Το λήμμα δεν περιέχει πηγές ή αυτές που περιέχει δεν επαρκούν.Μπορείτε να βοηθήσετε προσθέτοντας την κατάλληλη τεκμηρίωση. Υλικό που είναι ατεκμηρίωτο μπορεί να αμφισβητηθεί και να αφαιρεθεί.
Η σήμανση τοποθετήθηκε στις 27/11/2014.
Στο Ρωσικό Γκραν Πρι του 2016, λίγο μετά την έναρξη του αγώνα ο Κβιάτ έριξε το μονοθέσιό του επάνω σ' εκείνο της Ferrari το οποίο οδηγούσε ο ΓερμανόςΣεμπάστιαν Φέτελ κι αυτό με τη σειρά του έπεσε επάνω στο άλλο μονοθέσιο της Red Bull το οποίο οδηγούσε ο ΑυστραλόςΝτάνιελ Ρικιάρντο. Εξ' αιτίας της σύγκρουσης ο Κβιάτ κι ο Φέτελ εγκατέλειψαν ενώ ο Ρικιάρντο συνέχισε όμως ο αγώνας του επηρεάστηκε και τερμάτισε εκτός της βαθμολογούμενης δεκάδας. Επειδή η Red Bull έφυγε από το Σότσι χωρίς βαθμούς, την Πέμπτη 5 Μαΐου 2016 συγκλήθηκε το Διοικητικό Συμβούλιο της ομάδας, συζήτησε το θέμα και όλα τα μέλη αποφάσισαν ομόφωνα απ' το επόμενο Γκραν Πρι στην Ισπανία να επιστρέψει ο Κβιάτ στην Τόρο Ρόσο και τη θέση του στη Red Bull να πάρει ο ΟλλανδόςΜαξ Φερστάπεν.
Διαμάχη με τον Σάινθ Τζούνιορ
Στις επίσημες δοκιμές κατάταξης του Καναδικού Γκραν Πρι του 2017, σημειώθηκε ένα επεισόδιο ανάμεσα στον Κβιάτ και στον έτερο οδηγό της Τόρο Ρόσο, τον ΙσπανόΚάρλος Σάινθ Jr. Συγκεκριμένα λίγο πριν το τέλος της δεύτερης περιόδου, ο Σάινθ κάλεσε την ομάδα στον ασύρματο και κατηγόρησε τον Κβιάτ ότι δεν σέβεται τη συμφωνία για την απόκτηση πλεονεκτήματος μέσω slipstreaming.Ο Κβιάτ σε δηλώσεις του αντέδρασε οργισμένα.[6]
Στο Βρετανικό Γκραν Πρι του 2017 στην πίστα του Σίλβερστοουν, υπήρξε ένα νέο επεισόδιο ανάμεσα στον Κβιάτ και στο Σάινθ Jr. Συγκεκριμένα λίγο μετά την εκκίνηση του αγώνα, ο Κβιάτ πήγε να προσπεράσει το Σάινθ Jr όμως ένιωσε να 'χει υποστροφή κι αυτό είχε σαν αποτέλεσμα να πέσει επάνω στον δέυτερο κι εκείνος με τη σειρά του να εγκαταλείψει. Ο Κβιάτ μπόρεσε και συνέχισε όμως στην πορεία οι Αγωνοδίκες του επέβαλαν ποινή διέλευσης απ' τα πιτ την οποία και εξέτισε.
Η αντικατάσταση του Κβιάτ από τον Πιερ Γκασλί
Την Τρίτη 26 Σεπτεμβρίου του 2017, ανακοινώθηκε πως τη θέση του Κβιάτ στο μονοθέσιο της Τόρο Ρόσο τουλάχιστον για τα Γκραν Πρι Μαλαισίας και Ιαπωνίας θα πάρει ο Γάλλος Πιερ Γκασλί. Στις 16 Οκτωβρίου ανακοινώθηκε πως Πιερ Γκασλί ο οποίος πήρε τη θέση του Κβιάτ στα Γκραν Πρι Σιγκαπούρης και Ιαπωνίας δε θα συμμετείχε στο Αμερικανικό Γκραν Πρι επειδή έπρεπε να πάει στην Ιαπωνία όπου θα γινόταν ο τελευταίος για το 2017 αγώνας του Ιαπνωικού Πρωταθλήματος Super Formula όπου διεκδικεί τον τίτλο κι ο Κβιάτ θα έπαιρνε πίσω τη θέση στο μονοθέσιο της ομάδας. Όμως στις 9 Οκτωβρίου είχε ανακοινωθεί από κείνο το Γκραν Πρι ο Ισπανός οδηγός της ομάδας Κάρλος Σάινθ Jr θα πήγαινε στη Renault Sports όπου θα έπαιρνε τη θέση του Βρετανού Τζόλυον Πάλμερ και πως έπρεπε να βρουν κάποιον άλλον να βάλουν στη θέση του. Λοιπόν ο Κβιάτ πήρε τη θέση του πίσω και στη θέση του Σάινθ Jr έβαλαν το Νεοζηλανδό Μπρέντον Χάρτλεϊ. Την Πέμπτη 26 Οκτωβρίου ο Διευθύνων Σύμβουλος της Red Bull Χέλμουτ Μάρκο ανακοίνωσε πως η επιστροφή του Κβιάτ ήταν μόνο για το Αμερικανικό Γκραν Πρι. Στα 3 εναπομείναντα τα οποία θα γίνουν σε Μεξικό, Βραζιλία και Άμπου Ντάμπι, το οδηγικό δίδυμο της ομάδας θα είναι ο Πιερ Γκασλί και ο Μπρέντον Χάρτλεϊ.
Στις 3 Νοεμβρίου του 2017 ο Πρόεδρος της Ferrari Σέρτζιο Μαρκιόνε ανακοίνωσε πως ο Κβιάτ θα πάει ως αποσπασμένος οδηγός σ' εκείνη την ομάδα για το Πρωτάθλημα του 2018. Το συμβόλαιο το οποίο υπέγραψε αναφέρει πως θα έχει θέση δοκιμαστή και αναπληρωματικού οδηγού και όχι ακόμα θέση κανονικού οδηγού αγώνων.
Μετονομασία της Τόρο Ρόσο σε Άλφα Τάουρι απ' το 2020 και παραμονή εκεί πέρα του Κβιάτ
Στις 19 Νοεμβρίου του 2019 αποφασίστηκε ομόφωνα πως απ' το Πρωτάθλημα του 2020 η Τόρο Ρόσο θα μετονομαζόταν σε Άλφα Τάουρι καθώς έτσι
ονομάζεται η εταιρεία ενδυμασίας της Ρεντ Μπουλ. Στην ομάδα παρέμεινε ο Κβιάτ και στο άλλο μονοθέσιο ο Πιερ Γκασλί.
