Biderketa eskalar

Biderketa eskalarra espazio euklidearrean.

Matematikan, biderketa eskalarra [1] eragiketa aljebraiko bat da, dimentsio bereko bi bektore hartzen dituena eta zenbaki bat ematen duena. Geometria euklidearrean, biderketa eskalarra oso erabilgarria da koordenatuekin lantzeko.

Aljebraikoki, bi bektoreen biderketa eskalarra batuketa bat da, eta honela kalkulatzen da:

Geometrikoki bektoreen arteko angeluarekin () erlazionatzen da:

non eta bektoreen luzerak diren.

Historia

Lagrangen estatua Turinen

Biderketa eskalarra biderketa bektorialarekin batera garatu zen. XVIII.mendean, Joseph-Louis Lagrange matematikari italiarrak definitu zituen bi biderketa hauek tetraedroa ikertzeko.

Ondoren, 1843an, William Rowan-ek koartenioiak sortu zituenean, biderketa eskalarra ere azaldu zuen. 40 urte geroago, Josiah Williard Gibbs konturatu zen koaternioien teoria gogaikarria zela; izan ere, biderketa eskalarrak beste era batera egin behar ziren.

Momentu honetan, Gibbsen lanari esker biderketa eskalarra baliabide estandar gisa onartu zen ikerketa geometrikoetan.

Interpretazio geometrikoa

Bektoreak geometrikoki deskribatzen badira, moduluaren, norabidearen eta noranzkoaren arabera, posible da biderketa eskalarra geometrikoki definitzea. edo espazioetan, bektoreak gezi gisa adieraz daitezke. Gezien luzera bektorearen modulua da, eta bektorearen norabidean eta noranzkoan apuntatzen dute. Bektoreak puntu beretik abiatuta irudikatzen badira, haien geziek angelu bat osatuko dute. Biderketa eskalarra bektoreen artean puntu bat jarriz adierazten dugu.

bektorearen proiekzioa bada
bektorearen proiekzioa bada

Formula honen elementuak aztertzen baditugu, lehenengo biak eta dira. Hauek eta -ren moduluak dira; beraz, biderketa eskalarrak bektoreak zein luzeak diren hartzen du kontuan. Azkeneko faktorea da, non eta bektoreek osatzen duten angelua den. Horrek adierazten digu biderketa eskalarrak norabidearekin zerikusia duela.[2]

Zehazki, denean bi bektoreek norabide bera dute. Orduan hartzen du biderketa eskalarrak baliorik handiena, baita. Oro har, bi bektoreen norabidea zenbat eta antzekoagoa izan, orduan eta handiagoa izango da haien arteko biderketa eskalarra.

denean, bi bektoreak elkarzutak dira. Kasu honetan biderketa eskalarra 0 izango da, delako.

Biderketa eskalarra negatiboa izan daiteke bi bektoreek kontrako noranzkoan seinalatzen badute, hau da, denean.

Biderketa eskalarra ikusteko beste modu bat da bektore batek bestearen gainean proiektatzen duen itzalean pentsatzea. Angelua txikia denean, itzala jatorritik urrun dago eta biderketa eskalarra handia da. Angelua tik gertu dagoenean, berriz, proiektatzen den itzala jatorriaren ondoan dago eta biderketa txikia da.

Bektoreen luzera

Aurreko formula erabiliz bektore baten luzera kalkula daiteke.

Bi bektoreren arteko angelua

Bektoreen arteko angelua ere kalkula daiteke.

Propietateak

Bira a,b eta c bektoreak espazio jakin batean eta izan bedi k eskalar bat, hau da, zenbaki bat. Orduan, hurrengo propietateak betetzen dira [3]:

1. Trukakortasuna:

2. Banakortasuna gehieketarekiko:

3. Elkarkortasuna k eskalar baten biderketarekiko:[4]

Definizio orokorra

Biderketa eskalarra espazio bektorialetan defini daiteke. Izan bedi gaineko bektore-espazioa. Orduan, gaineko biderketa eskalarra aplikazio bat da non forma bilineala, simetrikoa, ez-endakatua eta positiboki definitua den [5]. Hau da, -k hurrengo propietateak ditu:

  • bilineala da:
.
.
  • simetrikoa da:
.
  • ez-endakatua da:
.
  • positiboki definitua da:
.

Definizioa koordenatuekin

Izan bitez = eta = -ko bi bektore. Orduan, haien arteko biderkadura eskalarra honela definitzen da:

Adibidez, espazio tridimentsionalean, eta bektoreen biderketa eskalarra horrela kalkulatzen da:

Halaber, bektorearen luzeraren karratua honela lortzen da:

Beraz, -ren luzera da.

Matrizeekin

eta bektoreak beren koordenatuen zutabe-matrizeekin identifikatzen badira, biderketa eskalarra matrizial gisa ikus daiteke:

non -ren iraulia den.

Biderketa eskalarra espazio euklidearrean

Adierazpen analitikoa

Izan bitez y bektoreak espazio euklidear tridimentsionalean.

eta -ren arteko biderketa eskalarra forma matrizialean definitzen da:

Bi bektoreak oinarri batean adierazten badira, orduan, bidekerta eskalarraren propietateak kontuan hartuta:

Adierazpen luze hau era matrizialean laburbil daiteke:

non A-ri biderketaren Gram-en matrizea deritzon. Matrize honen sarrerak oinarriaren biderketa eskalarrak dira, hau da, . Oinarria ortonormala izanez gero, Gramen matrizea unitate matrize da.


Adierazpen hauek n dimentsioko espazioetara orokortu ahal dira. U eta V -en bi bektore baldin badira, orduan:

Era berean, oinarri batean bi bektoreen koordenatuekin lan daiteke, ondorioz, biderketa eskalarra honela idazten da:

non Gramem A matrizea n x n ordena duen.

Biderketa eskalarra beste espaziotan

Hurrengo zerrendan espazio normatuetan erabiltzen diren biderketa eskalar ohikoenak zerrendatzen dira. Espazioaren arabera, biderketa eskalar desberdinak definitzen dira, espazioetako elementuak desberdinak baitira. Biderketa eskalar hauek kanonikotzat hartzen dira. Hala ere, espazio bakoitzean biderketa eskalar bat baino gehiago defini daiteke.

  • -en arrunta da biderketa eskalar honekin lantzea:
  • -en biderketa eskalar ohikoena hau da:
[6]

non elementua -ren konjugatua den.

  • Matrize-espazioetan ere defini daitezke, adibidez, m x n dimentsiodun matrize errealetan biderketa eskalar hau definitzen da:

non matrizearen aztarna den eta matrizearen iraulia.

non funtzioa -ren konjugatua den.

  • n edo gradu gutxiagoko polinomioen espazio bektorialean:

Izan bedi , non elementuak ordenatuta dauden, hau da, :

Biderketa hirukoitza

Biderketa hirukoitza espazioan

Biderketa eskalarrak bektoreen arteko biderketa hirukoitza definitzeko balio du, biderketa bektorialarekin batera.

Eragiketa honi biderketa hirukoitza esaten zaio:

Honen balioa determinante bat da [7] , hiru bektoreen koordenatuek osatzen duten matrizearen determinantea, alegia. Horrez gain, hiru bektoreek definitzen duten paralelepipedoaren bolumena da. Oso lagungarria da, batez ere Fisikan, kalkuluak errazteko.

Kosinuaren Teorema

a eta b bektoreez eta angeluaz definitutako triangelua.


Izan bitez bi bektore eta , haien artean angelua osatzen dutenak. Horrela bektorearekin triangelu bat osatzen dute. Halaber, , eta balioak , , eta bektoreen luzerak baldin badira, hurrenez hurren. Orduan, azken bektore honen luzera kalkulatu [8]

eta kosinuaren teorema lortzen da.

Ikus, gainera

Bibliografia

  • (Ingelesez) Serway, Raymond A.. (2004). Physics for Scientists and Engineers. Brooks/Cole ISBN 0-534-40842-7..
  • (Gaztelaniaz) Física para la ciencia y la tecnología (2 volúmenes). Barcelona: Ed. Reverté ISBN 84-291-4382-3..

Erreferentziak

  1. "Dot Product". www.mathsisfun.com
  2. A I Borisenko; I E Taparov (1968). Vector and tensor analysis with applications. Translated by Richard Silverman. Dover. p. 14.
  3. Nykamp, Duane. "The dot product". Math Insight. Retrieved September 6, 2020.
  4. A. Bedford; Wallace L. Fowler (2008). Engineering Mechanics: Statics (5th ed.). Prentice Hall. p. 60.
  5. Txomin Ramirez, M. Asun García. Espazio Euklidearrak (2015). OCW Proiektua.[1]
  6. Berberian, Sterling K. (2014) [1992]. Linear Algebra. Dover. p. 287
  7. J. Heading (1970). Mathematical Methods in Science and Engineering. American Elsevier Publishing Company, Inc. pp. 262–263.
  8. Heath, Thomas Little. (1921). A history of Greek mathematics,. The Clarendon Press PMC 2014918..

Kanpo estekak

Read other articles:

هندية إيرانيةآريانيةالتوزيعالجغرافي:جنوب، وسط، وغرب آسياتصنيفات اللغوية:هندية أوروبيةهندية إيرانيةاللغة البدائية:هندية إيرانيةفروع: هندية آرية إيرانية نوريستانية أيزو 639-5:iirغلوتولوغ:indo1320[1]{{{اسم الخريطة}}}التوزيع الحالي لفروع الهندية الأوروبية في أوراسيا:   هن...

 

Artikel ini sebatang kara, artinya tidak ada artikel lain yang memiliki pranala balik ke halaman ini.Bantulah menambah pranala ke artikel ini dari artikel yang berhubungan atau coba peralatan pencari pranala.Tag ini diberikan pada September 2016. Sol DavisInformasi pribadiNama lengkap Solomon Sebastian DavisTanggal lahir 4 September 1979 (umur 44)Tempat lahir Bath, EnglandTinggi 5 ft 8 in (1,73 m)Posisi bermain Bek kiriInformasi klubKlub saat ini Luton TownNomor 3Karier se...

 

2012 2022 Élections législatives de 2017 dans l'Yonne 3 sièges de députés à l'Assemblée nationale 11 et 18 juin 2017 Type d’élection Élections législatives Campagne 22 mai au 10 juin12 juin au 16 juin Corps électoral et résultats Inscrits au 1er tour 241 809 Votants au 1er tour 121 851   50,39 %  9,2 Votes exprimés au 1er tour 119 231 Votes blancs au 1er tour 1 965 Votes nuls au 1er tour 655 Inscrits au 2d tour 241 743 Votants au ...

Major League Baseball season Major League Baseball team season 1912 Boston Red SoxWorld Series ChampionsAmerican League ChampionsLeagueAmerican LeagueBallparkFenway ParkCityBoston, MassachusettsRecord105–47 (.691)League place1stOwnersJohn I. TaylorJimmy McAleerManagersJake StahlStatsESPN.comBB-reference ← 1911 Seasons 1913 → The 1912 Boston Red Sox season was the 12th season in the franchise's Major League Baseball history. This was the first year that the team pl...

 

Not to be confused with World Kickboxing Association. Radio station in Vinton, VirginiaWKBAVinton, VirginiaBroadcast areaRoanoke, VirginiaRoanoke ValleyFrequency1550 AM kHzBrandingClassic Country 93.1ProgrammingFormatClassic countryOwnershipOwnerBrian Sizer(Backroads Radio, LLC)HistoryFirst air dateOctober 9, 1961[1]Technical informationFacility ID67180ClassDPower10,000 watts (AM daytime only)Transmitter coordinates37°17′24.0″N 79°55′22.0″W / 37.290000°N 79....

 

Isaac D'IsraeliIsaac D'Israeli dalam sebuah potret dari tahun 1797Lahir(1766-05-11)11 Mei 1766Enfield, Middlesex, InggrisMeninggal19 Januari 1848(1848-01-19) (umur 81)Bradenham, Buckinghamshire, InggrisKebangsaanBritania RayaAlmamaterUniversitas LeidenPekerjaanPenulisCendekiawanTahun aktif1782–1848Tempat kerjaJohn MurraySuami/istriMaria BaseviAnak5, termasuk Benjamin DisraeliOrang tuaBenjamin D'Israeli (bapak)Sarah Syprut de Gabay Villa Real (ibu) Isaac D'Israeli (11 Mei 1766...

Cave and archaeological site in Spain This article includes a list of references, related reading, or external links, but its sources remain unclear because it lacks inline citations. Please help improve this article by introducing more precise citations. (August 2010) (Learn how and when to remove this message) AxlorShown within SpainLocationDima villageRegionBiscay, Basque CommunityCoordinates43°07′16″N 2°43′41″W / 43.12111°N 2.72806°W / 43.12111; -2.728...

 

Hunslet Grange FlatsGeneral informationLocationHunslet, LeedsCoordinates53°46′48″N 1°31′52″W / 53.77990°N 1.53105°W / 53.77990; -1.53105StatusDemolishedNo. of units350ConstructionConstructed1957–1961ArchitectMartin Richardson of The Yorkshire Development Group (YDG) and E. W. StanleyContractorsShepherd ConstructionAuthorityLeeds City CouncilStyleBrutalismDemolished1983 The Hunslet Grange Flats (colliqually known as the Leek Street Flats) was a complex of...

 

English painter Colin GillBorn(1892-05-12)12 May 1892Bexleyheath, KentDied16 November 1940(1940-11-16) (aged 48)South AfricaNationalityBritishEducationSlade School of ArtKnown forPainting, drawing Colin Unwin Gill (12 May 1892 – 16 November 1940) was an English artist who painted murals and portraits and is most notable for the work he produced as a war artist during the First World War.[1] Biography Early life Colin Gill was born at Bexleyheath in Kent.[2] He ...

Pour l’article homonyme, voir Western Mail (Australie) pour l'hebdomadaire australien disparu. Pour les articles homonymes, voir Western Mail. Western Mail Pays Pays de Galles Langue Anglais Périodicité Quotidien Genre Généraliste Diffusion 32 926 (août 2009)[1] ex. Date de fondation 1869 Ville d’édition Cardiff Propriétaire Trinity Mirror Rédacteur en chef Alan Edmunds Site web Walesonline modifier  Le Western Mail est un quotidien régional britannique, que l'on classe dan...

 

У этого термина существуют и другие значения, см. Горностай (значения). Горностай Научная классификация Домен:ЭукариотыЦарство:ЖивотныеПодцарство:ЭуметазоиБез ранга:Двусторонне-симметричныеБез ранга:ВторичноротыеТип:ХордовыеПодтип:ПозвоночныеИнфратип:Челюстнороты...

 

Artikel ini sebatang kara, artinya tidak ada artikel lain yang memiliki pranala balik ke halaman ini.Bantulah menambah pranala ke artikel ini dari artikel yang berhubungan atau coba peralatan pencari pranala.Tag ini diberikan pada Desember 2023. Halaman ini memuat daftar mengenai suatu topik. Daftar ini tidak dimaksudkan sebagai suatu daftar yang lengkap atau selalu terbarui. Jika Anda melihat artikel yang seharusnya tercantum di sini, silakan sunting halaman ini dan tambahkan pranala ke arti...

5th Critics' Choice Television AwardsDateMay 31, 2015 (2015-05-31)LocationThe Beverly Hilton, Los AngelesCountryUnited StatesPresented byBroadcast Television Journalists AssociationHosted byCat DeeleyHighlightsMost awardsOlive Kitteridge (3)Most nominationsJustifiedOlive Kitteridge (5)Best Comedy SeriesSilicon ValleyBest Drama SeriesThe AmericansWebsitewww.criticschoice.comTelevision/radio coverageNetworkA&E ← 4th · Critics' Choice Television Award · ...

 

1990 single by Echo & the BunnymenEnlighten MeSingle by Echo & the Bunnymenfrom the album Reverberation B-sideLady Don't Fall BackwardsReleased22 October 1990[1]GenreAlternative rockLabelKorovaSongwriter(s)Noel Burke, Jake Drake-Brockman, Les Pattinson, Damon Reece, Will SergeantEcho & the Bunnymen singles chronology 'New Live and Rare' (1988) Enlighten Me (1990) Prove Me Wrong (1991) Enlighten Me is a single by Echo & the Bunnymen which was released in October 1990. ...

 

Art museum in Pennsylvania, United States This article is about the modern museum. For the earlier museum, see Peale's Philadelphia Museum. Philadelphia Museum of ArtPhiladelphia Museum of Art's main building at Eakins OvalInteractive fullscreen mapEstablishedFebruary 1876; 148 years ago (1876-02)[1]Location2600 Benjamin Franklin Parkway, Philadelphia, Pennsylvania, U.S.[2]Coordinates39°57′57″N 75°10′53″W / 39.96583°N 75.18139�...

Issue or incident which incites widespread controversy and public debate For other uses, see Cause célèbre (disambiguation). This article may contain excessive or irrelevant examples. Please help improve the article by adding descriptive text and removing less pertinent examples. (April 2023) A cause célèbre (/ˌkɔːz səˈlɛb(rə)/ ⓘ KAWZ sə-LEB(-rə),[1] French: [koz selɛbʁ]; pl. causes célèbres, pronounced like the singular) is an issue or incident arousing...

 

German author, sociologist and economist (1943–2023) Gunnar HeinsohnHeinsohn in 2013Born(1943-11-21)21 November 1943Gotenhafen, Reichsgau Danzig-West Prussia, Germany (now Gdynia, Poland)Died16 February 2023(2023-02-16) (aged 79)Gdańsk, PolandOccupationsProfessor emeritus in BremenauthorpublisherAcademic workDisciplineEconomicssocial pedagogyMain interestsDemographicsyouth bulgeeconomicsproperty premiummoney theory Gunnar Heinsohn (21 November 1943 – 16 February 2023) was a German a...

 

Municipality in Kerala, IndiaPanoorMunicipalityPanoorLocation in Kerala, IndiaShow map of KeralaPanoorPanoor (India)Show map of IndiaCoordinates: 11°45′07″N 75°35′45″E / 11.7518700°N 75.595860°E / 11.7518700; 75.595860Country IndiaStateKeralaDistrictKannurTalukThalasseryMunicipality Established2015Government • BodyMunicipality • ChairmanV.Nasar masterArea • Total28.53 km2 (11.02 sq mi)Elevation27 ...

Orang Han (漢族 atau 汉族)Zhou GongGong FuziLaoziQu YuanZhuge LiangWang XizhiTang TaizongLi BaiQin ShihuangHan WudiWu ZetianYue FeiWen TianxiangQin LiangyuKoxingaSun Yat-senJumlah populasi1.310.000.000 (satu miliar tiga ratus sepuluh juta)19,73% populasi dunia(estimasi)Daerah dengan populasi signifikan Tiongkok1.317.541.842[1] Taiwan22.575.365[2] Hong Kong7.393.410[3] Singapura2.984.936[4] Makau433.641[5] Thailand9.053.240[6] Malaysia7.590.500[7] Am...

 

Pour les articles homonymes, voir Famille Ennaifer. Cet article est une ébauche concernant une personnalité tunisienne. Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant (comment ?) selon les recommandations des projets correspondants. Hmida EnnaiferPortrait de Hmida Ennaifer.BiographieNaissance 1942TunisNationalité tunisienneFormation Faculté des lettres de Paris (doctorat)Université Zitouna (maîtrise (d))Université de TunisActivités Théologien, universitaireAutres inf...