Kozma osallistui kreikkalais-roomalaisen painin raskaaseen sarjaan Rooman olympiakisoissa 1960 ja sijoittui neljänneksi. Ensimmäisen maailmanmestaruutensa hän voitti Toledossa 1962. Tokion kisoissa 1964 hänestä tuli olympiavoittaja. NeuvostoliitonAnatoli Roštšin paini Kozman kanssa ratkaisemattoman, mutta Kozman vähemmät miinuspisteet aiemmista otteluista ratkaisivat hänelle voiton.
Kozma voitti maailmanmestaruuden jälleen Toledossa 1966 ja Bukarestissa 1967, ja Mexico Cityn kisoissa 1968 hän sai toisen olympiavoittonsa. Hän selätti neljä ensimmäistä vastustajaansa, joista kaksi ensimmäisellä minuutilla, ja vain Anatoli Roštšin jaksoi taistella täyden ajan. Pronssimitalisti, TšekkoslovakianPetr Kment joutui luovuttamaan mitaliottelut loukkaantumisen vuoksi.
István Kozma kuoli auto-onnettomuuden seurauksena 9. huhtikuuta1970.
Saavutuksia
Olympiakultaa Tokiossa 1964 ja Mexico Cityssä 1968 (sarja yli 97 kg)
Olympiakisoissa neljäs Roomassa 1960 (sarja yli 87 kg)
MM-kultaa Toledossa 1962 ja 1966 sekä Bukarestissa 1967 (sarja yli 97 kg)