Szájer syntyi ensimmäisen polven sivistyneistöperheeseen, hänen vanhempansa olivat opettajia. Vuonna 1982 molemmat vanhemmat saivat tapaturmaisesti surmansa, ja Szájerista tuli alaikäisten pikkuveljiensä holhooja.[2]
Szájer kuului opiskeluaikoinaan samaan, oikeustieteen opiskelijoiden István Bibó -kollegiumissa toimineeseen ystävä- ja jalkapallonharrastajapiiriin Viktor Orbánin ja monien muiden myöhempien Fidesz-puolueen vaikuttajien kanssa.[3] Yhdessä heidän kanssaan hän oli maaliskuussa 1988 perustamassa Fidesziä,[2] jota hän sittemmin edusti Unkarin parlamentissa vuodesta 1990 lähtien ja Euroopan parlamentissa (Euroopan kansanpuolueen ryhmässä) vuodesta 2004. Vuosina 1994–1997 sekä 1998–2002 Szájer toimi Fideszin parlamenttiryhmän johdossa ja vuosina 2002–2004 Unkarin parlamentin varapuhemiehenä.[1]
Järjestelmänvaihdoksen aikaan Szájer oli Fideszin suosituimpia poliitikkoja ja vuoden 1990 vaaleissa ainoa Fidesz-edustaja, joka sai omasta vaalipiiristään henkilökohtaisen mandaatin.[4] Vuonna 2011 hän tuli tunnetuksi Fidesz-puolueen laatiman uuden perustuslain valmistelijana, joka blogissaan kertoi kirjoittaneensa perustuslain iPadillaan.[5]
Szájer solmi vuonna 1983 avioliiton samaan opiskeluaikaiseen ystäväpiiriin kuuluneen Tünde Handón kanssa[2], jonka nimitys valtakunnallisen oikeusistuinviraston (Országos Bírósági Hivatal) johtajaksi vuonna 2011 ja toiminta tuomarien virkanimitysten yhteydessä nostatti kansalaisoikeusaktivistien vastalauseita. Vuonna 2019 Handó nimitettiin perustuslakituomioistuimen tuomariksi.[6] Heillä on vuonna 1987 syntynyt tytär Fanni.[2]
1. joulukuuta 2020 Szájer myönsi osallistuneensa Brysselissä 27. marraskuuta 2020 koronaviruspandemian johdosta asetettuja rajoituksia rikkoneisiin juhliin, joita tiedotusvälineissä luonnehdittiin "orgioiksi".[7][8] Poliisi oli tavannut paikalta 25 alastonta miestä, joihin kuuluivat esimerkiksi Szájer ja eräät diplomaatit.[7] Szájer oli yrittänyt paeta paikalta mukanaan ekstaasia, jota hän ei myöntänyt omakseen. Hän pyysi kuitenkin anteeksi käytöstään ja ilmoitti eroavansa vuoden 2020 lopussa.[8] Szájerin tapaus nostatti Unkarin riippumattomassa mediassa keskustelua Orbánin järjestelmän homofobisesta ideologiasta, joka pakottaa puolueen vaikuttajat elämään kaksoiselämää ja salaamaan seksuaalisen suuntautumisensa.[4][9]
