Espacio proyectivo complejo

En matemáticas, se le llama espacio proyectivo complejo al espacio de las líneas complejas de Cⁿ⁺¹ que pasan por el origen. Normalmente se nota por P(Cⁿ⁺¹), P_n(C) o CPⁿ

Constituye una variedad compleja compacta de dimensión compleja n definida identificando los puntos proporcionales de Cⁿ⁺¹-{0} mediante la siguiente relación de equivalencia:

z\sim w\Leftrightarrow z=\lambda w\qquad \lambda \in \mathbb {C} -\{0\}\qquad z,w\in \mathbb {C} ^{n+1}-\{0\}

Topología

Sea $\pi :\mathbb {C} ^{n+1}-\{0\}\rightarrow \mathbb {C} P^{n}$ la proyección que lleva cada z en su clase de equivalencia. Dotamos a CPⁿ de la topología cociente, de modo que $U\subset \mathbb {C} P^{n}$ es abierto si y sólo si $\pi ^{-1}(U)$ lo es. Esta topología convierte a la proyección en una aplicación continua.

CPⁿ es compacto y conexo

Para ello basta observar que es imagen por una aplicación continua de la esfera real S²ⁿ⁺¹. En concreto por la composición de aplicaciones $\pi \circ i$ dada por

S^{2n+1}\longrightarrow \mathbb {C} ^{n+1}-\{0\}\longrightarrow \mathbb {C} P^{n}

Esta aplicación es sobreyectiva pues toda línea pasa por un punto de S²ⁿ⁺¹.

Estructura compleja

Podemos construir un atlas mediante las cartas $(U_{i},\Phi _{i})$ definidas por:

U_{i}=\{[z]:z\in \mathbb {C} ^{n+1}-\{0\},z_{i}\neq 0\}\qquad \Phi _{i}([z])=({\frac {z_{0}}{z_{i}}},\cdots ,{\hat {\frac {z_{i}}{z_{i}}}},\cdots ,{\frac {z_{n}}{z_{i}}})

donde por ^ debemos entender que no aparece la entrada correspondiente.

Si $z\in U_{i}\cap U_{j}$ , se comprueba que el cambio de cartas $(\Phi _{j}\circ \Phi _{i}^{-1})$ es holomorfo.

Subespacios lineales de CPⁿ

Toda inclusión del tipo C^k+1 → Cⁿ⁺¹ induce una inclusión entre los proyectivos correspondientes CP^k → CPⁿ. A la imagen de esta aplicación se le denomina subespacio lineal de CPⁿ.

Si k = n-1, a la imagen de esta aplicación se le denomina hiperplano de CPⁿ. Si k = 1, de su imagen se dice que es una línea del mismo.

Referencias

P. Griffiths y J. Harris. Principles of algebraic geometry. John Wiley & Sons, 1978. ISBN 0-471-32792-1 . (Cap. 2)

Véase también

Datos: Q2538404

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