En Álgebra, las extensiones de cuerpo son el problema fundamental de la Teoría de Cuerpos. Un cuerpo es un conjunto en el que las operaciones suma y producto están definidas y «funcionan bien». Cuando se construye una extensión de un cuerpo, se busca un conjunto más grande en el que las operaciones suma y producto sigan funcionando bien y además se puedan resolver las ecuaciones polinómicas.

Sea (K, +, ·) un cuerpo. Un cuerpo L es una extensión de K si K es un subcuerpo de L, es decir si (L,+,·) es un cuerpo y (K,+,·) es un cuerpo con la restricción a K de las operaciones + y · en L. Si L es extensión sobre K se denota L:K o L/K.

• Si L es una extensión de K, entonces L es un espacio vectorial sobre K.

En efecto, La adición de K sirve también de adición en el espacio vectorial, y la multiplicación de un elemento de K por uno de L define el producto escalar del espacio vectorial:

Por definición de cuerpo, ${\displaystyle (L,+)}$ es grupo abeliano, y podemos considerar el producto por escalares ${\displaystyle \cdot :K\times L\longrightarrow L}$ como una restricción a ${\displaystyle K\times L}$ del producto en ${\displaystyle \cdot :L\times L\longrightarrow L}$. De esta forma es inmediato que se cumple que:

• ${\displaystyle a\cdot (\alpha +\beta )=(a\cdot \alpha )+(a\cdot \beta )}$,

• ${\displaystyle (a+b)\cdot \alpha =(a\cdot \alpha )+(b\cdot \alpha )}$,

• ${\displaystyle (a\cdot (b\cdot \alpha ))=(a\cdot b)\cdot \alpha }$,

• ${\displaystyle 1\cdot \alpha =\alpha }$,

cualesquiera que sean ${\displaystyle a,b\in K}$ y ${\displaystyle \alpha ,\beta \in L}$. Las dos primeras propiedades son debidas a la distributividad del producto respecto de la suma en ${\displaystyle L}$ y a que ${\displaystyle K\subset L}$, la tercera se debe a que el producto es asociativo en ${\displaystyle L}$, y la cuarta se debe a que ${\displaystyle K}$ es subcuerpo de ${\displaystyle L}$, por lo que el elemento unidad de ${\displaystyle L}$ es el elemento unidad de ${\displaystyle K}$.

El conjunto ${\displaystyle K(\alpha ):=\left\{{\frac {f(\alpha )}{g(\alpha )}}:f,g\in K[x],g(\alpha )\neq 0\right\}}$. Este conjunto es un cuerpo, es extensión de ${\displaystyle K}$, es subcuerpo de ${\displaystyle L}$, y de hecho es la menor extensión de ${\displaystyle K}$ que contiene a ${\displaystyle \alpha }$. Se le denomina extensión generada por α sobre ${\displaystyle K}$.

Sea ${\displaystyle K}$ un cuerpo y ${\displaystyle p\in K[x]}$ un polinomio irreducible, entonces existe alguna extensión ${\displaystyle L:K}$ de manera que ${\displaystyle p}$ tiene alguna raíz en ${\displaystyle L}$.

La función ${\displaystyle \beta :K[x]\longrightarrow K(\alpha )}$ que a cada polinomio ${\displaystyle p(x)\in K[x]}$ le hace corresponder su evaluación en ${\displaystyle \alpha }$, i.e., ${\displaystyle \beta (p)=p(\alpha )}$. Esta aplicación es de hecho un isomorfismo de anillos conmutativos y unitarios, y se denomina homomorfismo evaluación.

Una extensión ${\displaystyle L:K}$ se dice que es algebraica si todo elemento ${\displaystyle \alpha \in L}$ es algebraico sobre ${\displaystyle K}$.

Supongamos que existe algún polinomio ${\displaystyle p\in K[x]}$ que tiene a ${\displaystyle \alpha }$ por raíz.

En esta situación (${\displaystyle \ker(\beta )\neq \{0\}}$, o equivalentemente, existe algún ${\displaystyle p\in K[x]}$ irreducible con ${\displaystyle {\frac {K[x]}{(p)}}\cong K(\alpha )}$) se dice que ${\displaystyle \alpha }$ es algebraico sobre ${\displaystyle K}$.

Un elemento es entonces algebraico sobre un cuerpo si y solo si es raíz de algún polinomio a coeficientes en dicho cuerpo.

Si ${\displaystyle \alpha }$ es un elemento algebraico sobre el cuerpo ${\displaystyle K}$ de manera que ${\displaystyle \alpha \notin K}$, el polinomio ${\displaystyle p}$ que genera al núcleo de la aplicación evaluación (i.e., ${\displaystyle \ker \beta =(p)}$) es irreductible. Dividiendo ${\displaystyle p}$ por su coeficiente principal (aquel escalar que multiplica a la mayor potencia de la variable ${\displaystyle x}$) se obtiene un polinomio mónico (es decir, de manera que su coeficiente principal es la unidad), que se denota por ${\displaystyle m_{\alpha }^{K}}$ y se denomina polinomio mónico irreductible de ${\displaystyle \alpha }$ respecto de ${\displaystyle K}$.

Claramente, ${\displaystyle K(\alpha )\cong {\frac {K[x]}{(m_{\alpha }^{K})}}}$.

Una extensión ${\displaystyle L:K}$ se dice que es trascendente si existe algún elemento ${\displaystyle \alpha \in L}$ que sea trascendente sobre ${\displaystyle K}$.

Si el ker${\displaystyle (\beta )=\{0\}}$, será ${\displaystyle \beta }$ un monomorfismo. En ese caso, ${\displaystyle K(x)}$ es isomorfo a ${\displaystyle K(\alpha )}$.

Se dirá que el elemento ${\displaystyle \alpha }$ es trascendente sobre ${\displaystyle K}$ y que ${\displaystyle K(\alpha )}$ es una extensión trascendente sobre ${\displaystyle K}$. Además, no existirá ningún polinomio con coeficientes en ${\displaystyle K}$ que tenga por raíz a ${\displaystyle \alpha }$ (es decir, si ${\displaystyle p\in K[x]}$, entonces ${\displaystyle p(\alpha )\neq 0}$).

Como todo espacio vectorial tiene base, podemos calcular la dimensión de ${\displaystyle L}$ como espacio vectorial sobre ${\displaystyle K}$, denotado por ${\displaystyle \operatorname {dim} _{K}(L)}$. Se denomina grado de la extensión ${\displaystyle L:K}$ a la dimensión de ${\displaystyle L}$ como ${\displaystyle K}$-espacio vectorial: ${\displaystyle [L:K]=\operatorname {dim} _{K}(L)}$.

Tomemos varios ejemplos:

K = ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ el cuerpo de los racionales y L = ${\displaystyle \mathbb {R} }$ el cuerpo de los reales; ${\displaystyle \mathbb {R} }$ visto como espacio vectorial sobre ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, es de dimensión infinita, es decir, ${\displaystyle [\mathbb {R} :\mathbb {Q} ]=\infty }$.

El resultado no sorprende si se considera los cardinales de ambos conjuntos: Si la dimensión de ${\displaystyle \mathbb {R} }$ sobre ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ fuese finita, ${\displaystyle \mathbb {R} }$ sería isomorfo a ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{n},n\in \mathbb {N} }$, lo que no es posible porque ${\displaystyle |\mathbb {Q} ^{n}|=|\mathbb {Q} |=|\mathbb {N} |<|\mathbb {R} |}$.

Si K = ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, el cuerpo de los racionales y L = ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$, el menor cuerpo que contiene a la vez ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ y √2, claramente ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$ es una extensión algebraica de ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, ya que ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ es raíz del polinomio ${\displaystyle x^{2}-2}$.

Al mismo tiempo:

${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})\cong \mathbb {Q} [x]/(x^{2}-2)}$

ya que el ideal ${\displaystyle (x^{2}-2)}$ es el núcleo del morfismo ${\displaystyle \beta :\mathbb {Q} [x]\longrightarrow \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$, claramente este es un morfismo suprayectivo, se sigue del primer teorema de isomorfismo que son campos isomorfos.

Además ${\displaystyle [\mathbb {Q} ({\sqrt {2}}):\mathbb {Q} ]=2}$, es decir, la dimensión de ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$ como espacio vectorial sobre ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ es 2, esto es así ya que 2 es el grado del polinomio mónico e irreducible que tiene a √2 como raíz: ${\displaystyle x^{2}-2}$.

En general:

${\displaystyle [\mathbb {K} (\alpha ):\mathbb {K} ]=n}$ si ${\displaystyle n}$ es el grado del polinomio mónico e irreducible en ${\displaystyle \mathbb {K} [x]}$ que tiene a ${\displaystyle \alpha }$ como raíz, donde ${\displaystyle \mathbb {K} }$ es un cuerpo y ${\displaystyle \mathbb {K} [x]}$ son los polinomios con coeficientes en ${\displaystyle \mathbb {K} }$.

• Teoría de cuerpos

• Weisstein, Eric W. «Extension Field». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.