Juoksu-uran László Tábori aloitti 1950-luvun alussa edustaen armeijan budapestiläistä urheiluseuraa Honvedia. Vuodesta 1955 tuli sitten hänen huippukautensa samoin kuin seuratoverilleen Sándor Iharosille. Vuonna 1953 ja 1954 László Tábori oli jo mukana Unkarin kvartetissa, joka teki maailmanennätykset 4 × 1 500 metrillä. Toukokuun 28. 1955 Taborista tuli Bannisterin ja Landyn jälkeen maililla seuraava neljän minuutin alittaja Lontoon White City Stadiumilla juostussa kisassa ajalla 3.59,0.[3] Hänen kanssaan samassa kisassa tuli kaksi muutakin uutta neljän minuutin alittajaa eli britit Chataway ja Hewson ajalla 3.59,8.[4] Syyskuun 6. päivä Oslossa juostussa 1 500 metrin kisassa Tábori ja Gunnar Nielsen sivusivat Rózsavölgyin kesällä juoksemaa ME:tä 3.40,8.[5]
Olympiavuoden 1956 piti olla sitten Iglóin johtaman keskimatkojen unkarilaisen juoksijakolmikon Iharos, Rózsavölgyi ja Tábori juhlaa. Useampia mitaleja siis odotettiin. He olivat suursuosikkeja marras-joulukuussa pidettäviin Melbournen kesäolympialaisiin. Tilanne kuitenkin muuttui. Tábori ja Rózsavölgyi matkustivat kisoihin, mutta Iharos ei lähtenyt lainkaan Melbourneen.[6] Tábori menestyi heistä paremmin sijoittuen neljänneksi 1 500 metrillä ja kuudenneksi 5 000 metrillä.[7] Poliittisen tilanteen vuoksi valmennuksesta vastannut Mihály Iglói ja László Tábori eivät palanneet Australiasta Unkariin, vaan loikkasivat Yhdysvaltoihin.
László Tábori jatkoi urheilu-uraansa Yhdysvalloissa ja olisi ollut vuoden 1960 Rooman kesäolympialaisissa keskimatkoilla vahva mitaliehdokas.Vuonna 1960 Tábori amerikkalaisine seuratovereineen teki uuden 4 × 1 500 metrin ME:n, jossa Tábori osuusaika oli alle neljän minuutin eli 3.59,6. Tämä oli hänelle kolmas kyseisen matkan ME – kaksi edellistä olivat syntyneet vuosina 1953 ja 1954 Unkarin väreissä. László Tábori lopetti uransa vuonna 1962. Samana vuonna hän sai myös Yhdysvaltain kansalaisuuden. Sen jälkeen hän siirtyi valmennustehtäviin vuodesta 1967 lähtien. Hänen valmennettaviaan olivat muun muassa 1970-luvun alun amerikkalaiset naismaratoonarit Jacqueline Hansen ja Miki Gorman.[8][9]
↑R. L. Quercetani: ”5 000 ja 10 000 metriä sekä 3 ja 6 mailia”, Kilpakenttien kuninkaat – Yleisurheilun historia 1864–1964, s. 153. Suomentanut Pentti Vuorio. Helsinki: WSOY, 1965.
↑Wolfgang Wunsche: ”Pitkät matkat”, Kilpakenttien sankarit, s. 109–110. Suomentanut Pentti Vuorio. Hämeenlinna: Arvi A. Karisto Oy, 1975.
↑R.L. Quercetani: ”5 000 ja 10 000 metriä sekä 3 ja 6 mailia”, Kilpakenttien kuninkaat – Yleisurheilun historia 1864–1964, s. 155. Suomentanut Pentti Vuorio. Helsinki: WSOY, 1965.
