Teoremo pri resto de polinomo estas teoremo de algebro pri ecoj de nuliganto de polinomoj.

Rimarku: en pola lingvo teoremo nomiĝas Teoremo de Bézout [prononco: Bezu]. Sed estas malkorekta nomo ĉar teoremo estis konata antaŭ de Étienne Bézout.

Nombro ${\displaystyle a}$ estas nuliganto de polinomo ${\displaystyle W(x)}$ tiam kaj nur tiam, kiam polinomo ${\displaystyle W(x)}$ estas dividata per dunomo ${\displaystyle (x-a)}$, alinome:

${\displaystyle W(a)=0\iff (x-a)|W(x)}$

Tute, valoro de polinomo ${\displaystyle W(a)}$ estas egala de resto el divido de ${\displaystyle W(x)}$ per dunomo ${\displaystyle x-a}$.

Se polinomo ${\displaystyle W(x)}$ estas divida per ${\displaystyle (x-a)}$, ekzistas polinomo ${\displaystyle V(x)}$, kiu ${\displaystyle W(x)=V(x)\cdot (x-a)}$. Ĝia valoro en ${\displaystyle a}$ estas:

${\displaystyle W(a)=V(a)\cdot (a-a)=V(a)\cdot 0=0}$.

Aŭ polinomo ${\displaystyle W(x)}$ kiam dividas ĝin per polinomo de grado ${\displaystyle n}$ donas polinomo ${\displaystyle V(x)}$ kaj resto kun grado ne plu ol ${\displaystyle n-1}$, do

${\displaystyle W(x)=V(x)\cdot (x-a)+Z(x)}$,

ĉar ${\displaystyle (x-a)}$ estas polinomo de unua grado, ${\displaystyle Z(x)}$ estas polinomo de grado ne plu ol nulo, do ĝi estas kutime nombro ${\displaystyle z}$.

${\displaystyle W(x)=V(x)\cdot (x-a)+z}$

ĉar valoro ${\displaystyle W(x)}$ en ${\displaystyle a}$ estas nulo, do

${\displaystyle V(a)\cdot (a-a)+z=W(a)}$

${\displaystyle V(a)\cdot (a-a)+z=0}$

${\displaystyle V(a)\cdot 0+z=0}$

${\displaystyle z=0}$

do ${\displaystyle W(x)}$ dividiĝas per ${\displaystyle (x-a)}$ sen resto, do ${\displaystyle W(x)}$ estas dividebla per ${\displaystyle (x-a)}$.

Polinomo ${\displaystyle W(x)=x^{3}-12x^{2}-42}$, kiu dividiĝas per ${\displaystyle x-3}$ estas ${\displaystyle V(x)=x^{2}-9x-27}$ kaj resto ${\displaystyle -123}$. Do el teoremo estas, ke ${\displaystyle W(3)=-123}$.