En mecánica, las ecuaciones de Euler describen el movimiento de un sólido rígido en rotación en un sistema de referencia solidario con el sólido. Matemáticamente tienen la forma:

${\displaystyle {\begin{matrix}I_{1}{\dot {\omega }}_{1}+(I_{3}-I_{2})\omega _{2}\omega _{3}&=&M_{1}\\I_{2}{\dot {\omega }}_{2}+(I_{1}-I_{3})\omega _{3}\omega _{1}&=&M_{2}\\I_{3}{\dot {\omega }}_{3}+(I_{2}-I_{1})\omega _{1}\omega _{2}&=&M_{3}\\\end{matrix}}}$

donde ${\displaystyle M_{k}\,}$ son las componentes vectoriales del momento o momento dinámico total aplicado, ${\displaystyle I_{k}\,}$ son los momentos principales de inercia y ${\displaystyle \omega _{k}}$ son las componentes del vector velocidad angular ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$ según los ejes principales de inercia.

En un sistema de referencia inercial la derivada del momento angular es igual al momento dinámico o momento de fuerzas aplicado:

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {L} }{dt}}\equiv {\frac {d}{dt}}\left(\mathbf {I} \cdot {\boldsymbol {\omega }}\right)=\mathbf {M} }$

Donde ${\displaystyle \mathbf {I} }$ es el tensor de momentos de inercia. Sin embargo, aunque la ecuación anterior es universalmente válida, no resulta útil en la práctica para calcular el movimiento puesto que generalmente, tanto ${\displaystyle \mathbf {I} }$ como ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$ varían con el tiempo.

Sin embargo, el problema anterior se resuelve si consideramos un sistema de referencia no-inercial solidario con el sólido rígido en rotación, porque respecto a este sistema de referencia el tensor de [momentos de] inercia ${\displaystyle \mathbf {I} }$ es constante y sólo la velocidad angular ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$ varía con el tiempo. De hecho de todos los posibles sistemas de este tipo tomaremos por simplicidad y conveniencia matemática uno cuyos ejes coincidan con las direcciones principales de inercia (que forman un triedro rectángulo). En estas condiciones el vector momento angular puede escribirse como:

${\displaystyle \mathbf {L} \equiv L_{1}\mathbf {e} _{1}+L_{2}\mathbf {e} _{2}+L_{3}\mathbf {e} _{3}=I_{1}\omega _{1}\mathbf {e} _{1}+I_{2}\omega _{2}\mathbf {e} _{2}+I_{3}\omega _{3}\mathbf {e} _{3}}$

O también

${\displaystyle \mathbf {L} \equiv \left({\begin{matrix}I_{1}&0&0\\0&I_{2}&0\\0&0&I_{3}\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}\omega _{1}\\\omega _{2}\\\omega _{3}\end{matrix}}\right)}$

Donde ${\displaystyle I_{k}}$ son los momentos de inercia principales, ${\displaystyle \mathbf {e} _{k}}$ son los vectores unitarios en la dirección de los ejes principales de inercia y ${\displaystyle \omega _{k}}$ son las componentes de la velocidad angular expresadas en la base formada por los vectores unitarios anteriores. En un sistema no-inercial giratorio, la derivada temporal debe ser reemplazada por otra expresión que dé cuenta también de las fuerzas ficticias asociadas a la no-inercialidad del sistema:

${\displaystyle \left({\frac {d\mathbf {L} }{dt}}\right)_{\mathrm {rot} }+{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {L} =\mathbf {M} }$

Donde el subíndice ${\displaystyle rot}$ indica que una magnitud se computa en el sistema no-inercial rotatorio. Substituyendo ${\displaystyle L_{k}\equiv I_{k}\omega _{k}}$, tomando el producto vectorial y usando el hecho de que los momentos principales de inercia no varían con el tiempo, llegamos a las ecuaciones de Euler:

${\displaystyle {\begin{matrix}I_{1}{\dot {\omega }}_{1}+(I_{3}-I_{2})\omega _{2}\omega _{3}&=&M_{1}\\I_{2}{\dot {\omega }}_{2}+(I_{1}-I_{3})\omega _{3}\omega _{1}&=&M_{2}\\I_{3}{\dot {\omega }}_{3}+(I_{2}-I_{1})\omega _{1}\omega _{2}&=&M_{3}\end{matrix}}}$

Cuando el momento dinámico es nulo tenemos una solución de movimiento libre. En general la velocidad angular no coincide con ninguno de los ejes principales de inercia. Esto da lugar a un movimiento de precesión en el que el eje de rotación se mueve alrededor de la recta que coincide con la dirección del momento angular y a otro de nutación, en el que el ángulo entre el eje de rotación y la dirección del momento angular oscila.

Se puede ver por qué sucede, a partir de la ecuación de movimiento expresada en un sistema inercial cuando el momento es cero:

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {L} }{dt}}\equiv {\frac {d}{dt}}\left(\mathbf {I} (t)\cdot {\boldsymbol {\omega }}(t)\right)=0,\qquad {\frac {dL_{i}}{dt}}={\frac {d}{dt}}\sum _{j}I_{ij}\omega _{j}=\sum _{j}\left({\frac {dI_{ij}}{dt}}\omega _{j}+I_{ij}{\frac {d\omega _{j}}{dt}}\right)=0}$

Puesto que para un sólido giratorio ${\displaystyle \mathbf {I} (t)}$ varía con el tiempo, la única manera de que ${\displaystyle \mathbf {L} }$ sea constante es que ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}(t)}$ también varíe con el tiempo.

• Momento de inercia

• Ángulos de Euler

• Landau LD and Lifshitz EM (1976) Mechanics, 3rd. ed., Pergamon Press. ISBN 0-08-021022-8 (hardcover) and ISBN 0-08-029141-4 (softcover).

• Goldstein H. (1980) Classical Mechanics, 2nd. ed., Addison-Wesley. ISBN 0-201-02918-9

• Symon KR. (1971) Mechanics, 3rd. ed., Addison-Wesley. ISBN 0-201-07392-7