Συζυγής πίνακας
Στην γραμμική άλγεβρα , ο συζυγής πίνακας ενός μιγαδικού πίνακα είναι ο πίνακας που αποτελείται από τους συζυγείς μιγαδικούς των στοιχείων του. Πιο συγκεκριμένα, για έναν μιγαδικό πίνακα
A
{\displaystyle A}
n
× × -->
m
{\displaystyle n\times m}
A
¯ ¯ -->
{\displaystyle {\overline {A}}}
n
× × -->
m
{\displaystyle n\times m}
(
A
¯ ¯ -->
)
i
j
=
A
i
j
¯ ¯ -->
{\displaystyle ({\overline {A}})_{ij}={\overline {A_{ij}}}}
1
≤ ≤ -->
i
≤ ≤ -->
n
{\displaystyle 1\leq i\leq n}
1
≤ ≤ -->
j
≤ ≤ -->
m
{\displaystyle 1\leq j\leq m}
[ 1] :35 [ 2] :191 [ 3] :5 [ 4] :8 Δηλαδή,
A
¯ ¯ -->
=
[
A
11
¯ ¯ -->
A
12
¯ ¯ -->
… … -->
A
1
m
¯ ¯ -->
A
21
¯ ¯ -->
A
22
¯ ¯ -->
… … -->
A
2
m
¯ ¯ -->
⋮ ⋮ -->
⋮ ⋮ -->
⋱ ⋱ -->
⋮ ⋮ -->
A
n
1
¯ ¯ -->
A
n
2
¯ ¯ -->
… … -->
A
n
m
¯ ¯ -->
]
{\displaystyle {\overline {A}}={\begin{bmatrix}{\overline {A_{11}}}&{\overline {A_{12}}}&\ldots &{\overline {A_{1m}}}\\{\overline {A_{21}}}&{\overline {A_{22}}}&\ldots &{\overline {A_{2m}}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\overline {A_{n1}}}&{\overline {A_{n2}}}&\ldots &{\overline {A_{nm}}}\end{bmatrix}}}
Για παράδειγμα, ο συζυγής του
A
=
[
(
3
+
2
i
)
5
(
1
− − -->
4
i
)
(
7
+
2
i
)
]
{\displaystyle A={\begin{bmatrix}(3+2i)&5\\(1-4i)&(7+2i)\end{bmatrix}}}
A
¯ ¯ -->
=
[
(
3
− − -->
2
i
)
5
(
1
+
4
i
)
(
7
− − -->
2
i
)
]
{\displaystyle {\overline {A}}={\begin{bmatrix}(3-2i)&5\\(1+4i)&(7-2i)\end{bmatrix}}}
Παρακάτω δίνονται μερικά συγκεκριμένα παραδείγματα μιγαδικών πινάκων και ο συζυγής τους:
A
=
[
(
3
+
2
i
)
(
7
− − -->
3
i
)
5
i
(
9
− − -->
2
i
)
10
(
6
− − -->
5
i
)
]
A
¯ ¯ -->
=
[
(
3
− − -->
2
i
)
(
7
+
3
i
)
− − -->
5
i
(
9
+
2
i
)
10
(
6
+
5
i
)
]
{\displaystyle A={\begin{bmatrix}(3+2i)&(7-3i)&5i\\(9-2i)&10&(6-5i)\end{bmatrix}}\qquad {\overline {A}}={\begin{bmatrix}(3-2i)&(7+3i)&-5i\\(9+2i)&10&(6+5i)\end{bmatrix}}}
B
=
[
(
− − -->
5
+
2
i
)
(
3
− − -->
4
i
)
(
4
− − -->
8
i
)
(
5
+
3
i
)
(
1
+
3
i
)
(
7
− − -->
2
i
)
]
B
¯ ¯ -->
=
[
(
− − -->
5
− − -->
2
i
)
(
3
+
4
i
)
(
4
+
8
i
)
(
5
− − -->
3
i
)
(
1
− − -->
3
i
)
(
7
+
2
i
)
]
{\displaystyle B={\begin{bmatrix}(-5+2i)&(3-4i)\\(4-8i)&(5+3i)\\(1+3i)&(7-2i)\end{bmatrix}}\qquad {\overline {B}}={\begin{bmatrix}(-5-2i)&(3+4i)\\(4+8i)&(5-3i)\\(1-3i)&(7+2i)\end{bmatrix}}}
C
=
[
(
− − -->
5
+
7
i
)
(
8
+
2
i
)
(
1
− − -->
i
)
]
C
¯ ¯ -->
=
[
(
− − -->
5
− − -->
7
i
)
(
8
− − -->
2
i
)
(
1
+
i
)
]
{\displaystyle C={\begin{bmatrix}(-5+7i)&(8+2i)&(1-i)\end{bmatrix}}\qquad {\overline {C}}={\begin{bmatrix}(-5-7i)&(8-2i)&(1+i)\end{bmatrix}}}
Ο συζυγής πίνακας ενός πραγματικού πίνακα
A
{\displaystyle A}
A
{\displaystyle A}
A
¯ ¯ -->
=
A
{\displaystyle {\overline {A}}=A}
[ 2] : 191 μηδενικό πίνακα
0
n
× × -->
m
{\displaystyle \mathbf {0} _{n\times m}}
ταυτοτικό πίνακα
I
{\displaystyle I}
0
n
× × -->
m
¯ ¯ -->
=
0
n
× × -->
m
{\displaystyle {\overline {\mathbf {0} _{n\times m}}}=\mathbf {0} _{n\times m}}
I
¯ ¯ -->
=
I
{\displaystyle {\overline {I}}=I}
Ο συζυγής πίνακας ενός φανταστικού πίνακα
A
{\displaystyle A}
− − -->
A
{\displaystyle -A}
A
¯ ¯ -->
=
− − -->
A
{\displaystyle {\overline {A}}=-A}
[ 2] : 191
A
=
[
3
i
− − -->
6
i
7
i
4
i
]
A
¯ ¯ -->
=
[
− − -->
3
i
6
i
− − -->
7
i
− − -->
4
i
]
{\displaystyle A={\begin{bmatrix}3i&-6i\\7i&4i\end{bmatrix}}\qquad {\overline {A}}={\begin{bmatrix}-3i&6i\\-7i&-4i\end{bmatrix}}}
Ο συζυγής πίνακας του αθροίσματος δύο πινάκων
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
A
+
B
¯ ¯ -->
=
A
¯ ¯ -->
+
B
¯ ¯ -->
{\displaystyle {\overline {A+B}}={\overline {A}}+{\overline {B}}}
Για τον βαθμωτό πολλαπλασιασμό ενός μιγαδικού πίνακα
A
{\displaystyle A}
c
∈ ∈ -->
C
{\displaystyle c\in \mathbb {C} }
c
A
¯ ¯ -->
=
c
¯ ¯ -->
A
¯ ¯ -->
{\displaystyle {\overline {cA}}={\overline {c}}{\overline {A}}}
Ο συζυγής πίνακας του γινομένου δύο πινάκων
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
A
B
¯ ¯ -->
=
A
¯ ¯ -->
B
¯ ¯ -->
{\displaystyle {\overline {AB}}={\overline {A}}{\overline {B}}}
Ο συζυγής πίνακας του συζυγούς πίνακα είναι ο αρχικός πίνακας,
A
¯ ¯ -->
¯ ¯ -->
=
A
{\displaystyle {\overline {\overline {A}}}=A}
Ο συζυγής πίνακας του αναστρόφου είναι ο ανάστροφος του συζυγή,
A
T
¯ ¯ -->
=
(
A
¯ ¯ -->
)
T
{\displaystyle {\overline {A^{T}}}=({\overline {A}})^{T}}
Το ίχνος του συζυγή ενός πίνακα είναι
tr
-->
(
A
¯ ¯ -->
)
=
tr
-->
(
A
)
¯ ¯ -->
{\displaystyle \operatorname {tr} ({\overline {A}})={\overline {\operatorname {tr} (A)}}}
Ο συζυγής του αντίστροφου είναι ο αντίστροφος του συζυγή,
A
− − -->
1
¯ ¯ -->
=
(
A
¯ ¯ -->
)
− − -->
1
{\displaystyle {\overline {A^{-1}}}=({\overline {A}})^{-1}}
Η ορίζουσα του συζυγή πίνακα είναι ο συζυγής της ορίζουσας, δηλαδή
det
-->
(
A
¯ ¯ -->
)
=
det
-->
(
A
)
¯ ¯ -->
{\displaystyle \operatorname {det} ({\overline {A}})={\overline {\operatorname {det} (A)}}}
[ 1] : 57 [ 5] :13
Απόδειξη
Από τον τύπο του Leibniz ,
det
-->
(
A
¯ ¯ -->
)
=
∑ ∑ -->
τ τ -->
∈ ∈ -->
S
n
sgn
-->
(
τ τ -->
)
∏ ∏ -->
i
=
1
n
(
A
¯ ¯ -->
)
i
,
τ τ -->
(
i
)
=
∑ ∑ -->
τ τ -->
∈ ∈ -->
S
n
sgn
-->
(
τ τ -->
)
∏ ∏ -->
i
=
1
n
A
i
,
τ τ -->
(
i
)
¯ ¯ -->
=
det
-->
(
A
)
¯ ¯ -->
{\displaystyle \operatorname {det} ({\overline {A}})=\sum _{\tau \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\tau )\prod _{i=1}^{n}({\overline {A}})_{i,\tau (i)}={\overline {\sum _{\tau \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\tau )\prod _{i=1}^{n}A_{i,\tau (i)}}}={\overline {\operatorname {det} (A)}}}
χρησιμοποιώντας ότι ο συζυγής του γινομένου (αθροίσματος) μιγαδικών αριθμών είναι το γινόμενο (άθροισμα) των συζυγών μιγαδικών αριθμών.
↑ 1,0 1,1 Χαραλάμπους, Χ.· Φωτιάδης, Α. (2015). Μία εισαγωγή στη γραμμική άλγεβρα για τις θετικές επιστήμες ISBN 978-960-603-273-8 . ↑ 2,0 2,1 2,2 Μπράτσος, Α. (2015). Μαθήματα ανωτέρων μαθηματικών ISBN 978-960-603-030-7 . ↑ Μπούταλης, Ι. «Στοιχεία από την Θεωρία Πινάκων» (PDF) . Δημοκριτειο Πανεπιστήμειο Θράκης. Ανακτήθηκε στις 25 Αυγούστου 2022 . ↑ Πολύζος, Σ.· Τσιώτας, Δ. «Σημειώσεις μαθηματικών» (PDF) . Τμήμα Μηχανικών Χωροταξίας, Πολεοδομίας & Περ. Ανάπτυξης. Ανακτήθηκε στις 25 Αυγούστου 2022 . ↑ Χαραλάμπους, Χαρά. «Σημειώσεις γραμμικής άλγεβρας εβδομάδα Τρίτη 19 Οκτωβρίου 2010» (PDF) . Τμήμα Μαθηματικών, Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης. Ανακτήθηκε στις 25 Αυγούστου 2022 .
