Στη θεωρία πιθανοτήτων, και πιο συγκεκριμένα στη μελέτη των τυχαίων πινάκων, ο κυκλικός νόμος αφορά την κατανομή των ιδιοτιμών ενός τυχαίου πίνακαn × n με ανεξάρτητες και πανομοιότυπα κατανεμημένες καταχωρήσεις^[1] στο όριο n → ∞.

Ισχυρίζεται ότι για οποιαδήποτε ακολουθία τυχαίων πινάκων n × n των οποίων οι καταχωρήσεις είναι ανεξάρτητες και πανομοιότυπα κατανεμημένες τυχαίες μεταβλητές, όλες με μέση τιμή μηδέν και διακύμανση ίση με 1/n, η οριακή φασματική κατανομή είναι η ομοιόμορφη κατανομή πάνω στον μοναδιαίο δίσκο.

Το σύνθετο σύνολο Ζινίμπρ ορίζεται ως ${\displaystyle X={\frac {1}{\sqrt {2}}}Z_{1}+{\frac {i}{\sqrt {2}}}Z_{2}}$ για ${\displaystyle Z_{1},Z_{2}\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$, με όλες τις καταχωρήσεις τους δειγματοληπτικά IID από την τυπική κανονική κατανομή ${\displaystyle {\mathcal {N}}(0,1)}$.

Το πραγματικό σύνολο Ζινίμπρ ορίζεται ως ${\displaystyle X=Z_{1}}$.

Οι ιδιοτιμές της ${\displaystyle X}$ κατανέμονται σύμφωνα με ^[2]

${\displaystyle \rho _{n}\left(z_{1},\ldots ,z_{n}\right)={\frac {1}{\pi ^{n}\prod _{k=1}^{n}k!}}\exp \left(-\sum _{k=1}^{n}\left|z_{k}\right|^{2}\right)\prod _{1\leq j<k\leq n}\left|z_{j}-z_{k}\right|^{2}}$

Έστω ${\displaystyle (X_{n})_{n=1}^{\infty }}$ μια ακολουθία δειγματοληψίας από το σύνθετο σύνολο Ζινίμπρ. Έστω ότι ${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n},1\leq j\leq n}$ συμβολίζουν τις ιδιοτιμές της ${\displaystyle \displaystyle {\frac {1}{\sqrt {n}}}X_{n}}$ Ορίζουμε το εμπειρικό φασματικό μέτρο του ${\displaystyle \displaystyle {\frac {1}{\sqrt {n}}}X_{n}}$ ως

${\displaystyle \mu _{{\frac {1}{\sqrt {n}}}X_{n}}(A)=n^{-1}\#\{j\leq n:\lambda _{j}\in A\}~,\quad A\in {\mathcal {B}}(\mathbb {C} ).}$

Τότε, σχεδόν σίγουρα (δηλαδή με πιθανότητα ένα), η ακολουθία των μέτρων ${\displaystyle \displaystyle \mu _{{\frac {1}{\sqrt {n}}}X_{n}}}$ συγκλίνει ως προς την κατανομή στο ομοιόμορφο μέτρο στον μοναδιαίο δίσκο.

Έστω ${\displaystyle G_{n}}$ ένα δείγμα από το πραγματικό ή μιγαδικό σύνολο, και έστω ${\displaystyle \rho (G_{n})}$ η απόλυτη τιμή της μέγιστης ιδιοτιμής του

${\displaystyle \rho (G_{n}):=\max _{j}|\lambda _{j}|}$

Έχουμε το ακόλουθο θεώρημα για τα στατιστικά ακμών:^[3]

Στατιστικά στοιχεία ακμών του συνόλου Ζινίμπρ - Για ${\displaystyle G_{n}}$ και ${\displaystyle \rho \left(G_{n}\right)}$ όπως ανωτέρω, με πιθανότητα ένα,

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{\sqrt {n}}}\rho \left(G_{n}\right)=1}$

Επιπλέον, εάν ${\displaystyle \gamma _{n}=\log \left({\frac {n}{2\pi }}\right)-2\log(\log(n))}$ και

${\displaystyle Y_{n}:={\sqrt {4n\gamma _{n}}}\left({\frac {1}{\sqrt {n}}}\rho \left(G_{n}\right)-1-{\sqrt {\frac {\gamma _{n}}{4n}}}\right),}$

τότε το ${\displaystyle Y_{n}}$ συγκλίνει ως προς την κατανομή στο νόμο Γκάμπελ, δηλαδή το μέτρο πιθανότητας στο ${\displaystyle \mathbb {R} }$ με αθροιστική συνάρτηση κατανομής ${\displaystyle F_{\mathrm {Gum} }(x)=e^{-e^{-x}}}$.

Αυτό το θεώρημα βελτιώνει τον κυκλικό νόμο του συνόλου Ζινίμπρ. Με λίγα λόγια, ο κυκλικός νόμος λέει ότι το φάσμα του ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {n}}}G_{n}}$ σχεδόν σίγουρα πέφτει ομοιόμορφα στον μοναδιαίο δίσκο. και το θεώρημα της στατιστικής των άκρων δηλώνει ότι η ακτίνα του σχεδόν μοναδιαίου δίσκου είναι περίπου ${\displaystyle 1-{\sqrt {\frac {\gamma _{n}}{4n}}}}$, και κυμαίνεται σε κλίμακα ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {4n\gamma _{n}}}}}$, σύμφωνα με τον νόμο Γκάμπελ.

Για τυχαίους πίνακες με γκαουσιανή κατανομή των καταχωρήσεων (τα σύνολα Ζινίμπρ), ο κυκλικός νόμος καθιερώθηκε τη δεκαετία του 1960 από τον Ζαν Ζινίμπρ^[4] Τη δεκαετία του 1980, ο Βιάτσεσλαβ Γκίρκο εισήγαγε^[5] μια προσέγγιση που επέτρεψε να καθιερωθεί ο κυκλικός νόμος για πιο γενικές κατανομές. Περαιτέρω πρόοδος σημειώθηκε^[6] από τον Ζίντονγκ Μπάι, ο οποίος καθιέρωσε τον κυκλικό νόμο υπό ορισμένες υποθέσεις ομαλότητας της κατανομής.

Οι παραδοχές χαλαρώθηκαν περαιτέρω στις εργασίες των Τέρενς Τάο και Βαν Χ. Βου,^[7] Γκουανγκμίνγκ Παν και Γουάνγκ Ζου,^[8] και Φρίντριχ Γκότσε και Αλεξάντερ Τιχομίροφ^[9]. Τέλος, το 2010 οι Τάο και Βου απέδειξαν^[10] τον κυκλικό νόμο υπό τις ελάχιστες παραδοχές που αναφέρθηκαν παραπάνω.

Το αποτέλεσμα του κυκλικού νόμου επεκτάθηκε το 1985 από τον Γίρκο^[11] σε έναν ελλειπτικό νόμο για σύνολα πινάκων με σταθερή ποσότητα συσχέτισης μεταξύ των καταχωρήσεων πάνω και κάτω από τη διαγώνιο. Ο ελλειπτικός και ο κυκλικός νόμος γενικεύτηκαν περαιτέρω από τους Ασιτούνο, Ρότζερς και Σόμερους στον υποτροχοειδή νόμο που περιλαμβάνει συσχετίσεις υψηλότερης τάξης^[12].

• Μαυρογιάννης, Ν. Σ. (Μαΐου 2016). «Μία εισαγωγή στους μιγαδικούς αριθμούς». Εκθέτης Φύλλα Μαθηματικής Παιδείας (16): 1-8. http://ekthetis.gr/Ekthetis016.pdf. 
• Bronshtein, I. N.· Semendyayev, K. A. (29 Ιουνίου 2013). Handbook of Mathematics. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-662-21982-9. 
• Belevitch V (1950). «Theory of 2n-terminal networks with applications to conference telephony». Electrical Communication 27: 231–244. 
• Bareiss, E. H. (1969), «Numerical solution of linear equations with Toeplitz and vector Toeplitz matrices», Numerische Mathematik 13 (5): 404–424, doi:10.1007/BF02163269 
• Goldreich, O.; Tal, A. (2018), «Matrix rigidity of random Toeplitz matrices», Computational Complexity 27 (2): 305–350, doi:10.1007/s00037-016-0144-9 
• Diodorus Siculus, Bibliotheca Historica. Vol. 1–2. Immanel Bekker. Ludwig Dindorf. Friedrich Vogel. in aedibus B. G. Teubneri. Leipzig. 1888–1890. Greek text available at the Perseus Digital Library.
• O. C. Zienkiewicz, R. L. Taylor, J. Z. Zhu : The Finite Element Method: Its Basis and Fundamentals, Butterworth-Heinemann (2005).
• Francis, J. G. F. (1962), «The QR Transformation, II (part 2)», The Computer Journal 4 (4): 332–345, doi:10.1093/comjnl/4.4.332 
• Friedberg, Stephen H.; Insel, Arnold J.; Spence, Lawrence E. (1989), Linear algebra (2nd έκδοση), Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, ISBN 0-13-537102-3 
• Golub, Gene H.; Van Loan, Charles F. (1996), Matrix computations (3rd έκδοση), Baltimore, MD: Johns Hopkins University Press, ISBN 978-0-8018-5414-9 
• Graham, D.; Midgley, N. (2000), «Graphical representation of particle shape using triangular diagrams: an Excel spreadsheet method», Earth Surface Processes and Landforms 25 (13): 1473–1477, doi:10.1002/1096-9837(200012)25:13<1473::AID-ESP158>3.0.CO;2-C 
• Hawkins, T. (1975), «Cauchy and the spectral theory of matrices», Historia Mathematica 2: 1–29, doi:10.1016/0315-0860(75)90032-4 
• Heesterbeek, J. A. P.; Diekmann, Odo (2000), Mathematical epidemiology of infectious diseases, Wiley series in mathematical and computational biology, West Sussex, England: John Wiley & Sons, //books.google.com/books?id=5VjSaAf35 ^{[νεκρός σύνδεσμος]}
• Hefferon, Jim (2001), Linear Algebra, Colchester, VT: Online book, St Michael's College, https://joshua.smcvt.edu/linearalgebra/ 
• Herstein, I. N. (1964), Topics In Algebra, Waltham: Blaisdell Publishing Company, ISBN 978-1114541016 

• Field Arithmetic
• Πραγματικό προβολικό επίπεδο
• Πραγματικός αριθμός
• Αντιερμιτιανός πίνακας
• Μέγιστος κοινός διαιρέτης
• Υπολογιστική βιολογία
• Ελάσσων (γραμμική άλγεβρα)
• Προβολή (γραμμική άλγεβρα)
• Συμμετρικός πίνακας
• Παραμετρικές εξισώσεις
• Πολλαπλασιασμός πινάκων
• Επαναλαμβανόμενη συνάρτηση
• Ανάλυση πίνακα σε ιδιάζουσες τιμές
• Κανονική κατανομή
• Θεωρία πιθανοτήτων
• High performance algorithms for reduction to condensed (Hessenberg, tridiagonal, bidiagonal) form

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Matrix calculator
• Matrix Analysis
• Complex-Valued Matrix Derivatives: With Applications in Signal Processing ...
• Exercises of Matrices and Linear Algebra
• Fourier Transforms: Approach to Scientific Principles
• Euclidean Distance Matrices and Their Applications in Rigidity Theory.
• Physics and Combinatorics 2000: Proceedings of the Nagoya 2000 International ...
• Smart Grid using Big Data Analytics: A Random Matrix Theory Approach
• Stochastic Processes and Random Matrices: Lecture Notes of the Les Houches ...
• Numerical Methods in Matrix Computations ....
• Lectures on the Combinatorics of Free Probability, Τόμος 13

• Golub, Gene H.· Van Loan, Charles F. (1996). Matrix Computations. ISBN 0-8018-5414-8. 
• Horn, Roger A.· Johnson, Charles R. (1985). Matrix Analysis (Paperback έκδοση). Cambridge University Press. ISBN 0-521-38632-2. 
• Najnudel, Joseph; Nikeghbali, Ashkan (2013), «The Distribution of Eigenvalues of Randomized Permutation Matrices», Annales de l'Institut Fourier 63 (3): 773–838, http://www.numdam.org/item/AIF_2013__63_3_773_0/