Björkquist opiskeli seemiläisiä kieliä, filosofiaa ja pedagogiikkaa Uppsalan yliopistossa ja suoritti filosofian lisensiaatin tutkinnon 1909[1]. Hän oli vuosina 1917–1942 perustamansa Sigtuna-säätiön kansanopiston ja kansankorkeakoulun johtaja. Björkquist oli keskeinen hahmo Sigtuna-säätiön, sen kansankorkeakoulun sekä Sigtunan humanistisen koulun (Sigtunastiftelsens Humanistiska Läroverk) perustamisessa ja oli samalla nuorkirkkoliikkeen ja kristillisen kulttuuriliikkeen keskeisiä hahmoja. Sigtuna-säätiön tarkoituksena oli toimia nuorkirkkoliikkeen keskuksena sekä luoda paikka, jossa kirkollinen elämä ja kulttuurielämä voisivat kohdata avoimessa ilmapiirissä.[2]
Björkquist piispantarkastuksessa Tukholman Johanneksen seurakunnassa
Björkquist valittiin vuonna 1942 toimintansa aloittaneen Tukholman hiippakunnan ensimmäiseksi piispaksi. Piispanvaalissa eniten ääniä saivat Visbyn piispa Torsten Ysander, Linköpingin piispa Tor Andræ ja Strängnäsin piispa Gustaf Aulén. Kun näihin annettuihin ääniin lisättiin tuomiokapitulissa annettu äänet, Aulén ja Björkquist olivat saaneet yhtä monta ääntä. Kolmannesta ehdokassijasta jouduttiin siten arpomaan, arpa suosi Björkquistiä, ja hallitus nimitti hänet Tukholman piispaksi vaikka hän ei ollut pappi. Hän otti kuitenkin vastaan pappisvihkimyksen muutamaa viikkoa ennen piispaksi vihkimistä, joka tapahtui 29. marraskuuta 1942 Uppsalan tuomiokirkossa. Hän oli saanut Lundin yliopistonteologian kunniatohtorin arvon 1923.[3]
Björkquistin laaja kirjallinen tuotanto on tyyliltään usein aforistista[4].
