Στην γραμμική άλγεβρα , συζυγής ανάστροφος πίνακας (ή αλλιώς Ερμιτιανός συζυγής πίνακας ) ενός μιγαδικού πίνακα είναι ο ανάστροφος πίνακας του συζυγούς του. Πιο συγκεκριμένα, για τον πίνακα
A
{\displaystyle A}
n
× × -->
m
{\displaystyle n\times m}
A
H
{\displaystyle A^{H}}
m
× × -->
n
{\displaystyle m\times n}
(
A
H
)
i
j
=
A
¯ ¯ -->
j
i
{\displaystyle (A^{H})_{ij}={\overline {A}}_{ji}}
για κάθε
1
≤ ≤ -->
i
≤ ≤ -->
m
{\displaystyle 1\leq i\leq m}
1
≤ ≤ -->
j
≤ ≤ -->
n
{\displaystyle 1\leq j\leq n}
[ 1] :192 [ 2] :6 [ 3] :8 Επομένως,
A
H
=
(
A
¯ ¯ -->
)
T
=
[
A
¯ ¯ -->
11
A
¯ ¯ -->
12
… … -->
A
¯ ¯ -->
1
n
A
¯ ¯ -->
21
A
¯ ¯ -->
22
… … -->
A
¯ ¯ -->
2
n
⋮ ⋮ -->
⋮ ⋮ -->
⋱ ⋱ -->
⋮ ⋮ -->
A
¯ ¯ -->
m
1
A
¯ ¯ -->
m
2
… … -->
A
¯ ¯ -->
m
n
]
.
{\displaystyle A^{H}=({\overline {A}})^{T}={\begin{bmatrix}{\overline {A}}_{11}&{\overline {A}}_{12}&\ldots &{\overline {A}}_{1n}\\{\overline {A}}_{21}&{\overline {A}}_{22}&\ldots &{\overline {A}}_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\overline {A}}_{m1}&{\overline {A}}_{m2}&\ldots &{\overline {A}}_{mn}\end{bmatrix}}.}
Για παράδειγμα, ο συζυγής του
A
=
[
(
3
+
2
i
)
5
(
1
− − -->
4
i
)
(
7
+
2
i
)
]
{\displaystyle A={\begin{bmatrix}(3+2i)&5\\(1-4i)&(7+2i)\end{bmatrix}}}
A
H
=
[
(
3
− − -->
2
i
)
(
1
+
4
i
)
5
(
7
− − -->
2
i
)
]
{\displaystyle A^{H}={\begin{bmatrix}(3-2i)&(1+4i)\\5&(7-2i)\end{bmatrix}}}
Ο συζυγής ανάστροφος συμβολίζεται και ως
A
∗ ∗ -->
{\displaystyle A^{*}}
A
† † -->
{\displaystyle A^{\dagger }}
Σαρλ Ερμίτ .[ 4] :473
Παρακάτω δίνονται μερικά συγκεκριμένα παραδείγματα μιγαδικών πινάκων και ο συζυγής ανάστροφός τους:
A
=
[
(
3
+
2
i
)
(
7
− − -->
3
i
)
5
i
(
9
− − -->
2
i
)
10
(
6
− − -->
5
i
)
]
A
H
=
[
(
3
− − -->
2
i
)
(
9
+
2
i
)
(
7
+
3
i
)
10
− − -->
5
i
(
6
+
5
i
)
]
{\displaystyle A={\begin{bmatrix}(3+2i)&(7-3i)&5i\\(9-2i)&10&(6-5i)\end{bmatrix}}\qquad A^{H}={\begin{bmatrix}(3-2i)&(9+2i)\\(7+3i)&10\\-5i&(6+5i)\end{bmatrix}}}
B
=
[
(
− − -->
5
+
2
i
)
(
3
− − -->
4
i
)
(
4
− − -->
8
i
)
(
5
+
3
i
)
(
1
+
3
i
)
(
7
− − -->
2
i
)
]
B
H
=
[
(
− − -->
5
− − -->
2
i
)
(
4
+
8
i
)
(
1
− − -->
3
i
)
(
3
+
4
i
)
(
5
− − -->
3
i
)
(
7
+
2
i
)
]
{\displaystyle B={\begin{bmatrix}(-5+2i)&(3-4i)\\(4-8i)&(5+3i)\\(1+3i)&(7-2i)\end{bmatrix}}\qquad B^{H}={\begin{bmatrix}(-5-2i)&(4+8i)&(1-3i)\\(3+4i)&(5-3i)&(7+2i)\end{bmatrix}}}
C
=
[
(
− − -->
5
+
7
i
)
(
8
+
2
i
)
(
1
− − -->
i
)
]
C
H
=
[
(
− − -->
5
− − -->
7
i
)
(
8
− − -->
2
i
)
(
1
+
i
)
]
{\displaystyle C={\begin{bmatrix}(-5+7i)&(8+2i)&(1-i)\end{bmatrix}}\qquad C^{H}={\begin{bmatrix}(-5-7i)\\(8-2i)\\(1+i)\end{bmatrix}}}
Για οποιονδήποτε πραγματικό πίνακα
A
{\displaystyle A}
A
H
=
A
T
{\displaystyle A^{H}=A^{T}}
Για οποιονδήποτε φανταστικό πίνακα
A
{\displaystyle A}
A
H
=
− − -->
A
T
{\displaystyle A^{H}=-A^{T}}
A
=
[
3
i
− − -->
6
i
7
i
4
i
]
A
H
=
[
− − -->
3
i
− − -->
7
i
6
i
− − -->
4
i
]
{\displaystyle A={\begin{bmatrix}3i&-6i\\7i&4i\end{bmatrix}}\qquad A^{H}={\begin{bmatrix}-3i&-7i\\6i&-4i\end{bmatrix}}}
Συνδυάζοντας τις ιδιότητες του ανάστροφου πίνακα και τις ιδιότητες του συζυγούς πίνακα , έχουμε τις εξής ιδιότητες:
Ο συζυγής ανάστροφος του συζυγούς ανάστροφου είναι ο αρχικός πίνακας,
(
A
H
)
H
=
A
{\displaystyle (A^{H})^{H}=A}
[ 1] : 195 [ 5] :3
Για τον βαθμωτό πολλαπλασιασμό ενός μιγαδικού πίνακα
A
{\displaystyle A}
c
∈ ∈ -->
C
{\displaystyle c\in \mathbb {C} }
(
c
A
)
H
=
c
¯ ¯ -->
A
H
{\displaystyle (cA)^{H}={\overline {c}}A^{H}}
[ 1] : 195 [ 5] : 3
Ο συζυγής ανάστροφος του άθροισμα δύο πινάκων
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
(
A
+
B
)
H
=
A
H
+
B
H
{\displaystyle (A+B)^{H}=A^{H}+B^{H}}
[ 1] : 195 [ 2] : 11
Ο συζυγής ανάστροφος του γινομένου δύο πινάκων
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
(
A
B
)
H
=
B
H
A
H
{\displaystyle (AB)^{H}=B^{H}A^{H}}
[ 1] : 195 [ 2] : 11 [ 5] : 3
Το ίχνος του συζυγούς ανάστροφου ενός τετραγωνικού πίνακα είναι
tr
-->
(
A
H
)
=
tr
-->
(
A
)
¯ ¯ -->
{\displaystyle \operatorname {tr} (A^{H})={\overline {\operatorname {tr} (A)}}}
Ο συζυγής ανάστροφος του αντίστροφου είναι ο αντίστροφος του συζυγούς ανάστροφου,
(
A
− − -->
1
)
H
=
(
A
H
)
− − -->
1
{\displaystyle (A^{-1})^{H}=(A^{H})^{-1}}
Η ορίζουσα του συζυγή πίνακα είναι ο συζυγής της ορίζουσας, δηλαδή
det
-->
(
A
H
)
=
det
-->
(
A
)
¯ ¯ -->
{\displaystyle \operatorname {det} (A^{H})={\overline {\operatorname {det} (A)}}}
[ 6] :205
↑ 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 Μπράτσος, Α. (2015). Μαθήματα ανωτέρων μαθηματικών ISBN 978-960-603-030-7 . ↑ 2,0 2,1 2,2 Μπούταλης, Ι. (2022). «Στοιχεία από την Θεωρία Πινάκων» (PDF) . Δημοκριτειο Πανεπιστήμειο Θράκης. Ανακτήθηκε στις 25 Αυγούστου 2022 . ↑ Πολύζος, Σ.· Τσιώτας, Δ. «Σημειώσεις μαθηματικών» (PDF) . Τμήμα Μηχανικών Χωροταξίας, Πολεοδομίας & Περ. Ανάπτυξης. Ανακτήθηκε στις 25 Αυγούστου 2022 . ↑ Κολαϊτη, Μεμας (1976). Αγγλοελληνικόν λεξικόν των θεωρητικών και εφημορσμένων μαθηματικών ↑ 5,0 5,1 5,2 Μπεληγιάννης, Α. (2020). «Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ: Ασκήσεις - Φυλλάδιο 9» (PDF) . Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων. Ανακτήθηκε στις 26 Αυγούστου 2022 . ↑ Körner, T. W. (2012). Vectors, pure and applied : a general introduction to linear algebra ISBN 9781139520034 .
