Funtzio harmoniko

Matematikan, n aldagaiko funtzio erreal bati D-rekiko funtzio harmonikoa deitzen zaio baldin eta bi baldintza hauek betetzen baditu:

  1. D-ren gainean lehenengo eta bigarren ordenako deribatuak jarraituak izatea .
  2. Laplace-ren ekuazioa betetzea.

Hau da,

zeina edo bezala idatzi ohi da.

Terminologia

"Funtzio harmoniko" terminoak ez dauka zerikusirik "harmoniko" terminoaren esanahiarekin, matematikaren bilakaera historikoarekin baizik.


Harmoniko terminoa mugimendu harmonikotik dator. Mugimendu harmonikoa atezuan dagoen soka batek egiten dituen mugimendu ondulatorioei deritze. Mugimendu harmonikoaren ekuazio diferentzialaren soluzioa sinuen eta kosinuen funtzioekin idatz daiteke; horren ondorioz, funtzio trigonometriko horiei harmonikoak deitzen zaie. Modu berdintsuan, baina dimentsio handiagoetan (hau da, 2 dimentsiotan ez baizik 3tan), uhin baten ekuazio diferentzialaren soluzioak harmoniko esferikoen funtzioak izango dira. Harmoniko esferikoak funtzio harmonikoek definitzen dituzten bi baldintzak betetzen dituztenez, baldintza horiek betetzen dituzten funtzio guztiei funtzio harmonikoak deitzen zaie.

Harmoniko esferikoen irudikapena.

Adibideak

Aldagai erreal batekin lan egiten bada, Laplaceren ekuazioaren emaitzak sinusoideak dira beti, hots, sinuen eta kosinuen arteko konbinazio linealak. Dimentsio handiagoetan eta aldagai konplexuekin lan egiten dugunean emaitzak konplexuagoak izan daitezke. Hona hemen zenbait adibide:

Bi aldagaiko funtzio harmonikoak

  • Edozein funtzio holomorforen parte erreala eta parte irudikaria funtzio harmonikoak dira.
  • eremuan definituta dagoen funtzioa harmonikoa da.

Analisi konplexuarekiko loturak

(ikusi: analisi konplexua)

Edozein funtzio holomorforen parte erreala eta parte irudikaria funtzio harmonikoak dira. Horren ondorio zuzena da edozein funtzio holomorfok Cauchy-Riemann-en ekuazioak betetzen dituela. Egoera horretan, harmoniko konjokatuak direla esaten da.

Funtzio harmonikoen propietateak

Funtzio harmonikoen zenbait propietate garrantzitsu Laplaceren ekuaziotik ondoriozta daitezke.

Funtzio harmonikoen erregulartasunaren teorema

Funtzio harmonikoak infinituki deribagarriak dira. Gainera, funtzio analitikoak dira.

Maximoaren printzipioa

Funtzio harmonikoek honako printzipioa betetzen dute:

Izan bitez -ren edozein azpimultzo trinko eta edozein funtzio harmoniko. Orduan, funtzioak bere maximo eta minimoak -ren mugan izango ditu.

Gainera, konexua bada, -k ezin du maximo edo minimo lokalik eduki, funtzio konstantea ez den bitartean.

Batezbesteko aritmetikoaren teorema

Izan bitez (zentroa puntuan eta erradioa luzerakoa dituen eta -n sartuta dagoen bola) eta f funtzio harmonikoa. Orduan, f(x) funtzioak bolaren zentroan hartzen duen balioa, f-k bolaren gainazalean hartzen dituen balioen batezbestekotik abiatuta zehaztu daiteke:

non aldagaia unitate bateko erradioa daukan bolaren azalera den.

Liouville-ren teorema

Baldin eta f funtzio harmonikoa Rn osoan definituta eta bornatua badago, orduan funtzio konstantea da f.

Orokortzeak

Funtzio harmonikoak gainazaletan

Funtzio harmonikoak zorizko Riemann-en gainazal batean defini daitezke, Laplace-Beltrami-ren eragilea Δ erabiliz. Testuinguru horretan, funtzio bat harmonikoa dela esan dezakegu baldin eta honako baldintza betetzen badu:

Ikus, gainera

Erreferentziak

  • L.C. Evans, 1998. Partial Differential Equations. American Mathematical Society.
  • D. Gilbarg, N. Trudinger Elliptic Partial Differential Equations of Second Order. ISBN 3-540-41160-7.
  • Q. Han, F. Lin, 2000, Elliptic Partial Differential Equations, American Mathematical Society

Kanpo estekak

Read other articles:

Leonid Pasechnik

Artikel ini mungkin terdampak dengan peristiwa terkini: Invasi Rusia ke Ukraina 2022. Informasi di halaman ini bisa berubah setiap saat. Leonid PasechnikЛеонид Иванович ПасечникЛеонід Іванович ПасічникLeonid Pasechnik Tahun 2022 Kepala Republik Rakyat LuhanskPetahanaMulai menjabat 21 November 2018Pelaksana tugas: 24 November 2017-21 November 2018Perdana MenteriSergey Kozlov PendahuluIgor PlotnitskyPenggantiPetahanaMenteri Layanan Keamanan dari R...

 

Alfred Newton

Alfred NewtonLahir(1829-06-11)11 Juni 1829GenevaMeninggal7 Juni 1907(1907-06-07) (umur 77)Cambridge Alfred Newton FRS (Genewa, 11 Juni 1829 – Cambridge, 7 Juni 1907) adalah seorang ahli zoologi dan ahli ornitologi asal Inggris. Newton adalah Profesor Anatomi Komperatif di Universitas Cambridge dari 1866 sampai 1907. Referensi Birkhead, Tim R.; Gallivan, Peter T. (2012). Alfred Newton's contribution to ornithology: a conservative quest for facts rather than grand theories. Ibis. 154: 8...

 

Cordillera Oriental (Colombia)

Cordillera Oriental (Eastern Ranges)Highest pointPeakRitacuba Blanco[1]Elevation5,410 m (17,750 ft)ListingAltiplano Cundiboyacense, Serranía de los Yariguíes, Serranía de las Quinchas, Sierra Nevada del Cocuy, Serranía del PerijáDimensionsLength1,200 km (750 mi) SW-NEArea144,252 km2 (55,696 sq mi)GeographyCountryColombiaParent rangeAndesGeologyAge of rockNeoproterozoic-HoloceneMountain typeAndean Subduction-related orogen The Cordillera...

Cantón de Aserrí

AserríCantón de Aserrí Cantón De arriba abajo, de izquierda a derecha: Parroquia San Luis de Tolosa, antena del ICE en Tarbaca, vista de la ruta n.° 209, panorámica de los Cerros de Escazú, Municipalidad de Aserrí, vista de la Piedra de Aserrí, calle en el centro de Aserrí, vista de una montaña y la Piedra de Aserrí, calle en Tarbaca. BanderaEscudo Otros nombres: Aqueserrí, Aquecerrí Ubicación del cantón de Aserrí en la provincia de San José Coordenadas 9°44′50″N 84°08...

 

Società Polisportiva del Littorio Alma Juventus Fano 1937-1938

Questa voce sull'argomento stagioni delle società calcistiche italiane è solo un abbozzo. Contribuisci a migliorarla secondo le convenzioni di Wikipedia. Segui i suggerimenti del progetto di riferimento. Voce principale: Alma Juventus Fano 1906. Società Polisportiva del Littorio Alma Juventus FanoStagione 1937-1938Sport calcio Squadra Fano Allenatore Remigio Sartoris Presidente Giovanni Anelli Serie C11º posto nel girone eliminatorio D. 1936-1937 1938-1939 Si invita a seguire i...

 

Adyar Creek

Backwater estuary in Adyar, Chennai, India 13°00′N 80°15′E / 13.000°N 80.250°E / 13.000; 80.250 Adyar Creek as viewed from near the coast Adyar Creek is a backwater estuary located in Adyar, Chennai at the mouth of the Adyar River along the Coromandel Coast of the Bay of Bengal. The creek begins near the Chetinnad Palace, extending northward into the mainland and taking a complete U-turn near the Foreshore Estate before ending near Mandavelipakkam. The creek su...

Ljubljana Castle

46°02′56″N 14°30′30″E / 46.04889°N 14.50833°E / 46.04889; 14.50833 Building in Ljubljana, SloveniaLjubljana CastleGeneral informationLocationLjubljana, SloveniaConstruction started11th centuryOwnerCity Hall of LjubljanaDesign and constructionOther designersBoris Kobe, Jože Plečnik Ljubljana Castle (Slovene: Ljubljanski grad, German: Laibacher Schloss) is a castle complex standing on Castle Hill above downtown Ljubljana, the capital of Slovenia. It is a ke...

 

Strada statale 374 di Summonte e di Montevergine

Strada statale 374di Summonte e di MontevergineDenominazioni successiveStrada provinciale ex SS 374 di Summonte (in provincia di Avellino) Strada provinciale 43 ex SS 374 di Summonte e di Montevergine (in provincia di Benevento) LocalizzazioneStato Italia Regioni Campania DatiClassificazioneStrada statale InizioTorelli FineCampizze Lunghezza36,270[1] km Provvedimento di istituzioneD.M. 1/02/1962 - G.U. 97 del 13/04/1962[2] GestoreTratte ANAS: nessuna (dal 2001 la ges...

 

National Archaeological Museum, Florence

Archaeological museum of Florence, Italy National Archaeological Museum of FlorenceMuseo archeologico nazionale di FirenzeLocationPiazza Santissima Annunziata 9 B, Florence, Tuscany, ItalyCoordinates43°46′34.46″N 11°15′44.16″E / 43.7762389°N 11.2622667°E / 43.7762389; 11.2622667TypeArchaeologyWebsiteOfficial website An Etruscan pavilion at the National Archaeological Museum The National Archaeological Museum of Florence (Italian – Museo archeologico nazio...

Post University

For-profit university in Waterbury, Connecticut, US This article has multiple issues. Please help improve it or discuss these issues on the talk page. (Learn how and when to remove these template messages) This article may rely excessively on sources too closely associated with the subject, potentially preventing the article from being verifiable and neutral. Please help improve it by replacing them with more appropriate citations to reliable, independent, third-party sources. (February 2019)...

 

Государственный музей природы и экологии Республики Беларусь

Музей природы и экологии Республики БеларусьМузей прыроды і экалогіі Рэспублікі Беларусь Дата основания 25 июля 1983 года Дата открытия Февраль 1992 года Местонахождение Минск Адрес г. Минск, улица Карла Маркса, д.12, каб.11 Сайт pryroda.histmuseum.by/ru/  Медиафайлы на Викискладе Музей ...

 

周處除三害 (電影)

周處除三害The Pig, The Snake and The Pigeon正式版海報基本资料导演黃精甫监制李烈黃江豐動作指導洪昰顥编剧黃精甫主演阮經天袁富華陳以文王淨李李仁謝瓊煖配乐盧律銘林孝親林思妤保卜摄影王金城剪辑黃精甫林雍益制片商一種態度電影股份有限公司片长134分鐘产地 臺灣语言國語粵語台語上映及发行上映日期 2023年10月6日 (2023-10-06)（台灣） 2023年11月2日 (2023-11-02)（香�...

拉尔·巴哈杜尔·夏斯特里

拉尔·巴哈杜尔·夏斯特里第二任印度总理任期1964年6月9日—1966年1月11日总统薩瓦帕利·拉達克里希南前任古爾扎里拉爾·南達继任古爾扎里拉爾·南達印度外交部長任期1964年6月9日—1964年7月18日总理自己前任古爾扎里拉爾·南達继任斯瓦倫·辛格（英语：Swaran Singh）印度內政部長任期1961年4月4日—1963年8月29日总理賈瓦哈拉爾·尼赫魯前任戈文德·巴拉布·潘特（英语：Govind Balla...

 

世界政區索引

此條目可能包含不适用或被曲解的引用资料，部分内容的准确性无法被证實。 (2023年1月5日)请协助校核其中的错误以改善这篇条目。详情请参见条目的讨论页。 各国相关 主題列表 索引 国内生产总值 石油储量 国防预算 武装部队（军事） 官方语言 人口統計 人口密度 生育率 出生率 死亡率 自杀率 谋杀率 失业率 储蓄率 识字率 出口额 进口额 煤产量 发电量 监禁率 死刑 国债 ...

 

Lincoln Younes

Australian actor (born 1992) Lincoln YounesLincoln Younes at the premiere of Star Trek Into Darkness in 2013.Born (1992-01-31) 31 January 1992 (age 32)[1]Sydney, AustraliaOccupationActorYears active2009–present Lincoln Younes (born 31 January 1992) is an Australian actor. He made his debut in an episode of City Homicide in 2009, before playing Romeo Kovac in Showcase drama series Tangle until 2012. He received the ASTRA Award for Most Outstanding Performance by a Male Acto...

List of psychological research methods

Part of a series onPsychology Outline History Subfields Basic psychology Abnormal Affective neuroscience Affective science Behavioral genetics Behavioral neuroscience Behaviorism Cognitive/Cognitivism Cognitive neuroscience Social Comparative Cross-cultural Cultural Developmental Differential Ecological Evolutionary Experimental Gestalt Intelligence Mathematical Moral Neuropsychology Perception Personality Psycholinguistics Psychophysiology Quantitative Social Theoretical Applied psychology ...

 

Brownhills railway station

This article is about the disused station on the South Staffordshire Line. For the other disused station in Brownhills operated by the Midland Railway, see Brownhills Watling Street railway station. Disused railway station in England BrownhillsA train passes through Brownhills in 1909General informationLocationBrownhills and Clayhanger, WalsallEnglandCoordinates52°38′58″N 1°56′05″W / 52.6494°N 1.9346°W / 52.6494; -1.9346Grid referenceSK045057Platforms2Other...

 

Filar micrometer

Specialized eyepiece A filar micrometer attached to a telescope A filar micrometer is a specialized eyepiece used in astronomical telescopes for astrometry measurements, in microscopes for specimen measurements, and in alignment and surveying telescopes for measuring angles and distances on nearby objects. Filar derives from the Latin filum (thread). It refers to the fine threads or wires used in the device. Construction and use Filar micrometer A typical filar micrometer consists of a reticl...

Aleksandar Vasilev (footballer, born 1995)

Bulgarian footballer Aleksandar Vasilev Personal informationFull name Aleksandar Veselinov VasilevDate of birth (1995-04-27) 27 April 1995 (age 29)Place of birth Strazhitsa, BulgariaHeight 1.68 m (5 ft 6 in)[1]Position(s) Left back / Left wingerYouth career Levski Strazhitsa Vidima-Rakovski0000–2012 Chavdar EtropoleSenior career*Years Team Apps (Gls)2012–2013 Chavdar Etropole 23 (2)2013–2014 Kaliakra Kavarna 23 (1)2014–2018 Ludogorets Razgrad 27 (1)2015–2...

 

2013 European Athletics U23 Championships – Women's discus throw

2013 European Athletics U23 ChampionshipsTrack events100 mmenwomen200 mmenwomen400 mmenwomen800 mmenwomen1500 mmenwomen5000 mmenwomen10,000 mmenwomen100 m hurdleswomen110 m hurdlesmen400 m hurdlesmenwomen3000 msteeplechasemenwomen4 × 100 m relaymenwomen4 × 400 m relaymenwomenRoad events20 km walkmenwomenField eventsHigh jumpmenwomenPole vaultmenwomenLong jumpmenwomenTriple jumpmenwomenShot putmenwomenDiscus throwmenwomenHammer throwmenwomenJavelin throwmenwomenCombined eventsHeptathlonwome...