Erlatibitate orokorrean, soluzio zehatzak Einsteinen eremu-ekuazioen soluzio jakin batzuk dira, zeinak ez diren hurbilketa bidez lortu. Hurbilketarik erabili ez arren, soluzioak egoera idealizatuetatik abiatuta lortutakoak izan daitezke. Adibidez, esfera perfektu baten itxurako materia motaren bat. Matematikoki, soluzio zehatz bat Lorentzen barietate bat da. Barietate horrek ingurune jakin bateko espazio-denboraren metrika zehazten du, bertako materiaren egoeraren arabera (fluidoak edota eremu elektromagnetikoak, adibidez).

Edozein tentsore-eremuk lege fisikoak bete behar ditu. Eremu elektrostatiko batek, adibidez, Maxwellen ekuazioak bete behar ditu. Eremu tentsorial horiek eta, aldi berean, materiak ekarpen jakin bat egiten diote ${\displaystyle T^{\mu \nu }}$ energia-momentu tentsoreari^[1]. ${\displaystyle T^{\mu \nu }}$ energia-momentu tentsorearen ekarpen guztiak batu ostean, soluzio zehatzak Einsteinen eremu-ekuazioen soluzioa izan behar du.

${\displaystyle G^{\mu \nu }=8\pi G\cdot T^{\mu \nu }}$

Goiko ekuazioetan, ${\displaystyle G^{\mu \nu }}$ Einsteinen tentsorea da eta zuzenean kalkula daiteke tentsore metrikotik abiatuta. Tentsore metrikoa Lorentzen barietatearen definizioaren parte da.

Hala ere, Einsteinen tentsoreak ez du Riemannen tentsorea guztiz zehazten, Weylen tentsorea zehaztugabe uzten baitu. Beraz, Einsteinen ekuazioak bateragarritasun baldintzak direla kontsidera daiteke. Hau da, espazio-denboraren geometriak bateragarria izan behar du materia eta eremu ez-gabitatorioen kantitate eta higidurarekin. Izan ere, energia-momentu ez-grabitatorioak aldiuneko ekarpena egiten baitio Ricci kurbadurari. Bestalde, deribatu kobarianteak eta Bianchi identitateak erabiliz, posible da kurbaduran uhin moduko batzuk aurkitzea, erradiazio grabitatorioaren gisan hedatzen direnak espazio hutsean eta guzti.

Lorentzen barietate guztiak dira Einsteinen ekuazioen soluzioak eta energia-momentu tentsore jakin bat dagokie. Honela azal daiteke hori:

• Izan bedi Lorentzen edozein barietate eta dagokion ${\displaystyle G^{\mu \nu }}$ tentsorea.
• Zatitu ${\displaystyle G^{\mu \nu }}$ tentsorea ${\displaystyle 8\pi G}$ faktorearekin.
• Lortutako bi heineko tentsorea ${\displaystyle T^{\mu \nu }}$ energia-momentu tentsorea da

Ondorioz, erlatibitate orokorra erabiltzeko bi modu baliokide existitzen direla esan dezakegu:

• Batean, energia-momentu tentsorearen itxura zehaztu daiteke lehenik, arrazoi fisikoetan oinarrituz. Ondoren, energia-momentu tentsore horri dagozkion Einsteinen ekuazioen soluzioak bila daitezke. Adibidez, fluido perfektu baten energia-momentu tentsore bat aukeratuz, simetria esferikodun soluzio batek izar baten eredua zehaztu dezake.
• Era baliokidean, lehenik espazio-denboraren ezaugarri batzuk zehaztu daitezke, eta, ondoren, ezaugarri horiek sortu ditzakeen materia iturri bat bilatu. Hori da, hain zuzen, 2000. urtetik aurrera kosmologian egiten dena. Unibertsoa isotropoa, homogeneoa eta azeleratua dela suposatzen dute eta hori bermatuko lukeen materiaren itxura zehazten saiatzen dira (materia iluna adibidez).

Goian aipatutako lehen metodoan, energia-momentu tentsoreak zentzuzko materia-banaketa edo eremu ez-grabitatorioen presentzia adierazi behar du. 1916an ezaguna zen eremu bakarra eremu elektromagnetikoa zen eta bere energia-momentu tentsorea era egokian ezaugarrituta zegoen jada. Hala ere, oraindik ez da ezagutzen metodo matematikorik energia-momentu tentsoreei aplikatu eta benetako egoera fisikoei dagokien guztia azaleratu dadin, gainerako guztia arbuiatuz. Badira energia-baldintzak aplikatzea bezalako metodoak baina ez dira behar bezain zehatzak. Askotan, horietatik azaleratzen diren soluzioak ez dute inongo zentzu fisikorik. Gainera, energia-baldintza horietako askok Casimir efektua apurtzen dute.

Einsteinek soluzio zehatzen definizioaren beste elementu bat ere zehaztu zuen. Soluzioek Lorentzen barietateak, hau da, barietate leunak izan behar dute. Erlatibitate orokorrarekin lan egitean, ordea, puntu guztietan leunak ez diren soluzioak onartzea ere oso erabilgarria izan daiteke. Horren adibide dira ingurune huts baterako kanpo-soluzioa eta fluido perfektu baterako barne-soluzioa konbinatzean lor daitezkeen soluzioak.

Oztopo lokal horiez gain, beste arazo batzuk ere ageri dira soluzio zehatzetan. Lokalki inolako eragozpenik ez duen soluzio batek fenomeno arraroak izan ditzake globalki: denbora motako kurba itxiak edota banantze puntuak dituzten estrukturak, adibidez. Izan ere, soluzio zehatz ezagunen artean badaude globalki izaera arraroa dutenak.

Ezagutzen diren soluzio zehatzan jarraian zerrendatutako moten barruan sailka daitezke, energia-momentu tentsoreaten interpretazio fisikoaren arabera:

• Hutserako soluzioak: ${\displaystyle T^{\mu \nu }=0}$; materiarik edo eremu ez-grabitatoriorik gabeko ingurune bat deskribatzen dute. Hutseko soluzioak dira Minkowskiren espazio-denbora, Schwarzschilden kanpo-soluzioa eta Kerren kanpo-soluzioa, adibidez.
• Elektrohutserako soluzioak: ${\displaystyle T^{\mu \nu }}$ energia-momentu tentsorea hutseko Maxwellen ekuazioak betetzen dituen (Lorentzen barietate jakin horretan) eremu elektromagnetiko batek sortutakoa da. Hau da, eremu grabitorioaren iturri bakarra eremu elektromagnetikoen energia eta momentua dira. Elektrohutseko soluzioak dira Reissner–Nordströmen kanpo-soluzioa eta Kerr–Newmanen kanpo-soluzioa, adibidez.
• Hauts nulurako soluzioak: ${\displaystyle T^{\mu \nu }}$ energia-momentu tentsorea erradiazio elektromagnetiko inkoherente bati dagokiona da. Erradiazio horrek ez du hutseko Maxwellen ekuazioak bete beharrik.
• Fluidorako soluzioak: ${\displaystyle T^{\mu \nu }}$ energia-momentu tentsoreak fluido batena izan behar du (fluido perfektua aukeratzen da sarri). Kasu horretan, eremu grabitatorioaren iturriak fluidoa osatzen duen masaren energia, momentua eta tentsioa dira. Kosmologian kontsideratzen FLRW soluzioak fluido soluzioak dira.

Fluidoak eta eremu elektromagnetikoak bezalako iturri ezagunak kontsideratu ordez, bestelako eremu-energia batek edo alegiazko eremu motaren batek sortutako eremu grabitatorioak har daitezke kontuan:

• Eremu eskalarrerako soluzioak: ${\displaystyle T^{\mu \nu }}$ energia-momentu tentsorea eremu eskalar batek (askotan, masarik gabeko eremu eskalar batek) sortutakoa da. Eremu eskalar horiek mesoi sorten eremu klasikoen teorian ager daitezke edo, kosmologian, kintesentzia izeneko enegian.
• Lambda hutserako soluzioak: ${\displaystyle T^{\mu \nu }}$ energia-momentu tentsorea konstante kosmologiko ez-nulu batek sortutakoa da. De Sitterren ereduak dira soluzio horien adibide.

Badira beste solido elastiko baten soluzioak bilatzen saiatu direnak ere, baina ez da mota horretako soluzio zehatzik aurkitu.

Interpretazio fisikoaren arabera ere sailka daitezke soluzio motak. Soluzio bakoitzari dagokion Ricciren tentsorearen simetria algebraikoak erabiliz, soluzioen Segre sailkapena egin daiteke:

• Elektrohuts ez-nuluak ${\displaystyle \{\left(1,1\right)\left(11\right)\}}$ Segre motakoak eta ${\displaystyle SO\left(1,1\right)\times SO\left(2\right)}$ isotropia taldekoak dira.
• Elektrohuts nuluek eta hauts nuluek ${\displaystyle \{\left(2\right)\left(11\right)\}}$ Segre mota eta ${\displaystyle E(2)}$ isotropia taldea dute.
• Fluido perfektuak ${\displaystyle \{\left(1\right)\left(111\right)\}}$ Segre motakoak eta ${\displaystyle SO(3)}$ isotropia taldekoak dira.
• Lambda hutsak ${\displaystyle \{\left(1\right)\left(111\right)\}}$ Segre motakoak eta ${\displaystyle SO(1,3)}$ isotropia taldekoak dira

Gainerako Segre motek ez dute balio interpretazio fisikoak egiteko, eta, beraz, ezin dute energia-momentu tentsorearen inolako ekarpenik adierazi.

Inolako materiarik edo energia-formarik gabeko espazio-denbora deskribatzen du Minkowskiren metrikak. Hau da, hutserako soluzio sinpleena da Minkowskiren espazio-denbora laua. Erlatibitate bereziaren teoria betetzen da horrelako espazio-denbora batean^[2].

${\displaystyle ds^{2}=-c^{2}dt^{2}+dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}$

Soluzio zehatz ezagunetako bat Schwarzschilden soluzioa da. Gorputz esferiko batek bere kanpoaldean sortzen duen geometria deskribatzen du. Zehazki, momentu angeluarrik eta karga elektrikorik gabeko gorputz esferiko batek sortzen duen geometria. Kanpo-soluzioa espazio hutserako kontsideratzen den soluzioa denez, hutserako soluzioen barruan sailkatzen da. Soluzio horra iristeko zenbait suposizio egiten dira. Lehenenik, gorputz masaduna esfera perfektu bat dela suposatzen da. Ondorioz, gorputzaren kanpoko espazio-denbora gainazal esferikoz eraiki daiteke. Hau da, soluzioak simetria esferikoa dauka. Bigarrenik, gorputzaren kanpoko espazioa hutsa dela kontsideratzen da, eta, beraz, energia-momentu tentsorea nulua da ${\displaystyle T^{\mu \nu }=0}$. Bestalde, kobariantzia orokorragatik koordenatuak aukeratzeko dugun askatasuna erabiliz eta Einsteinen eremu-ekuazioek zehaztutako zenbait ekuazio diferentzial ebatziz honako metrikara irits gaitezke^[2]:

${\displaystyle ds^{2}=-\left(1-{\frac {r_{S}}{r}}\right)c^{2}dt^{2}+\left(1-{\frac {r_{S}}{r}}\right)^{-1}dr^{2}+r^{2}\left(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}\right)}$

non ${\displaystyle r_{S}}$ Schwarzschilden erradioa den. Soluzio horren propietate garrantzitsuak dira izaera estatikoa eta limite asintotikoan ${\displaystyle \left(r\longrightarrow \infty \right)}$ Minkowskiren metrika berreskuratzen dela.

Schwarzschilden soluzioa lortzeko egin diren suposizio berdinetatik abiatuko gara kasu honetan. Hala ere, ${\displaystyle R}$ erradioko masadun gorputzaren barneko ${\displaystyle \left(r<R\right)}$ geometria bilatu nahi dugunez, ezin dugu energia-momentu tentsorea nulua dela suposatu. Gorputz esferikoa fluido konprimaezin batez osatuta dagoela suposatuko dugu; hau da, haren ${\displaystyle \rho }$ dentsitatea uniformea dela erabiliko dugu ${\displaystyle m(r)={\frac {4}{3}}\pi r^{3}\rho }$. Kasu horretan lortzen den soluzioa fluidorako soluzioen barnean sailka daiteke. Honako itxura dauka^[2]:${\displaystyle ds^{2}=-{\frac {1}{4}}\left(3{\sqrt {1-{\frac {r_{S}}{R}}}}-{\sqrt {1-{\frac {r_{S}r^{2}}{R^{3}}}}}\right)^{2}c^{2}dt^{2}+\left(1-{\frac {r_{S}r^{2}}{R^{3}}}\right)^{-1}dr^{2}+r^{2}\left(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}\right)}$

Ohartu, ${\displaystyle r\longrightarrow R}$ limitean, Schwarzschilden kanpo-soluzioaren adierazpena berreskuratzen dela.

Reissner eta Nordströmen soluzioak kargadun gorputz esferiko batek haren kanpoaldean sortzen duen geometria zehazten du. Espazioan eremu elektromagnetikoak ez dira nuluak kasu horretan, eta, beraz, energia-momentu tentsorean haien ekarpena hartu behar da kontutan. Elektrohutserako soluzioen barnean sailkatzen da Reissner eta Nordströmen soluzioa^[2].

${\displaystyle ds^{2}=-\left(1-{\frac {r_{S}}{r}}+{\frac {r_{q}^{2}}{r^{2}}}\right)c^{2}dt^{2}+\left(1-{\frac {r_{S}}{r}}+{\frac {r_{q}^{2}}{r^{2}}}\right)^{-1}dr^{2}+r^{2}\left(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}\right)}$

non ${\displaystyle r_{q}^{2}\equiv {\frac {Gq^{2}}{c^{4}}}}$ den, ${\displaystyle q}$ gorputzaren karga elektriko osoa izanik.

Kerren metrika ${\displaystyle L}$ momentu angeluarrarekin biratzen ari den ${\displaystyle M}$ masako gorputz esferiko batek haren kanpoaldean sortzen duen geometriari dagokiona da. Soluzio hori ere hutserako soluzioen barnean sailkatzen da. Metrikaren itxura Boyer-Lindquist koordenatuetan (${\displaystyle c=G=1}$ hartuta) honakoa da^[3][4]:

${\displaystyle ds^{2}=-{\frac {\Delta }{\rho ^{2}}}(dt-a\sin ^{2}\theta d\phi )^{2}+{\frac {\sin ^{2}\theta }{\rho ^{2}}}\left[(r^{2}+a^{2})d\phi +a\ dt\right]^{2}+{\frac {\rho ^{2}}{\Delta }}dr^{2}+\rho ^{2}d\theta ^{2}}$

non ${\displaystyle a={\frac {L}{M}}}$ ; ${\displaystyle \Delta =r^{2}-2Mr+a^{2}}$ eta ${\displaystyle \rho ^{2}=r^{2}+a^{2}\cos ^{2}\theta }$ diren.

${\displaystyle L}$ momentu angeluarreko, ${\displaystyle Q}$ kargako eta ${\displaystyle M}$ masako gorputz esferiko batek haren kanpoan sortzen duen metrika honakoa da Boyer-Lindquist koordenatuetan (${\displaystyle c=G=1}$ hartuta)^[4]:

${\displaystyle ds^{2}=-{\frac {\Delta }{\rho ^{2}}}\left(dt-a\sin ^{2}\theta \,d\phi \right)^{2}+{\frac {\sin ^{2}\theta }{\rho ^{2}}}{\Big [}\left(r^{2}+a^{2}\right)\,d\phi -a\,dt{\Big ]}^{2}+{\frac {\rho ^{2}}{\Delta }}dr^{2}+\rho ^{2}\,d\theta ^{2}}$

non, kasu honetan, ${\displaystyle a={\frac {L}{M}}}$ ; ${\displaystyle \Delta =r^{2}-2Mr+a^{2}+Q^{2}}$ eta ${\displaystyle \rho ^{2}=r^{2}+a^{2}\cos ^{2}\theta }$ diren. Ohartu azken hori gorputz esferikoen kasurik orokorrena dela eta azken adierazpenean karga eta momentua angeluarra nuluak direla aukeratuz gero, Schwarzschilden kanpo-soluzioa berreskuratzen dela.

Kosmologian erabiltzen da FLRW metrika. Zehazki, eskala handian, unibertsoaren metrika FLRW metrika dela dio gaur egungo eredu kosmologiko estandarrak. Printzipio kosmologikoan oinarritzen da; hau da, unibertso homogeneoa eta isotropoa deskribatzen du metrika horrek. Bestalde, Hubblek neurtu bezala, unibertsoa hedatzen ari dela kontuan hartzen du. Azkenik, unibertsoak kurbadura espazial ez-nulua izan dezakeela ere aurreikusten du FLRW metrikak^[5].

${\displaystyle ds^{2}=-c^{2}dt^{2}+a^{2}(t)\left[{\frac {dr^{2}}{1-kr^{2}}}+r^{2}\left(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}\right)\right]}$

non ${\displaystyle a(t)}$ unibertsoaren zabalkuntza zenbatesten duen eskala-faktorea den eta ${\displaystyle k}$ unibertsoaren kurbadura espazialari dagokion konstantea den.

Einsteinen ekuazioetan ${\displaystyle \Lambda }$ konstante kosmologiko positibo batek duen eragina kontsideratzen da. Hori da, lambda hutserako soluzioetako bat, hain zuzen. Eredu kosmologiko azeleratuak aztertzeko erabiltzen da batez ere, Big Bang ondorengo inflazio kosmikoa azaltzeko adibidez^[3].

${\displaystyle ds^{2}=-c^{2}dt^{2}+e^{2{\frac {\Lambda }{3}}t}\left[dr^{2}+r^{2}\left(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}\right)\right]}$

Einsteinen ekuazioak ekuazio diferentzial partzial ez-linealen sistema bat dira. Orokorrean, zailak dira ebazteko. Hala ere, zenbait teknika eraginkor ezarri dira soluzio zehatzak lortzeko.

Sinpleena tentsore metrikoetan simetria-baldintzak inposatzea da. Esate baterako, denbora-translazioarekiko simetria edo ardatz batekiko simetria errotazionala. Hainbat suposizio eginez, gehienetan Einsteinen ekuazioak beste ekuazio-sistema askoz sinpleagoetan idaztea posible da: ekuazio diferentzial partzial bakarra (Ernst ekuazioaren kasuan gertatzen den bezala) , ekuazio diferentzial arrunten sistema (Schwarzschild hutsaren kasuan gertatzen den bezala)...

Antzeko ideia bat Weyl tensorean, Ricci tentsorean edo Riemann tentsorean simetria-baldintza aljebraikoak inposatzea da. Hauek Weyl tentsorearen simetria posibleen Petrov sailkapenaren arabera finkatuta egon ohi dira, edo Ricci tentsorearen simetria posibleen Segre sailkapenaren arabera.

Bigarren motako simetria-hurbilketa Newman-Penrose formalismoarekin asko erabili da. Hurbilketa honek kantitate spinorialak erabiltzen ditu eraginkorragoa izateko.

Simetria sinplifikazio hauek egin eta gero gerta daiteke geratzen zaigun ekuazio-sistema oraindik ebazteko zaila izatea. Adibidez, Ernsten ekuazioa ekuazio diferentzial partzial ez-lineala da, Schrödingerren ekuazio ez-linealaren antzekoa.

Kontuan izan behar da Minkowskiren espazio-denboraren isometria-taldea Maxwellen ekuazioen simetria-taldea dela. Bestalde, bero-ekuazioaren soluzioak Ansatz doiketa erabiliz lor daitezke. Ideia hauek ekuazio diferentzial baten puntu-simetriaren inguruan Sophus Liesek zuen ideiaren kasu bereziak baino ez dira. Liek erakutsi zuen moduan, hau erabilgarria izan daiteke simetria-talde ez-tribiala duten ekuazio diferentzialak ebazteko. Gainera, Ernst ekuazioak eta Schrödingerren ekuazio ez-linealak simetria-talde ez-tribialak dituzte; beraz, soluzio batzuk haien simetria erabiliz lor daitezke. Simetria-talde hauek gehienetan infinitu dimentsiokoak dira, baina hau ez da beti erabilgarria.

Emmy Noetherrek erakutsi zuen Liek simetriaren inguruan zuen ideia orokortzean metodo oso potentea lortzen zela. Hau lotuta dago kontserbazio-lege sekuentzia infinitu bat duten ekuazioekin, guztiz integragarriak direnak. Ekuazio hauen adibide Ernsten ekuazioa eta Schrödingerren ekuazio ez-linealak dira. Alderantzizko sakabanaketaren transformatuaren antzeko teknikekin ebazten dira, Korteweg-de Vries (KdV) ekuazioa ebazteko garatu zirenak (ekuazio diferentzial partzial ez-lineala, solitoien teorian jaio zena eta guztiz integragarria dena). Zoritxarrez, metodo hauen bidez lortutako soluzioak ez dira beti onak. Adibidez, hainbat solitoien kasurako KdV ekuazioaren soluzioa lortzeko solitoi bakarraren soluzioa erabiltzen den moduan, posiblea da hainbat Kerr objektuen soluzioa lortzea, baina hau fisikoki sinesgaitza da.^[6]

Bestalde, badaude beste transformazio batzuk (Belinski-Zakharov transformatua, adibidez) hutseko soluzio bat beste hutseko soluzio berri batean transforma dezaketenak, etab. Hauek Bäcklund transformazioen analogoak dira, zenarbait ekuazio diferentzial partzialen teoriagatik ezagunak direnak (solitoien ekuazio batzuk, adibidez). Zoritxarrez, nahiz eta “ondo ulertzen” den soluzio batean aplikatu, transformazio hauek askotan ulertzeko zailak diren soluzioak ematen dituzte eta haien interpretazio orokorra oraindik ezezaguna da.

Soluzioen multzo txiki esplizitu bat lortzea hain zaila denez (oraindik zailagoa da Einsteinen ekuazioen soluzio “orokor” bat lortzea edo Einsteinen hutseko ekuazioaren soluzio “orokor” bat lortzea), onargarria den hurbilketa bat soluzio guztietarako balio duten propietate kualitatiboak aurkitzea da, edo, gutxienez, hutseko soluzioetarako balio dutenak. Oinarrizko galdera bat honako hau da: soluzioak existitzen al dira? Eta, horrela bada, zenbat?

Hasteko, eremu ekuazioaren hasierako balioaren formulazio egoki bat hartu behar dugu, bi ekuazio-sistema berri emango dizkiguna: batak hasierako datuen muga emango digu eta besteak hasierako datuak garatzeko prozedura emango digu, soluzio bat lortzeko. Horrela, froga daiteke soluzioak gutxienez lokalki existitzen direla, beste ekuazio diferentzial batzuk aztertzeko erabiltzen diren antzeko ideiak erabiliz.

Gutxi gorabehera “zenbat” soluzio izango ditugun jakiteko, Einsteinen muga-zenbaketaren metodoa erabil dezakegu. Einsteinen ekuazioaren hutseko soluzio orokor bat lortzeko hiru aldagaiko lau funtzio arbitrario eta bi aldagaiko sei funtzio arbitrario behar dira. Funtzio hauek hasierako datuak zehazten dituzte. Hortik abiatuta, hutseko soluzio bakarra lor daiteke.

Hala ere, analisi hori soluzioen existentzia globalaren galderatik oso urrun dago.