Zirkzee siirtyi kotimaastaan Feyenoordin junioreista Saksaan Bayern Müncheniin vuonna 2017. Hän pelasi Bayernin edustusjoukkueessa yhdeksän bundesliigaottelua kaudella 2019–2020 ja teki niissä neljä maalia. Mestarien liigassa hän pääsi kentälle yhdessä ottelussa. Kaudella 2020–2021 hän pelasi kolme bundesliigaottelua ja muutaman minuutin yhdessä Mestarien liigan ottelussa. Helmikuusta kesäkuuhun 2021 hän oli lainalla italialaisseura Parmassa ja pelasi neljä Serie A -ottelua. Kauden 2021–2022 Zirkzee oli lainalla belgialaisseura Anderlechtissä, jossa hän teki 38 liigaottelussa 16 maalia. Elokuussa 2022 hän siirtyi Bolognaan, jossa hän pelasi kaudella 2022–2023 Serie A:ssa 19 ottelua ja teki niissä kaksi maalia. Kaudella 2023–2024 hän pelasi 34 Serie A -ottelua, joista 32 ottelua avauskokoonpanossa, ja teki niissä 11 maalia.[1]
Zirkzee siirtyi heinäkuussa 2024 englantilaisseura Manchester Unitediin. Hän teki elokuussa maalin ensimmäisessä valioliigaottelussaanFulhamia vastaan.[1]