Κλασική μηχανική
${\displaystyle {\vec {F}}={\mathrm {d} (m{\vec {v}}) \over \mathrm {d} t}}$
Θεμελιώδη Μεγέθη Δύναμη Ενέργεια Κινητική ενέργεια Δυναμική ενέργεια Έργο Ισχύς Ορμή Ώθηση Κρούση
Περιστροφική κίνηση Γωνιακή ταχύτητα Γωνιακή επιτάχυνση Γωνιακή συχνότητα Ροπή Στροφορμή Ροπή αδράνειας
Ταλαντώσεις Ταλάντωση Απλός αρμονικός ταλαντωτής Φθίνουσα ταλάντωση Μαθηματικό εκκρεμές Φυσικό εκκρεμές Εξαναγκασμένη ταλάντωση Συντονισμός
Βαρυτικό πεδίο Βαρυτικό πεδίο Νόμος της παγκόσμιας έλξης Ένταση βαρυτικού πεδίου Δυναμικό βαρυτικού πεδίου Παλιρροϊκές δυνάμεις Όριο του Roche
Μηχανική των στερεών Κέντρο βάρους Κέντρο μάζας Πυκνότητα Ελαστικότητα Τάση
Μηχανική των ρευστών Πίεση Άνωση Παροχή Υδροστατική Υδροδυναμική Ιξώδες
Ακουστική Ένταση ήχου Συχνότητα Φασματικό περιεχόμενο
Μαθηματικά μοντέλα μηχανικής Λαγκραντζιανή μηχανική Χαμιλτονιανή μηχανική Στατιστική μηχανική
π σ ε

Φθίνουσα ή αποσβεννύμενη ταλάντωση ονομάζεται η ταλάντωση κατά την οποία μειώνεται το πλάτος της ταλάντωσης. Η μείωση του πλάτους ονομάζεται απόσβεση.

Το φαινόμενο οφείλεται στην απώλεια ενέργειας από το ταλαντευόμενο σύστημα προς το περιβάλλον. Αυτό φαίνεται και από τον τύπο E=(1/2)kA² που ισχύει σε κάθε ταλάντωση, όπου Ε η ενέργεια του ταλαντευόμενου συστήματος, k μία σταθερά και Α το πλάτος της ταλάντωσης. Έτσι, όταν μειώνεται η ενέργεια μειώνεται και το πλάτος.

Η απώλεια της ενέργειας συνήθως οφείλεται σε δυνάμεις οι οποίες αντιστέκονται στην κίνηση. Αυτές οι δυνάμεις συνήθως είναι τριβές. Όσο μεγαλύτερες κατά μέτρο είναι αυτές οι δυνάμεις, τόσο μεγαλύτερη είναι η απόσβεση.

Η περίοδος της φθίνουσας ταλάντωσης, στην περίπτωση οριζόντιας ταλάντωσης με τριβές ολίσθησης σταθερού μέτρου, είναι ίδια με την περίοδο της αμείωτης ταλάντωσης (χωρίς τριβή ολίσθησης)^[1]. Αντίθετα, στην περίπτωση που η δύναμη της αντίστασης είναι ανάλογη με την ταχύτητα του σώματος τότε η περίοδος της φθίνουσας ταλάντωσης αυξάνεται^[2] και η αύξηση αυτή μπορεί να είναι ανεπαίσθητη ή ακόμη να γίνει υπερβολικά μεγάλη, ώστε η κίνηση να μην είναι πλέον ταλάντωση.

Σημαντικό παράδειγμα αποσβεννύμενης ταλάντωσης είναι ένα σύστημα απλής αρμονικής ταλάντωσης στο οποίο ενεργεί δύναμη της μορφής F=-bv, όπου b μία σταθερά και v η ταχύτητα. Η σταθερά b ονομάζεται σταθερά απόσβεσης. Βάσει του παραπάνω μοντέλου δύναμης τριβής, η ενέργεια μειώνεται εκθετικά με το χρόνο. Συγκεκριμένα αποδεικνύεται ότι,

${\displaystyle E(t)=E_{0}e^{-t/\tau }\ ,}$

όπου Ε(t) η ενέργεια τη χρονική στιγμή t, Ε₀ η αρχική ενέργεια (η ενέργεια τη στιγμή t=0) και τ ο λεγόμενος χαρακτηριστικός χρόνος απόσβεσης που εξαρτάται από τη σταθερά b, τη μάζα m του σώματος και τη σταθερά ελατηρίου k. Αποδεικνύεται ότι τα διαδοχικά χρονικώς μέγιστα που λαμβάνει αυτή η ταλάντωση είναι όροι φθίνουσας γεωμετρικής προόδου. Η εξίσωση αυτής της φθίνουσας ταλάντωσης με το παραπάνω μοντέλο δύναμης τριβής στη περίπτωση όπου ω₀>γ (ω₀²=k/m η φυσική συχνότητα του συστήματος) είναι της γενικής μορφής:

${\displaystyle x(t)=A_{0}\ e^{-t/\tau }\sin {(\omega t+\varphi _{0})}\ ,}$

όπου ω<ω₀ η κυκλική συχνότητα ταλάντωσης (η οποία εξαρτάται τόσο από τη φυσική συχνότητα όσο και από τη σταθερά απόσβεσης), A₀ η απομάκρυνση του σώματος τη χρονική στιγμή t=0 και φ₀ η αρχική φάση.

Η φθίνουσα ταλάντωση εφαρμόζεται στις αναρτήσεις των αυτοκινήτων.

Δεδομένης της μορφής της δύναμης τριβής που δόθηκε παραπάνω, η μονοδιάστατη εξίσωση του Νεύτωνα καταλήγει στην παρακάτω διαφορική εξίσωση:

${\displaystyle m{\ddot {x}}=-kx-b{\dot {x}}\Leftrightarrow {\ddot {x}}+2\gamma {\dot {x}}+\omega _{0}^{2}x=0}$

όπου θέσαμε ${\displaystyle \omega _{0}^{2}=k/m}$, την κυκλική συχνότητα της ταλάντωσης αν δεν υπήρχε απόσβεση, και ${\displaystyle 2\gamma =b/m}$. Υποθέτωντας εκθετικές λύσεις της μορφής ${\displaystyle x(t)\propto e^{\rho {t}}}$ και αντικαθιστώντας στην παραπάνω εξίσωση, βρίσκουμε ότι οι δυνατές τιμές της σταθεράς ${\displaystyle \rho }$ είναι:

${\displaystyle \rho _{1,2}=-\gamma \pm {\sqrt {\gamma ^{2}-\omega _{0}^{2}}}}$

Μπορεί λοιπόν κανείς να διακρίνει τις παρακάτω βασικές περιπτώσεις:

α) Υποκρίσιμη απόσβεση (γ<ω₀)

Στη παραπάνω περίπτωση,

${\displaystyle \rho _{1,2}=-\gamma \pm i{\sqrt {\omega _{0}^{2}-\gamma ^{2}}}}$

Η γενική λύση της εξίσωσης του Νεύτωνα για την απομάκρυνση θα είναι λοιπόν

${\displaystyle x(t)=A_{0}\ e^{-\gamma t}\sin {(\omega t+\varphi _{0})}\ ,}$

όπου

${\displaystyle A_{0}={\sqrt {c_{1}^{2}+c_{2}^{2}}},\ \ \ \varphi _{0}=\tan ^{-1}(c_{1}/c_{2}),\ \ \ \omega ={\sqrt {\omega _{0}^{2}-\gamma ^{2}}}}$

${\displaystyle c_{1}=x_{0},\ \ \ c_{2}={\frac {\gamma x_{0}+v_{0}}{\omega }}}$

Οι ποσότητες x₀ και v₀ αντιστοιχούν στην αρχική θέση και ταχύτητα του σώματος. Η γωνία φ ονομάζεται αρχική φάση

Είναι χρήσιμο να εισαγάγουμε τον χαρακτηριστικό χρόνο απόσβεσης, τ, του συστήματος ο οποίος ορίζεται ως 1/γ έτσι ώστε

${\displaystyle x(t)=A_{0}\ e^{-t/\tau }\sin {(\omega t+\varphi _{0})}}$

Η φυσική σημασία του χαρακτηριστικού χρόνου απόσβεσης είναι ο εξής: Σε χρόνο τ, το πλάτος ταλάντωσης μειώνεται στο 1/e του αρχικού πλάτους Α₀.

Το σώμα θα εκτελεί λοιπόν μία φθίνουσα ταλάντωση με περίοδο

${\displaystyle T={\frac {2\pi }{\omega }}={\frac {\omega _{0}}{\sqrt {\omega _{0}^{2}-\gamma ^{2}}}}\ T_{0}\ ,}$

όπου Τ₀ η περίοδος που θα είχε το σώμα αν δεν υπήρχε η δύναμη τριβής. Από την παραπάνω σχέση είναι φανερό ότι Τ>Τ₀, δηλαδή η περίοδος της φθίνουσας ταλάντωσης είναι μεγαλύτερη από την περίοδο της απλής αρμονικής ταλάντωσης.

β) Κρίσιμη απόσβεση (γ=ω₀)

Σε αυτή τη περίπτωση,

${\displaystyle \rho _{1,2}=-\gamma \ \ \ }$

Η γενική λύση της εξίσωσης του Νεύτωνα στη περίπτωση αυτή είναι

${\displaystyle x(t)=(c_{1}+c_{2}t)e^{-t/\tau }\ ,}$

όπου

${\displaystyle c_{1}=x_{0},\ \ \ c_{2}=v_{0}+\gamma x_{0}}$

γ) Υπερκρίσιμη απόσβεση (γ>ω₀)

Στη περίπτωση αυτή,

${\displaystyle \rho _{1,2}=-\gamma \pm {\sqrt {\gamma ^{2}-\omega _{0}^{2}}}}$

Η γενική λύση της εξίσωσης του Νεύτωνα θα είναι λοιπόν:

${\displaystyle x(t)=c_{1}e^{\gamma _{+}t}+c_{2}e^{\gamma _{-}t}\ ,}$

όπου

${\displaystyle \gamma _{+}=-\gamma +{\sqrt {\gamma ^{2}-\omega _{0}^{2}}},\ \ \ \gamma _{-}=-\gamma -{\sqrt {\gamma ^{2}-\omega _{0}^{2}}}}$

${\displaystyle c_{1}={\frac {v_{0}-\gamma _{-}x_{0}}{\gamma _{+}-\gamma {-}}},\ \ \ c_{2}={\frac {\gamma _{+}x_{0}-v_{0}}{\gamma _{+}-\gamma _{-}}}}$

• Φυσική Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ΄ Τάξης Γενικού Λυκείου, ΟΕΔΒ, έκδοση Η΄,Αθήνα 2008, ISBN 960-06-1154-8

• Τραχανάς Σ. (2005), Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις. Πανεπστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο.
• Τσίγκανος Κ. (2004), Εισαγωγή στη Θεωρητική Μηχανική. Εκδόσεις Σταμούλη ΑΕ.

Αυτό το λήμμα σχετικά με τη Φυσική χρειάζεται επέκταση. Μπορείτε να βοηθήσετε την Βικιπαίδεια επεκτείνοντάς το.