El análisis de la covarianza o ANCOVA, acrónimo del inglés analysis of covariance, es un modelo lineal general con una variable cuantitativa y uno o más factores. El ANCOVA es una fusión del ANOVA y de la regresión lineal múltiple. Es un procedimiento estadístico que permite eliminar la heterogeneidad causada en la variable de interés (variable dependiente) por la influencia de una o más variables cuantitativas (covariables). Básicamente, el fundamento del ANCOVA es un ANOVA al que a la variable dependiente se le ha eliminado el efecto predicho por una o más covariables por regresión lineal múltiple. La inclusión de covariables puede aumentar la potencia estadística porque a menudo reduce la variabilidad.

El análisis de un factor es apropiado cuando se dispone de tres o más grupos. En los diseños equilibrados, cada grupo tiene el mismo número de datos (individuos), los cuales idealmente han sido asignados al azar a cada grupo a partir de una muestra original preferiblemente homogénea.

Las sumas de las desviaciones al cuadrado o sumas de cuadrados (SS): ${\displaystyle SST_{y}}$, ${\displaystyle SSTr_{y}}$, y ${\displaystyle SSE_{y}}$ deben ser calculadas usando las siguientes ecuaciones para la variable dependiente, Y. La SS para la covariable también debe ser calculada; los dos valores necesarios son ${\displaystyle SST_{x}}$ y ${\displaystyle SSE_{x}}$.

La suma de cuadrados total define una la variabilidad del total de individuos ${\displaystyle n_{T}}$:

${\displaystyle SST_{y}=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{k}Y_{ij}^{2}-{\frac {\left(\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{k}Y_{ij}\right)^{2}}{n_{T}}}}$

La suma de cuadrados para los tratamientos define la variabilidad entre las poblaciones o grupos. ${\displaystyle k}$ representa el número de grupos.

${\displaystyle SSTr_{y}=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\sum _{j=1}^{k}Y_{ij}^{2}}{k}}\right)-{\frac {\left(\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{k}Y_{ij}\right)^{2}}{n_{T}}}}$

La suma de cuadrados del error define la variabilidad residual dentro de cada grupo. ${\displaystyle n_{n}}$ representa el número de individuos en un grupo dado:

${\displaystyle SSE_{y}=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{k}Y_{ij}^{2}-\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\sum _{j=1}^{k}Y_{ij}^{2}}{n_{k}}}\right)}$

La suma de cuadrados total es igual a la suma de cuadrados de los tratamientos y la suma de cuadrados del error (propiedad de aditividad de las sumas de cuadrados y de los grados de libertad, característica del ANOVA).

${\displaystyle SST_{y}=SSTr_{y}+SSE_{y}.\,}$

La sumas de las covarianzas (${\displaystyle SCT}$ y ${\displaystyle SCE}$) definen la covarianza de X e Y.

${\displaystyle SCT=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{k}X_{ij}Y_{ij}-{\frac {\left(\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{k}X_{ij}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{k}Y_{ij}\right)}{n_{T}}}}$

${\displaystyle SCE=\sum _{j=1}^{k}\left(\sum _{i=1}^{n}X_{ij}Y_{ij}-{\frac {\sum _{i=1}^{n}(X_{ij}Y_{ij})}{n_{n}}}\right)}$

Las correlaciones entre X e Y son ${\displaystyle r_{T}}$ para el total y ${\displaystyle r_{n}}$ para el error.

${\displaystyle r_{T}={\frac {SCT}{\sqrt {SST_{x}SST_{y}}}}}$

${\displaystyle r_{n}={\frac {SCE}{\sqrt {SSE_{x}SSE_{y}}}}}$

La proporción de covarianza es sustraída de la dependiente; valores de ${\displaystyle SS_{y}}$:

${\displaystyle SST_{y(adj)}=SST_{y}-SST_{y}(r_{T})^{2}\,}$

${\displaystyle SSE_{y(adj)}=SSE_{y}-SSE_{y}(r_{n})^{2}\,}$

${\displaystyle SSTr_{y(adj)}=SST_{y(adj)}-SSE_{y(adj)}\,}$

La media de cada grupo es ajustada del siguiente modo:

${\displaystyle M_{y_{i}(adj)}=M_{y_{i}}-{\frac {SCE_{y}}{SCE_{x}}}(M_{x_{i}}-M_{x_{T}})}$

Finalmente obtenemos la varianza de los tratamientos libre de la covarianza, donde ${\displaystyle df_{Tr}}$ (grados de libertad de los tratamientos) es igual a ${\displaystyle k-1}$ y ${\displaystyle df_{E}}$ (grados de libertad del error) es igual a ${\displaystyle n_{T}-k-1}$. Puede apreciarse que cada covariable elimina un grado de libertad.

${\displaystyle MSTr={\frac {SSTr}{df_{Tr}}}}$

${\displaystyle MSE={\frac {SSE}{df_{E}}}}$

El estadístico F se obtiene de:

${\displaystyle F_{df_{E},df_{\mathrm {Tr} }}={\frac {MSTr}{MSE}}}$

• Covarianza
• MANCOVA

• One-Way Analysis of Covariance for Independent Samples (en inglés)