Pri la aliaj funkcioj estas skribataj per la litero ζ rigardu en funkcio ζ (apartigilo).

Funkcio: zeto de Riemann – unu el specialaj funkcioj, nomita post Bernhard Riemann kaj difinata per formulo:

${\displaystyle {\zeta }(z)=\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n}}\right)^{z}}$

Serio estas konverĝa por z-oj , kiuj reala parto estas pli granda ol 1. Por la aliaj z estas uzata la analitika vastigaĵo.

Kun funkcio estas kunigata unu el plej gravaj problemoj de hodiaŭa matematiko – hipotezo de Riemann.

Por nombroj ${\displaystyle z}$ kiuj havas realan parton malpli granda ol 1, valoro de funkcio ζ povas esti kalkulita el formulo:

${\displaystyle {\zeta }(z)=2^{z}\pi ^{1/z}\Gamma (1-z){\zeta }(1-z)}$

kaj ${\displaystyle \Gamma }$ estas funkcio Γ de Euler.

${\displaystyle \zeta (2)=1+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\ldots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$

${\displaystyle \zeta (4)=1+{\frac {1}{2^{4}}}+{\frac {1}{3^{4}}}+\ldots ={\frac {\pi ^{4}}{90}}}$

${\displaystyle \zeta (8)=1+{\frac {1}{2^{8}}}+{\frac {1}{3^{8}}}+\ldots ={\frac {\pi ^{8}}{9450}}}$

Ojler montris ke

${\displaystyle \zeta (z)=\prod _{{\text{prima }}p}\left(1-{\frac {1}{p^{z}}}\right)^{-1}=\left(1-{\frac {1}{2^{z}}}\right)^{-1}\left(1-{\frac {1}{3^{z}}}\right)^{-1}\left(1-{\frac {1}{5^{z}}}\right)^{-1}\ldots }$

Ĉi tiu formulo veras por ĉiu ${\displaystyle z}$ kies reela parto estas pli ol ${\displaystyle 1}$.

Ojler deduktis tion sekvamaniere. Unue, rimarku ke

${\displaystyle \zeta (z)=1+{\frac {1}{2^{z}}}+{\frac {1}{3^{z}}}\ldots }$ ${\displaystyle \implies \zeta (z){\frac {1}{2^{z}}}={\frac {1}{2^{z}}}+{\frac {1}{4^{z}}}+{\frac {1}{6^{z}}}\ldots }$

Per subtraho, oni trovas

${\displaystyle \zeta (z)\left(1-{\frac {1}{2^{z}}}\right)=1+{\frac {1}{3^{z}}}+{\frac {1}{5^{z}}}\ldots }$

En la dekstra flanko, estas nur la malparaj entjeroj. Pro tio,

${\displaystyle \zeta (z)\left(1-{\frac {1}{2^{z}}}\right){\frac {1}{3^{z}}}={\frac {1}{3^{z}}}+{\frac {1}{9^{z}}}+{\frac {1}{15^{z}}}+\ldots }$

Alia subtraho vidigas ke

${\displaystyle \zeta (z)\left(1-{\frac {1}{2^{z}}}\right)\left(1-{\frac {1}{3^{z}}}\right)=1+{\frac {1}{5^{z}}}+{\frac {1}{7^{z}}}+\ldots }$

Ĉiu nombro dividebla per ${\displaystyle 3}$ estante subtrahita, supre restas nur la malparaj nombroj kiuj estas nedivideblaj per ${\displaystyle 3}$. Simile,

${\displaystyle \zeta (z)\left(1-{\frac {1}{2^{z}}}\right)\left(1-{\frac {1}{3^{z}}}\right)\left(1-{\frac {1}{5^{z}}}\right)=1+{\frac {1}{7^{z}}}+{\frac {1}{11^{z}}}+\ldots }$

kie, en la dekstra flanko, aperas la entjeraj nombroj kiujn oni ne povas dividi per ${\displaystyle 2,3}$ aŭ ${\displaystyle 5}$ (kaj nur tiuj).

Induktive, en la maldekstra flanko aperas la produto ${\displaystyle \zeta (z)\prod _{{\text{prima }}p}\left(1-{\frac {1}{p^{z}}}\right)}$, kaj la dekstra nombra konverĝas al ${\displaystyle 1}$. Oni tuj atingas la proponatan egalecon.

Rimarko: la serio kiu difinas ${\displaystyle \zeta }$ konverĝas absolute, se la reala parto de ${\displaystyle z}$ estas pli ol ${\displaystyle 1}$. Tio permesas montri que la dekstra limito estas ${\displaystyle 1}$.

• ZetaGrid

Ĉi tiu artikolo ankoraŭ estas ĝermo. Helpu al Vikipedio plilongigi ĝin. Se jam ekzistas alilingva samtema artikolo pli disvolvita, traduku kaj aldonu el ĝi (menciante la fonton). Bonvolu aldoni parametron por plibone kategoriigi la paĝon.