Anatoli Solovjovin isä Jakov Solovjov kuoli vuonna 1980. Hänen äitinsä Antonia Pavlovna asuu Riiassa. Anatoli Solovjov on naimisissa Natalia Solovjovan kanssa, ja perheessä on kaksi poikaa: Gennadi (s. 1975) ja Ilja (s. 1980). Solovjovin perhe asuu Tähtikaupungissa Venäjällä.
Koulutus ja ura
Solovjov valmistui Lenin Komsomolin l. Tsernigovin sotilaskorkeakoulusta vuonna 1972. Vuosina 1972-76 hän toimi Kaukoidän sotilaspiirissä. Elokuussa 1976 hän pääsi kosmonauttikoulutukseen, joka päättyi tammikuussa 1979. Solovjovin ensimmäinen avaruuslento tapahtui vuonna 1988. Hän lensi Mir-asemalla 11.2.-9.8.1990.