Grafikaĵo de logaritmo de faktorialo kontraŭ logaritmo de la argumento
n
{\displaystyle n}
n
!
{\displaystyle n!}
0
1
1
1
2
2
3
6
4
24
5
120
6
720
7
5040
8
40320
9
362880
10
3 628 800
11
39 916 800
12
479 001 600
13
6 227 020 800
14
87 178 291 200
15
1 307 674 368 000
20
2 432 902 008 176 640 000
25
15 511 210 043 330 985 984 000 000
50
3,04140932... × 1064
70
1,19785717... × 10100
450
1,73336873... × 101000
3249
6,41233768... × 1010000
25206
1,205703438... × 10100000
47176
8,4485731495... × 10200001
100000
2,8242294079... × 10456573
En la matematiko , faktorialo de natura nombro n estas la produto de la pozitivaj entjeroj malpli aŭ egalaj al n . Oni signas ĝin per n! , kion oni prononcas no faktoriale laŭ Christian Kramp .
Difino
n
!
=
1
⋅ ⋅ -->
2
⋅ ⋅ -->
3
⋯ ⋯ -->
(
n
− − -->
1
)
⋅ ⋅ -->
n
=
∏ ∏ -->
k
=
1
n
k
{\displaystyle n!=1\cdot 2\cdot 3\cdots (n-1)\cdot n=\prod _{k=1}^{n}k}
n
!
=
n
⋅ ⋅ -->
(
n
− − -->
1
)
!
{\displaystyle n!=n\cdot (n-1)!}
0
!
=
1
!
=
1
{\displaystyle 0!=1!=1\,}
Oni aldone difinas
0
!
=
1
{\displaystyle 0!=1}
produto de neniuj faktoroj estas konsiderata 1.
Kombinatoriko
En kombinatoriko , faktorialo n! estas kvanto de permutaĵoj de n eroj. Ekzemple:
Por 1 ero {A } estas 1!=1 permuto:
A
Por 2 eroj {A ,B } estas 2!=2 permutaĵoj:
AB BA
Por 3 eroj {A ,B ,C } estas 3!=6 permutaĵoj:
ABC ACB BAC BCA CAB CBA
Por 4 eroj {A ,B ,C ,D } estas 4!=24 permutaĵoj:
ABCD BACD CABD DABC
ABDC BADC CADB DACB
ACBD BCAD CBAD DBAC
ACDB BCDA CBDA DBCA
ADBC BDAC CDAB DCAB
ADCB BDCA CDBA DCBA
Γ-funkcio estas funkcio , difinita por ĉiuj reelaj aŭ kompleksaj argumentoj krom nepozitivaj entjeroj (0, -1, -2, -3, ...). Ĝi estas vastigaĵo de faktorialo. Se n estas nenegativa entjero (0, 1, 2, 3, ...), do
Γ(n+1) = n! Aŭ ekvivalente se n estas pozitiva entjero (1, 2, 3, 4, ...), do
Γ(n) = (n-1)!
Proksimuma kalkulado de Stirling
Proksimuma kalkulado de Stirling estas proksimuma formulo por faktoriala:
n
!
=
2
π π -->
n
(
n
e
)
n
(
1
+
1
12
n
+
1
288
n
2
− − -->
139
51840
n
3
+
O
(
n
− − -->
4
)
)
,
{\displaystyle n!={\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\left(1+{\frac {1}{12n}}+{\frac {1}{288n^{2}}}-{\frac {139}{51840n^{3}}}+O\left(n^{-4}\right)\right),}
kie la nombro e eksponenta funkcio kaj O estas granda O .
Pli simpla, malpli preciza sed iam uzebla estas formulo kun nur la unua membro de la proksimuma kalkulado de Stirling
n
!
≈ ≈ -->
2
π π -->
n
(
n
e
)
n
{\displaystyle n!\approx {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}
Tiam estas limigoj por la faktorialo.
2
π π -->
n
(
n
e
)
n
<
n
!
<
2
π π -->
n
(
n
e
)
n
e
1
/
(
12
n
)
{\displaystyle {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}<n!<{\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}e^{1/(12n)}}
Tia proksimumo permesas ankaŭ trovi proksimumon pri la logaritmo de n! :
ln
-->
(
n
!
)
≃ ≃ -->
n
ln
-->
(
n
)
− − -->
n
.
{\displaystyle \ln \left(n!\right)\simeq n\ln \left(n\right)-n\ \,.}
Duopa faktorialo
Duopa faktorialo estas:
n
!
!
=
{
1
,
se
n
=
0
aŭ
n
=
1
;
n
× × -->
(
n
− − -->
2
)
!
!
se
n
≥ ≥ -->
2.
{\displaystyle n!!={\begin{cases}1,&{\mbox{ se }}n=0{\mbox{ aŭ }}n=1;\\n\times (n-2)!!&{\mbox{ se }}n\geq 2.\qquad \qquad \end{cases}}}
Tiel:
n!!=n(n-2)(n-4)·...·6·4·2 se n estas para pozitiva;n!!=n(n-2)(n-4)·...·5·3·1 se n estas nepara pozitiva;Notu, ke duopa faktorialo ne estas faktorialo de faktorialo, ĝenerale n!!≠(n!)! .
La difino povas esti etendita reen al la negativaj argumentoj ĉar
(
n
− − -->
2
)
!
!
=
n
!
!
n
{\displaystyle (n-2)!!={\frac {n!!}{n}}}
Tiel:
n!!=1/( (n+2)(n+4)·...·(-3)·(-1)·1 ) se n estas nepara negativa.Per ĉi tia maniero duopa faktorialo ne estas difinita por para negativa argumento, tamen vidu sube pri ebleco difini per Γ funkcio .
Ekzemple, 8!! = 2 · 4 · 6 · 8 = 384, 9!! = 1 · 3 · 5 · 7 · 9 = 945.
Valoroj de n!! por n=0, 1, 2, ... estas:
1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945, 3840, ... Valoroj de n!! por n=-1, -3, -5, ... estas:
1
,
− − -->
1
,
1
3
,
− − -->
1
15
,
… … -->
{\displaystyle 1,-1,{\tfrac {1}{3}},-{\tfrac {1}{15}},\dots }
Iuj formuloj kun duopa faktorialo:
n
!
=
n
!
!
(
n
− − -->
1
)
!
!
{\displaystyle n!=n!!(n-1)!!}
(
2
n
)
!
!
=
2
n
n
!
{\displaystyle (2n)!!=2^{n}n!}
(
2
n
+
1
)
!
!
=
(
2
n
+
1
)
!
(
2
n
)
!
!
=
(
2
n
+
1
)
!
2
n
n
!
{\displaystyle (2n+1)!!={(2n+1)! \over (2n)!!}={(2n+1)! \over 2^{n}n!}}
(
2
n
− − -->
1
)
!
!
=
(
2
n
− − -->
1
)
!
(
2
n
− − -->
2
)
!
!
=
(
2
n
)
!
2
n
n
!
{\displaystyle (2n-1)!!={(2n-1)! \over (2n-2)!!}={(2n)! \over 2^{n}n!}}
Γ Γ -->
(
n
+
1
2
)
=
π π -->
(
2
n
− − -->
1
)
!
!
2
n
{\displaystyle \Gamma \left(n+{1 \over 2}\right)={\sqrt {\pi }}\,\,{(2n-1)!! \over 2^{n}}}
Γ Γ -->
(
n
2
+
1
)
=
π π -->
n
!
!
2
(
n
+
1
)
/
2
{\displaystyle \Gamma \left({n \over 2}+1\right)={\sqrt {\pi }}\,\,{n!! \over 2^{(n+1)/2}}}
kie Γ estas Γ funkcio . La lasta formulo povas esti konsiderata kiel difino de duopa faktorialo por ĉiuj kompleksaj n≠0 .
Plurfaktorialo
Plurfaktorialo estas plua ĝeneraligo post la duopa faktorialo. Plurfaktorialo de la k -a ordo de n , aŭ alivorte la k -a plurfaktorialo de n , estas
n
!
(
k
)
=
{
1
,
se
0
≤ ≤ -->
n
<
k
;
n
(
n
− − -->
k
)
!
(
k
)
,
se
n
≥ ≥ -->
k
.
{\displaystyle n!^{(k)}=\left\{{\begin{matrix}1,\qquad \qquad \ &&{\mbox{se }}0\leq n<k;\\n(n-k)!^{(k)},&&{\mbox{se }}n\geq k.\quad \ \ \,\end{matrix}}\right.}
Duopa faktorialo estas plurfaktorialo de la 2 -a ordo.
Primofaktorialo
Primofaktorialo n# estas produto de ĉiuj primoj ne pli grandaj ol n . Ekzemple:
11
# # -->
=
12
# # -->
=
2
⋅ ⋅ -->
3
⋅ ⋅ -->
5
⋅ ⋅ -->
7
⋅ ⋅ -->
11
=
2310
{\displaystyle 11\#=12\#=2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11=2310}
Se pn estas la n -a primo, do pn # estas produto de n la unuaj primoj:
La unuaj valoroj de pn # por n=1, 2, 3, ... estas:
2 , 6 , 30 , 210, 2310, 30030, 510510, 9699690, 223092870, 6469693230, 200560490130, 7420738134810, 304250263527210, 13082761331670030, 614889782588491410.
Eksteraj ligiloj
