En la microeconomía, la función de gasto describe la cantidad mínima de dinero que un individuo necesita para lograr un cierto nivel de utilidad, dada una función de utilidad y precios.^[1]​

Formalmente, si hay una función de utilidad ${\displaystyle u}$ que describe las preferencias sobre las ${\displaystyle n}$ mercancías, la función de gasto

${\displaystyle e(p,u^{*}):{\textbf {R}}_{+}^{n}\times {\textbf {R}}\rightarrow {\textbf {R}}}$

establece qué cantidad de dinero se necesita para lograr una utilidad ${\displaystyle u^{*}}$ si los ${\displaystyle n}$ precios son dados por el vector de precios ${\displaystyle p}$. Esta función es definida por

${\displaystyle e(p,u^{*})=\min _{x\in \geq (u^{*})}p\cdot x}$

donde

${\displaystyle \geq (u^{*})=\{x\in {\textbf {R}}_{+}^{n}:u(x)\geq u^{*}\}}$

es el conjunto de todas las canastas que dan utilidad al menos tan buena como ${\displaystyle u^{*}}$.

Expresado de manera equivalente, el individuo minimiza el gasto ${\displaystyle x_{1}p_{1}+\dots +x_{n}p_{n}}$ sujeto a la restricción de utilidad mínima que ${\displaystyle u(x_{1},\dots ,x_{n})\geq u^{*},}$ dando cantidades óptimas para consumir de los distintos bienes como ${\displaystyle x_{1}^{*},\dots x_{n}^{*}}$ como funciones de ${\displaystyle u^{*}}$ y los precios; entonces la función de gasto es:

${\displaystyle e(p_{1},\dots ,p_{n};u^{*})=p_{1}x_{1}^{*}+\dots +p_{n}x_{n}^{*}.}$

Suponga que ${\displaystyle u}$ es una función de utilidad continua que representa una relación de preferencia localmente no saciada º en ${\displaystyle R_{+}^{n}}$. Entonces ${\displaystyle e(p,u)}$ es

1.   Homogéneo de grado 1 en ${\displaystyle p}$: para todo ${\displaystyle \lambda }$>0, ${\displaystyle e(\lambda p,u)=\lambda e(p,u);}$

2.   Continuo en ${\displaystyle p}$ y en ${\displaystyle u;}$

3.   No decreciente en ${\displaystyle p}$ y estrictamente creciente en ${\displaystyle u}$ dado ${\displaystyle p\gg 0;}$

4.   Cóncavo en ${\displaystyle p}$

5. Si la función de utilidad es estrictamente cuasi-convexa, existe el lema de Shephard.

Pruebas

(1) Como en la proposición anterior, nótese queː

${\displaystyle e(\lambda p,u)=\min _{x\in \mathbb {R} _{+}^{n}:u(x)\geq u}}$ ${\displaystyle \lambda p\cdot x=\lambda \min _{x\in \mathbb {R} _{+}^{n}:u(x)\geq u}}$ ${\displaystyle p\cdot x=\lambda e(p,u)}$

(2) Continúa en el dominio ${\displaystyle e}$: ${\displaystyle {\textbf {R}}_{++}^{N}*{\textbf {R}}\rightarrow {\textbf {R}}}$

(3) Sea ${\displaystyle p^{\prime }>p}$ y suponiendo ${\displaystyle x\in h(p^{\prime },u)}$. Entonces ${\displaystyle u(h)\geq u}$, y ${\displaystyle e(p^{\prime },u)=p^{\prime }\cdot x\geq p\cdot x}$ . De ello procede que ${\displaystyle e(p,u)\leq e(p^{\prime },u)}$.

Para la segunda afirmación, supongamos por el contrario que para algunas ${\displaystyle u^{\prime }>u}$, ${\displaystyle e(p,u^{\prime })\leq e(p,u)}$ Que, para algunos ${\displaystyle x\in h(p,u)}$, ${\displaystyle u(x)=u^{\prime }>u}$, que contradice la conclusión de "sin exceso de utilidad" de la proposición anterior

(4) Sea ${\displaystyle t\in (0,1)}$ y suponiendo ${\displaystyle x\in h(tp+(1-t)p^{\prime })}$. Entonces, ${\displaystyle p\cdot x\geq e(p,u)}$ y ${\displaystyle p^{\prime }\cdot x\geq e(p^{\prime },u)}$, por tanto ${\displaystyle e(tp+(1-t)p^{\prime },u)=(tp+(1-t)p^{\prime })\cdot x\geq }$${\displaystyle te(p,u)+(1-t)e(p^{\prime },u)}$.

(5) ${\displaystyle {\frac {\delta (p^{0},u^{0})}{\delta p_{i}}}=x_{i}^{h}(p^{0},u^{0})}$

Suponga que la función de utilidad es la función Cobb-Douglas ${\displaystyle u(x_{1},x_{2})=x_{1}^{.6}x_{2}^{.4},}$ que genera las funciones de demanda^[2]​

${\displaystyle x_{1}(p_{1},p_{2},I)={\frac {.6I}{p_{1}}}\;\;\;\;{\rm {y}}\;\;\;x_{2}(p_{1},p_{2},I)={\frac {.4I}{p_{2}}},}$

donde ${\displaystyle I}$ es el ingreso del consumidor. Una manera de encontrar la función de gasto es encontrar primero la función de utilidad indirecta e invertirla. La función de utilidad indirecta ${\displaystyle v(p_{1},p_{2},I)}$ se encuentra reemplazando las cantidades en la función de utilidad con las funciones de demanda, por tanto:

${\displaystyle v(p_{1},p_{2},I)=u(x_{1}^{*},x_{2}^{*})=(x_{1}^{*})^{.6}(x_{2}^{*})^{.4}=\left({\frac {.6I}{p_{1}}}\right)^{.6}\left({\frac {.4I}{p_{2}}}\right)^{.4}=(.6^{.6}*.4^{.4})I^{.6+.4}p_{1}^{-.6}p_{2}^{-.4}=Kp_{1}^{-.6}p_{2}^{-.4}I,}$

donde ${\displaystyle K=(.6^{.6}*.4^{.4}).}$ De esta manera, dado que ${\displaystyle e(p_{1},p_{2},u)=e(p_{1},p_{2},v(p_{1},p_{2},I))=I}$, cuando el consumidor optimiza, podemos invertir la función de utilidad indirecta para encontrar la función de gasto:

${\displaystyle e(p_{1},p_{2},u)=(1/K)p_{1}^{.6}p_{2}^{.4}u,}$

Alternativamente, la función de gasto puede encontrarse solucionando el problema de minimización ${\displaystyle (p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2})}$ sujeto a la restricción ${\displaystyle u(x_{1},x_{2})\geq u^{*}.}$ Esto produce funciones de demanda condicionadas ${\displaystyle x_{1}^{*}(p_{1},p_{2},u^{*})}$ y ${\displaystyle x_{2}^{*}(p_{1},p_{2},u^{*})}$. Por tanto, la función de gasto es

${\displaystyle e(p_{1},p_{2},u^{*})=p_{1}x_{1}^{*}+p_{2}x_{2}^{*}}$

• Ecuación de Slutski
• Lema de Shephard