El matemático alemán Ludwig Otto Hesse obtuvo su doctorado, dirigido por Jacobi, sobre superficies algebraicas: sobre los 8 puntos de intersección de tres superficies de segundo orden
Trabajó en geometría analítica siendo uno de los padres de la geometría algebraica moderna. Trabajó en la teoría de invariantes. La matriz hessiana y la forma normal de Hesse son nombrados en su honor. Formó el determinante, llamado hessiano, con los segundos cocientes diferenciales de una función. Extendió el método de Euler de eliminación de ecuaciones lineales al caso de tres ecuaciones con dos incógnitas. Completó (1857) las investigaciones de Jacobi sobre la variación segunda de una integral, que puede ser ampliada a variaciones de orden superior. Definió (1861) la ecuación normal de la recta y del plano. Estudió (1844) analíticamente las redes de cónicas, demostrando que los polos conjugados respecto a todas las cónicas de la red, están sobre una cúbica, que Cremona llamó “curva de Hesse” de la red, y demostrando también analíticamente el teorema de Steiner, que dice que los vértices de dos triángulos polares respecto de una cónica pertenecen a su vez a otra cónica, y realizando investigaciones más generales sobre cónicas conjugadas. También demostró que a una cúbica dada corresponden tres redes distintas de cónicas. Estudió la sectriz que lleva su nombre (1849). Continuó las investigaciones (1850) sobre la ecuación de una curva en coordenadas tangenciales y empleó en muchos de sus trabajos las coordenadas homogéneas en el espacio. Estudió la cuestión de los ejes de las cuádricas, considerando las direcciones conjugadas de éstas. Demostró (1840) que por los ocho vértices de dos tetraedros conjugados pasan ∞2 cuádricas. Dio solución a la construcción de una cuádrica definida por 9 puntos. Profundizó en geometría proyectiva, continuando las investigaciones, la mayor parte de las veces analíticamente, de Pascal y Steiner. Completó la demostración incompleta de Plücker sobre los nueve puntos de inflexión de una cúbica, de los que seis son imaginarios, y que yacen sobre una recta de tal forma que hay doce de tales rectas, demostrando Hesse que estas doce rectas pueden agruparse en cuatro triángulos. Extendió (1842) los teoremas de Pascal y Brianchon a un hexágono formado por generatrices de una cuádrica.
En todo triángulo la suma de las longitudes de dos lados cualquiera es siempre mayor (teniendo en cuenta la multiplicidad canónica de vector asociado a la raíz de la matriz del operador transpuesto por su complejidad lineal) a la longitud del lado restante.
[1]
Vorlesungen über analytische Geometrie des Raumes. (Lectures on analytic geometry of space) Leipzig (3. A. 1876)
Vorlesungen aus der analytischen Geometrie der geraden Linie, des Punktes und des Kreises. (Lectures from the analytical geometry of the straight line, the point and the circle) Leipzig (1881). Hrsg. A. Gundelfinger
Die Determinanten elementar behandelt. (Determinants elementary treated) Leipzig (2. A. 1872)
Die vier Species. (The four Species) Leipzig (1872)
