بريتن تلحين جورج فريدريك هاندل إنتاج الاتحاد الأوروبي لكرة القدم تعديل مصدري - تعديل نشيد دوري أبطال أوروبا (بالإنجليزية: UEFA Champ...

Battle of Wevelinghoven

Last battle of the Thirty Years' War Battle of WevelinghovenPart of Thirty Years' WarDate14 June 1648LocationWevelinghovenResult Hessian victoryBelligerents Holy Roman Empire Hesse-CasselCommanders and leaders Guillaume de Lamboy Johann von GeysoStrength 6,500 men 11 guns 4,600 men 5 gunsCasualties and losses 1,000 dead1,500 captured11 guns captured 168 dead180 wounded70 captured vteThirty Years' War Bohemian Revolt (1618–1620) Pilsen Lomnice Sablat Wisternitz Bautzen White Mountain N...

Herreys

HerreysAsalSwediaGenrePopTahun aktif1984–sekarangLabelBeragamAnggotaPer HerreyRichard HerreyLouis Herrey Richard & Per 2016 Herreys (terkadang Herrey's[1] atau Herrey[2]), adalah sebuah grup musik pop asal Swedia, yang terdiri dari tiga kakak beradik penganut Mormon: Per Herrey (kelahiran 9 Agustus 1958), Richard Herrey (kelahiran 19 Agustus 1964) dan Louis Herrey (kelahiran 3 November 1966). Mereka memenangkan Kontes Lagu Eurovision 1984 dengan lagu Diggi-Loo Diggi-Ley....

Kitab Raksasa

Kitab RaksasaPenulisnilai tidak diketahui BahasaYunani, Persia Kuno, Bahasa Sogdiana, Uighur, Arab dan Suryani SubjekNefilim, Malaikat yang jatuh, Kanibalisme dan Air bah (Nuh) Diterbitkan30 MaretSebelumnyaKitab Henokh Selengkapnya di Wikidata Malaikat yang jatuh: malaikat agung perkasa memimpin malaikat Surga ketika mereka mengusir Lucifer (Setan) dan para malaikat pemberontaknya dari alam surga. Ilustrasi oleh Gustave Doré tentng 'Perang di Surga' diambil dari Paradise Lost karya Milton. K...

Gurkha

Esta página cita fontes, mas que não cobrem todo o conteúdo. Ajude a inserir referências. Conteúdo não verificável pode ser removido.—Encontre fontes: ABW • CAPES • Google (N • L • A) (Abril de 2017) Ilustração de gurcas em 1815. Os gurcas, também gurkhas ou gorkhas ( /ˈɡɜːrkə,_ˈɡʊərʔ/), com o endônimo gorkhali (em nepalês: गोर्खाली), são soldados nativos do subcontinente indiano, residind...

Sir Alexander Grant, 10th Baronet

British landowner and historian For the Canadian politician, see Alexander Grant (disambiguation). Bust of Sir Alexander Grant by Charles McBride, Old College, University of Edinburgh Sir Alexander Grant, 10th Baronet, FRSE (23 September 1826 – 30 November 1884) was a British landowner and historian who served Principal of the University of Edinburgh from 1868 to 1884. He had strong links to India, especially Bombay. Biography Early life He was born in New York City, the son of Sir Rob...

中华人民共和国国家元首列表

提示：此条目页的主题不是中華人民共和國最高領導人。中华人民共和国中华人民共和国政府与政治系列条目执政党中国共产党党章、党旗党徽主要负责人、领导核心领导集体、民主集中制意识形态、组织以习近平同志为核心的党中央两个维护、两个确立全国代表大会（二十大）中央委员会（二十届）总书记：习近平中央政治局常务委员会中央书记处 �...

2016年美國總統選舉

2016年美國總統選舉 ← 2012 2016年11月8日 2020 → 538個選舉人團席位獲勝需270票民意調查投票率55.7%[1][2] ▲ 0.8 % 获提名人唐納·川普希拉莉·克林頓政党共和黨民主党家鄉州紐約州紐約州竞选搭档迈克·彭斯蒂姆·凱恩选举人票 304[3][4][註 1] 227[5] 胜出州/省 30 + 緬-2 20 + DC 民選得票 62,984,828[6] 65,853,514[6]...

Fresh Water Generator (FWG)

Gaya atau nada penulisan artikel ini tidak mengikuti gaya dan nada penulisan ensiklopedis yang diberlakukan di Wikipedia. Bantulah memperbaikinya berdasarkan panduan penulisan artikel. (Pelajari cara dan kapan saatnya untuk menghapus pesan templat ini) Plate Type Fresh Water Generator. Fresh Water Generator (FWG). Fresh Water Generator (FWG) adalah alat pembuat air tawar dengan jalan menguapkan air laut didalam penguap (Evaporator) dan uap air laut tersebut didinginkan dengan cara kondensasi ...

Michael Harty (politician)

Irish former non-party politician (b. 1955) Michael HartyChair of the Committee on HealthIn office4 April 2016 – 14 January 2020Preceded byJerry ButtimerSucceeded bySeán CroweTeachta DálaIn officeFebruary 2016 – February 2020ConstituencyClare Personal detailsBorn (1955-04-07) 7 April 1955 (age 69)Limerick, IrelandPolitical partyIndependentAlma materRoyal College of Surgeons Michael Harty (born 7 April 1955) is an Irish former independent politician who served as a...

Backhoe

Type excavating equipment (vehicle) Not to be confused with Backnoe End. This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: Backhoe – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (April 2011) (Learn how and when to remove this message) A Cat 420F In Arlington Massachusetts USA A backhoe—also called rear actor ...

1991 European Cup Winners' Cup final

Football match1991 European Cup Winners' Cup finalMatch programme coverEvent1990–91 European Cup Winners' Cup Manchester United Barcelona 2 1 Date15 May 1991VenueStadion Feijenoord, RotterdamRefereeBo Karlsson (Sweden)Attendance43,500← 1990 1992 → The 1991 European Cup Winners' Cup final was a football match played between Manchester United and Barcelona on 15 May 1991 at Feijenoord Stadion, Rotterdam. It was the final match of the 1990–91 European Cup Winners' Cup and the 31s...

Pablo Granoche

Pablo GranocheGranoche con la maglia del Modena nel 2015Nazionalità Uruguay Altezza182 cm Peso74 kg Calcio RuoloAllenatore (ex attaccante) Termine carriera1º luglio 2022 - giocatore CarrieraGiovanili Tacuarembó Squadre di club1 2001 Tacuarembó1 (0)2001-2002 River Plate (M)9 (0)2002-2005 Miramar Misiones56 (38)2005-2006 Toluca13 (2)2006→ Veracruz15 (1)2006-2007 Coatzacoalcos27 (23)2007-2009 Triestina62 (31)2009-2011 Chievo48 (4)2011-201...

Itamar Franco

Pour les articles homonymes, voir Franco. Itamar Franco Itamar Franco en 1992. Fonctions Président de la république fédérative du Brésil[N 1] 29 décembre 1992 – 1er janvier 1995(2 ans et 3 jours) Élection 17 décembre 1989 (vice-président) Vice-président Vacant Gouvernement Franco Prédécesseur Fernando Collor Successeur Fernando Henrique Cardoso Vice-président de la république fédérative du Brésil 15 mars 1990 – 29 décembre 1992(2 ans, 9 mois et 14...

谷澤達也

谷澤達也名前愛称ヤザー、たっちゃん[1]カタカナヤザワタツヤラテン文字 YAZAWA Tatsuya基本情報国籍日本生年月日 (1984-10-03) 1984年10月3日（39歳）出身地静岡県焼津市身長 175cm体重 75kg選手情報ポジション MF利き足右足[1] クラブ1年クラブ出場 (得点)2003-2007 柏レイソル 116 (8)2008-2010 ジェフユナイテッド市原・千葉 88 (15)2011-2012 FC東京 57 (6)2012-2016 ジェフユナ...

Dmitry Yazov

Soviet minister of defence In this name that follows Eastern Slavic naming customs, the patronymic is Timofeyevich and the family name is Yazov. Marshal of the Soviet UnionDmitry YazovДмитрий ЯзовYazov in 2013Minister of DefenceIn office30 May 1987 – 28 August 1991PremierNikolai RyzhkovValentin PavlovPreceded bySergei SokolovSucceeded byYevgeny Shaposhnikov Personal detailsBornDmitry Timofeyevich Yazov(1924-11-08)8 November 1924Yazovo, Russian SFSR, Soviet UnionDied2...

Eriko Sato

Interkontinentala cupen 1982

Tress MacNeille

New South Wales Open (golf)

Quaternary International

Gloster Grouse

Miss Grand Laos

North Hobart, Tasmania

Lyle Moffat

Crystl Bustos

Surat

Ein starkes Team: Scharfe Schnitte