Aksiomaattinen joukko-oppi

Aksiomaattinen joukko-oppi on toinen niistä osista, joihin joukko-oppi tavallisesti jaetaan. Toinen osista on naiivi joukko-oppi. Joukko-opin kehitti 1800-luvun lopulla saksalaisen matemaatikko Georg Cantor matematiikan haaraksi. Se on nykyisen matematiikan perustava osa.

Aksiomaattinen joukko-oppi

Nykyisin eniten tutkittu ja käytetty joukko-opin aksiomaattinen järjestelmä on Zermelo-Fraenkelin aksioomat, lyhenne ZF. Usein aksioomien joukkoon lisätään myös valinta-aksiooma C, jolloin käytetään lyhennettä ZFC. Aksioomia on kymmenen:

Ekstensionaalisuusaksiooma: Kaksi joukkoa ovat samat jos ja vain jos niillä on samat alkiot.
$\forall x\forall y[\forall z(z\in x\Leftrightarrow z\in y)\Rightarrow x=y].$
Tyhjän joukon aksiooma: On olemassa alkioton joukko. Merkitsemme tätä tyhjää joukkoa $\{\}$ .
Pariaksiooma: Jos $x$ ja $y$ ovat joukkoja, niin myös $\{x,y\}$ on joukko, joka sisältää vain alkiot $x$ ja $y$ .
$\forall x\forall y\exists z(x\in z\land y\in z).$
Yhdisteaksiooma: Jokaista joukkoa $x$ kohti on olemassa joukko $y$ , jonka alkiot ovat samat kuin joukon $x$ alkioiden alkiot.
Äärettömyysaksiooma: On olemassa sellainen joukko $x$ , että $\{\}$ on $x$ :n alkio ja aina kun $y$ on $x$ :n alkio, niin on myös unioni $y\cup \{y\}$ .
Erotteluaksiooma (erotusaksiooma, separaatioaksiooma tai osajoukkoaksiooma): Jokaista joukkoa ja jokaista propositiota (ehtoa, relaatiota) $P(x)$ kohti on olemassa sellainen alkuperäisen joukon osajoukko, joka sisältää täsmälleen ne joukon $x$ alkiot, joille $P(x)$ pätee.
Korvausaksiooma: Jokaista joukkoa ja kuvausta, joka määritellään formaalisti relaationa $P(x,y)$ missä ehdosta $P(x,y)$ ja $P(x,z)$ seuraa $y=z$ , kohti on olemassa joukko, joka sisältää täsmälleen alkuperäisen joukon alkioiden kuvat.
Potenssijoukkoaksiooma: Jokaisella joukolla on potenssijoukko eli sen kaikkien osajoukkojen joukko. Se on: jokaista joukkoa $x$ kohti on olemassa joukko $y$ , joka sisältää vain kaikki $x$ :n osajoukot.
Säännöllisyysaksiooma: Jokainen epätyhjä joukko $x$ sisältää sellaisen alkion $y$ , että $x$ ja $y$ ovat erillisiä joukkoja. $\forall x[\exists a(a\in x)\Rightarrow \exists y(y\in x\land \lnot \exists z(z\in y\land z\in x))].$
Valinta-aksiooma: (Zermelon versio) Jokaista keskenään erillisten ei-tyhjien joukkojen joukkoa $x$ kohti on olemassa joukko $y$ joka sisältää täsmälleen yhden alkion jokaisesta $x$ :n alkiosta.

Katso myös

Valinta-aksiooma

Kirjallisuutta

Lipschutz, Seymour: Set Theory and Related Topics. McGraw-Hill, 1964. ISBN 0-07-037986-6
Laakso, Erkki: Joukko-opin kehittäminen Zermelo-Fraenkelin aksioomien pohjalta. Pro gradu -tutkielma: Helsingin yliopisto, matemaattis-luonnontieteellinen tiedekunta, matematiikan laitos, 1975. Finna:helka.9931464613506253

Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.

Read other articles:

Jung Suk-won

Ini adalah nama Korea; marganya adalah Jung. Jung Suk-wonLahir16 Mei 1985 (umur 38)Incheon, Korea SelatanPendidikanIncheon City College - Martial ArtsPekerjaanAktorTahun aktif2008-sekarangAgenC-JeS EntertainmentSuami/istriBaek Ji-young (m. 2013) Nama KoreaHangul정석원 Alih AksaraJeong Seok-wonMcCune–ReischauerChŏng Sŏk-wŏn Jung Suk-won (Hangul: 정석원; lahir 16 Mei 1985) adalah aktor asal Korea Selatan.[1][2][3] Ia memulai kariernya di dun...

Rick Owens

American fashion designer Rick OwensOwens in 2018BornRichard Saturnino Owens (1961-11-18) November 18, 1961 (age 62)Porterville, California, U.S.[1]EducationOtis College of Art and DesignLos Angeles Trade-Technical CollegeLabels Rick Owens DRKSHDW Rick Owens Lilies Slab Rick Owens Hun/HUNRICKOWENS Spouse Michèle Lamy (m. 2006) Richard Saturnino Owens (born November 18, 1961) is an American fashion designer from Porterville, California. In addition ...

Chris Dodd

American lawyer and politician (born 1944) Senator Dodd redirects here. For other uses, see Senator Dodd (disambiguation). Chris DoddCEO of the Motion Picture AssociationIn officeMarch 17, 2011 – September 5, 2017Preceded byDan GlickmanSucceeded byCharles RivkinUnited States Senatorfrom ConnecticutIn officeJanuary 3, 1981 – January 3, 2011Preceded byAbraham RibicoffSucceeded byRichard BlumenthalChair of the Senate Banking CommitteeIn officeJanuary 3, 2007 – Ja...

Manuskrip Sana'a

Sisi kanan Stanford '07 folio. Teks baru ini meliputi Quran al-Baqarah, ayat 265–271. Al-Qur'an Sejarah Wahyu Kesejarahan Asbabunnuzul Nuzululqur'an Manuskrip Samarkand Sanaa Birmingham Topkapi Pembagian Hizb Juz Manzil Muqatta'at Surah Daftar Makiyah Madaniyah Isi Eskatologi Hewan Keajaiban Ketuhanan Ilmu pengetahuan Legenda Nabi dan Rasul Nama lain Perumpamaan Wanita Membaca Taawuz Basmalah Hafiz Qiraat Qari Tajwid Tartil Khatam Terjemahan Daftar terjemahan Al-Qur'an Tafsir Daftar karya t...

Vivien Oakland

American actress (1895–1958) Vivien OaklandOakland in Amateur Crook (1937)BornVivian Ruth Andersen(1895-05-20)May 20, 1895San Francisco, California, U.S.DiedAugust 1, 1958(1958-08-01) (aged 63)Hollywood, California, U.S.Resting placeChapel of the Pines CrematoryOther namesVivian OaklandVivienne OaklandOccupationActressYears active1915–1951Spouse(s)John T. Murray (m. 19??; died 1957) Vivien Oakland (born Vivian Ruth Andersen; May 20, 1895 – August 1, 1958), was an Amer...

Человек прямоходящий

† Человек прямоходящий Научная классификация Домен:ЭукариотыЦарство:ЖивотныеПодцарство:ЭуметазоиБез ранга:Двусторонне-симметричныеБез ранга:ВторичноротыеТип:ХордовыеПодтип:ПозвоночныеИнфратип:ЧелюстноротыеНадкласс:ЧетвероногиеКлада:АмниотыКлада:Синапсиды�...

Franklin D. Roosevelt Four Freedoms Park

Public park in Manhattan, New York Franklin D. Roosevelt Four Freedoms ParkView from the park toward Lower ManhattanTypeState parkLocationRoosevelt Island, Manhattan, NYCoordinates40°44′59″N 73°57′41″W / 40.74972°N 73.96139°W / 40.74972; -73.96139Area4 acres (1.6 ha)CreatedOctober 17, 2012 (2012-10-17)Owned byNew York State Office of Parks, Recreation and Historic PreservationOperated byFour Freedoms Park ConservancyVisitors176...

Samkaryanugraha

Halaman ini berisi artikel tentang tanda kehormatan Samkaryanugraha untuk kesatuan militer. Untuk Samkaryanugraha organisasi atau institusi pemerintahan, lihat Parasamya Purnakarya Nugraha. Untuk Samkaryanugraha kesatuan Polri, lihat Nugraha Sakanti. Untuk kegunaan lain, lihat Daftar tanda kehormatan di Indonesia § Samkaryanugraha. SamkaryanugrahaTipeSamkaryanugrahaNegara IndonesiaDipersembahkan olehPresiden IndonesiaSyaratKesatuan TNIStatusMasih dianugerahkanDidirikan1968Keutamaan...

Arthur Chung

Ini adalah nama Tionghoa; marganya adalah Chung.Arthur Raymond ChungOE Presiden Guyana ke-1Masa jabatan17 Maret 1970 – 6 Oktober 1980Perdana MenteriForbes BurnhamPendahulujabatan dibentukPenggantiForbes Burnham Informasi pribadiLahir(1918-01-10)10 Januari 1918Windsor Forest, West Demerara, Guiana BritaniaMeninggal23 Juni 2008(2008-06-23) (umur 90)Bel Air Gardens, GuyanaPartai politikIndependenSuami/istriDoreen Chung (1954–2008; kematiannya)Sunting kotak info • L ...

Египтопитек

† Египтопитек Реконструкция внешнего вида египтопитека Научная классификация Домен:ЭукариотыЦарство:ЖивотныеПодцарство:ЭуметазоиБез ранга:Двусторонне-симметричныеБез ранга:ВторичноротыеТип:ХордовыеПодтип:ПозвоночныеИнфратип:ЧелюстноротыеНадкласс:Четвероно...

Hassocks

Large village in Sussex, England For other uses of Hassock, see Hassock (disambiguation). Village and civil parish in EnglandHassocksVillage and civil parishHassocks viewed from the South DownsHassocksLocation within West SussexArea10.88 km2 (4.20 sq mi) [1]Population7,667 [1] 2011 Census• Density627/km2 (1,620/sq mi)OS grid referenceTQ299154• London40 miles (64 km) NCivil parishHassocksDistrictMid SussexShire cou...

قومية أرمنية

هايك مؤسس الأمة الأرمنيَّة الأسطوري. القومية الأرمنية (بالأرمنيّة: Հայկական ազգայնականություն) تعود جذورها في الفترة الحديثة له جذوره إلى الرومانسي القومي ميكاييل شامشميان (1738-1823) والذي دعا عمومًا إلى خلق كيان حر ومستقل يسمى بأرمينيا المتحدة باعتبارها حل للقضية الأرمنية....

Newberry National Volcanic Monument

Protected area in Oregon, US Newberry National Volcanic MonumentLava ButteLocation in the United StatesShow map of the United StatesLocation in OregonShow map of OregonLocationDeschutes County, Oregon, United StatesNearest cityBendCoordinates43°41′39″N 121°15′07″W / 43.69417°N 121.25194°W / 43.69417; -121.25194Area54,822 acres (221.86 km2)[1]CreatedNovember 5, 1990 (1990-11-05)[1]Governing bodyU.S. Forest Servic...

Navarrese People's Union

Political party in Spain Navarrese People's Union Unión del Pueblo NavarroLeaderJavier EsparzaFounded1979Split fromUnion of the Democratic CentreHeadquartersPamplonaYouth wingNavarrese YouthMembership (2016)3,850[1]IdeologyConservatism[2][3]Christian democracy[3]Navarrese regionalism[3]Spanish unionism[3]Political positionCentre-right[4] to right-wing[5]National affiliationPeople's Party (1991–2008)Regional a...

Bodhi Tree

For the tree species more generally, see Ficus religiosa. Sacred fig tree in Bodh Gaya, Bihar, India The Mahabodhi Tree at the Sri Mahabodhi Temple in Bodh Gaya The Diamond throne or Vajrashila, where the Buddha sat under the Bodhi Tree in Bodh Gaya 24°41′45.29″N 84°59′29.29″E / 24.6959139°N 84.9914694°E / 24.6959139; 84.9914694 The Bodhi Tree (tree of awakening[1]), also called the Mahabodhi Tree, Bo Tree,[2] is a large sacred fig tree (Fic...

Antônio Abujamra

Brazilian actor and director Antônio AbujamraAntônio Abujamra in 2013Born15 September 1932Ourinhos, BrazilDied28 April 2015 (aged 82)São Paulo, BrazilOccupation(s)Director, actorYears active1961–2015ChildrenAndré Abujamra Antônio Abujamra (15 September 1932 – 28 April 2015) was a Brazilian theatre and television director and actor. Having majored in journalism and philosophy at the Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul in 1957, he started a career as a theatre ...

Ostwind

Flakpanzer IV/3.7cm FlaK Ostwind Model skala dari Ostwind Jenis Meriam antipesawat swagerak Negara asal Jerman Nazi Sejarah produksi Diproduksi 1944-1945 Jumlah produksi 43–45 Spesifikasi Berat 25 ton Panjang 5,92 m (19 ft 5 in) Lebar 2,95 m (9 ft 8 in) Tinggi 3 m (9 ft 10 in) Awak 5 (Komandan, penembak, pengisi, supir, operator radio) Perisai 10–80 mm Senjatautama 1x 3.7 cm FlaK 43 L/89 1.000 peluru Senjatapelengkap 1× 7.92 mm Masc...

Glycosuria

Medical conditionGlycosuriaOther namesGlucosuriaGlucoseSpecialtyEndocrinologyCausesDiabetes, dehydration Glycosuria is the excretion of glucose into the urine. Ordinarily, urine contains no glucose because the kidneys are able to reabsorb all of the filtered glucose from the tubular fluid back into the bloodstream. Glycosuria is nearly always caused by an elevated blood sugar level, most commonly due to untreated diabetes. Rarely, glycosuria is due to an intrinsic problem with glucose reabsor...

واقعية اشتراكية

واقعية اشتراكيةمعلومات عامةالبداية 1932 البلد الاتحاد السوفيتي التأثيراتتأثرت بـ AKhRR (en) — شيوعية تعديل - تعديل مصدري - تعديل ويكي بيانات الواقعية الاشتراكية (بالروسية: социалистический реализм) واحد من تيارات الواقعية، وقد ظهر هذا التيار رسمياً في الاتحاد السوفيتي في ثلاث�...

Dutch Open 1986

Dutch Open 1986Sport Tennis Data28 luglio - 3 agosto Edizione29ª SuperficieTerra rossa LocalitàHilversum, Paesi Bassi CampioniSingolare Thomas Muster Doppio Miloslav Mečíř / Tomáš Šmíd 1985 1987 Il Dutch Open 1986 è stato un torneo di tennis giocato sulla terra rossa. È stata la 29ª edizione del torneo, che fa parte del Nabisco Grand Prix 1986. Il torneo si è giocato a Hilversum nei Paesi Bassi dal 28 luglio al 3 agosto 1986. Indice 1 Campioni 1.1 Singolare maschile 1.2 Doppio ma...