Στη γραμμική άλγεβρα και στη συναρτησιακή ανάλυση, η προβολή είναι ένας γραμμικός μετασχηματισμός ${\displaystyle P}$ από ένα διανυσματικό χώρο στον εαυτό του (ενδομορφισμός) τέτοιος ώστε ${\displaystyle P\circ P=P}$. Επομένως, όποτε ο ${\displaystyle P}$ εφαρμόζεται δύο φορές σε οποιοδήποτε διάνυσμα, δίνει το ίδιο αποτέλεσμα σαν να είχε εφαρμοστεί μία φορά (δηλαδή ο ${\displaystyle P}$ είναι ταυτοδύναμος), αφήνοντας αναλλοίωτη την [./Https://en.wikipedia.org/wiki/Image%20(mathematics) απεικόνιση] του διανύσματος^[1]. Αυτός ο ορισμός της προβολής μορφοποιεί μαθηματικά και γενικεύει την έννοια της [./Https://en.wikipedia.org/wiki/Image%20(mathematics) προβολής ενός τρισδιάστατου αντικειμένου] σε δύο διαστάσεις. Σε αυτό το πλαίσιο μπορεί επίσης να αναλυθεί η προβολή σε ένα γεωμετρικό αντικείμενο, μέσω της προβολής σε επιμέρους σημεία του αντικειμένου.

Η προβολή σε ένα διανυσματικό χώρο ${\displaystyle V}$ είναι ένας γραμμικός τελεστής ${\displaystyle P:V\to V}$, έτσι ώστε ${\displaystyle P^{2}=P}$ .

Όταν ο ${\displaystyle V}$ είναι χώρος [./Https://en.wikipedia.org/wiki/Inner%20product%20space εσωτερικού γινομένου] και είναι πλήρης (δηλ. όταν ο ${\displaystyle V}$ είναι ένας χώρος Hilbert), μπορεί να χρησιμοποιηθεί η έννοια της [./Https://en.wikipedia.org/wiki/Orthogonality ορθογωνικότητας]. Μια προβολή ${\displaystyle P}$ σε ένα χώρο Hilbert ${\displaystyle V}$ ονομάζεται ορθή προβολή αν ικανοποιεί ${\displaystyle \langle P\mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =\langle \mathbf {x} ,P\mathbf {y} \rangle ,\forall \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in V}$. Μια προβολή σε χώρο Hilbert που δεν είναι ορθή ονομάζεται πλάγια προβολή.

• Στην περίπτωση ενός χώρου πεπερασμένης [./Https://en.wikipedia.org/wiki/Dimension%20(vector%20space) διάστασης] ${\displaystyle N}$ , ένας τετραγωνικός πίνακας ${\displaystyle \mathbf {P} }$ ονομάζεται πίνακας προβολής αν είναι ίσος με το τετράγωνό του, δηλαδή αν ${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}=\mathbf {P} }$ ^[2].
• Ένας τετραγωνικός πίνακας ${\displaystyle P}$ ονομάζεται πίνακας ορθής προβολής αν ${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}=\mathbf {P} =\mathbf {P} ^{T},\mathbf {P} \in \mathbb {R} ^{N\times N}}$ πραγματικός πίνακας, με ${\displaystyle \mathbf {P} ^{T}}$ τον ανάστροφο του ${\displaystyle \mathbf {P} }$, ενώ αντίστοιχα ${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}=\mathbf {P} =\mathbf {P} ^{*T},\mathbf {P} \in \mathbb {C} ^{N\times N}}$ μιγαδικός πίνακας, όπου ${\displaystyle \mathbf {P} ^{*T}}$ ο συζυγής ανάστροφος πίνακας του ${\displaystyle \mathbf {P} }$ ^[2].
• Ένας πίνακας προβολής που δεν είναι ορθογώνιος πίνακας προβολής ονομάζεται πλάγιος πίνακας προβολής.

Οι ιδιοτιμές ενός πίνακα προβολής έχουν μόνο δύο τιμές, 0 ή 1.

Για παράδειγμα, μία συνάρτηση που απεικονίζει το σημείο ${\displaystyle (x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}}$ στο σημείο ${\displaystyle (x,y,0)}$ είναι μια ορθογώνια προβολή στο επίπεδο ${\displaystyle {x,y}}$. Αυτή η συνάρτηση αντιπροσωπεύεται από τον πίνακα$${\displaystyle \mathbf {P} ={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{bmatrix}}.}$$Η επίδραση αυτού του πίνακα σε ένα τυχαίο διάνυσμα είναι$${\displaystyle \mathbf {P} \cdot {\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x\\y\\0\end{bmatrix}}.}$$Για να αποδείξουμε ότι ο ${\displaystyle \mathbf {P} }$ είναι πράγματι ένας πίνακας προβολής, δηλ. ${\displaystyle \mathbf {P} =\mathbf {P} ^{2}}$, υπολογίζουμε$${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}\cdot {\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}=\mathbf {P} {\begin{bmatrix}x\\y\\0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x\\y\\0\end{bmatrix}}=\mathbf {P} \cdot {\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}.}$$Η επιπρόσθετη παρατήρηση ότι ${\displaystyle \mathbf {P} ^{T}=\mathbf {P} }$ δείχνει ότι η προβολή είναι επίσης ορθή προβολή.

Ένα απλό παράδειγμα μη ορθογώνιας (πλάγιας) προβολής είναι$${\displaystyle \mathbf {P} ={\begin{bmatrix}0&0\\\alpha &1\end{bmatrix}}.}$$Μέσω πολλαπλασιασμού πινάκων, προκύπτει ότι $${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}={\begin{bmatrix}0&0\\\alpha &1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}0&0\\\alpha &1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&0\\\alpha &1\end{bmatrix}}=\mathbf {P} ,}$$επομένως ${\displaystyle \mathbf {P} }$ είναι όντως πίνακας προβολής.

Ο πίνακας προβολής ${\displaystyle \mathbf {P} }$ είναι πίνακας ορθής προβολής αν και μόνο αν ${\displaystyle \alpha =0}$ γιατί μόνο τότε ${\displaystyle \mathbf {P} ^{T}=\mathbf {P} .}$

Εξ ορισμού ο πίνακας ${\displaystyle \mathbf {P} }$ είναι ταυτοδύναμος (δηλ. ${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}=\mathbf {P} }$).

Κάθε προβολή είναι μία [./Https://en.wikipedia.org/wiki/Open%20and%20closed%20maps ανοικτή απεικόνιση], που σημαίνει ότι είναι μια συνάρτηση μεταξύ δύο τοπολογικών χώρων η οποία απεικονίζει ένα ανοιχτό σύνολο σε ένα άλλο ανοικτό σύνολο.  Δηλαδή, για οποιοδήποτε διάνυσμα ${\displaystyle \mathbf {x} }$ και οποιαδήποτε γειτονιά του ${\displaystyle \mathbf {x} }$, με κέντρο ${\displaystyle \mathbf {x} }$ και οσοδήποτε μικρή, υπάρχει μια γειτονιά με κέντρο ${\displaystyle \mathbf {P} \cdot \mathbf {x} }$ που περιέχεται εξ ολοκλήρου στην απεικόνιση της γειτονιάς του ${\displaystyle \mathbf {x} }$.

Έστω ${\displaystyle W}$ είναι ένας πεπερασμένος διανυσματικός χώρος και ${\displaystyle P}$ να είναι μια προβολή στον ${\displaystyle W}$. Ας υποθέσουμε ότι οι [./Https://en.wikipedia.org/wiki/Linear%20subspace υποχώροι] ${\displaystyle U}$ και ${\displaystyle V}$ είναι η [./Https://en.wikipedia.org/wiki/Open+and+closed+maps απεικόνιση] και ο πυρήνας του ${\displaystyle P}$ αντίστοιχα. Τότε ο πίνακας προβολής ${\displaystyle \mathbf {P} }$ έχει τις εξής ιδιότητες:

1. Ο ${\displaystyle \mathbf {P} }$ είναι η ταυτοτική συνάρτηση ${\displaystyle \mathbf {I} }$ επί του ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \forall \mathbf {x} \in U:P\mathbf {x} =\mathbf {x} .}$
2. Έχουμε μία [./Https://en.wikipedia.org/wiki/Direct%20sum%20of%20modules άμεση σύνθεση] ${\displaystyle W=U\oplus V}$ . Κάθε διάνυσμα ${\displaystyle \mathbf {x} \in W}$ μπορεί να αποσυντεθεί μοναδικά ως ${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {u} +\mathbf {v} }$ με ${\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {P} \cdot \mathbf {x} }$ και ${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {x} -\mathbf {P} \cdot \mathbf {x} =\left(\mathbf {I} -\mathbf {P} \right)\cdot \mathbf {x} }$, και για ${\displaystyle \mathbf {u} \in U,\mathbf {v} \in V}$.

Η απεικόνιση και ο πυρήνας μιας προβολής είναι συμπληρωματικά, όπως και ${\displaystyle \mathbf {P} }$ και ${\displaystyle \mathbf {Q} =\mathbf {I} -\mathbf {P} }$ . Ο πίνακας ${\displaystyle \mathbf {Q} }$ είναι επίσης ένας πίνακας προβολής, καθώς η απεικόνιση και ο πυρήνας του ${\displaystyle \mathbf {P} }$ είναι ο πυρήνας και η απεικόνιση του ${\displaystyle \mathbf {Q} }$ και αντίστροφα. Λέμε ότι ${\displaystyle P}$ είναι μια προβολή κατά μήκος του ${\displaystyle V}$ επάνω στον ${\displaystyle U}$ (πυρήνας/απεικόνιση) και ${\displaystyle Q}$ είναι μια προβολή κατά μήκος του ${\displaystyle U}$ επάνω στον ${\displaystyle V}$.

Σε διανυσματικούς χώρους άπειρων διαστάσεων, το [./Https://en.wikipedia.org/wiki/Spectrum%20(functional%20analysis) φάσμα] μιας προβολής περιέχεται στο σύνολο ${\displaystyle \{0,1\}}$ (δηλαδή όλες οι γενικευμένες ιδιοτιμές ή τιμές του φάσματος είναι 0 ή 1), όπως και$${\displaystyle \left(\lambda \mathbf {I} -\mathbf {P} \right)^{-1}={\frac {1}{\lambda }}\mathbf {I} +{\frac {1}{\lambda (\lambda -1)}}\mathbf {P} .}$$Μόνο το 0 ή το 1 μπορεί να είναι ιδιοτιμή μιας προβολής. Αυτό σημαίνει ότι ένας πίνακας ορθής προβολής ${\displaystyle \mathbf {P} }$ είναι πάντα ένας πίνακας μη αρνητικών ιδιοτιμών ([./Https://en.wikipedia.org/wiki/Definite%20matrix μονοπρόσημος]), δηλαδή ${\displaystyle \mathbf {x} ^{T}\cdot \mathbf {P} \cdot \mathbf {x} \geq 0,\forall \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{N}}$ όπου ${\displaystyle N}$ είναι η διάσταση του χώρου. Γενικά, οι αντίστοιχοι ιδιο-υποχώροι είναι (αντίστοιχα) ο πυρήνας και ο χώρος στηλών του πίνακα ή εύρος της προβολής. Η ανάλυση ενός διανυσματικού χώρου σε υποχώρους αθροίσματα δεν είναι μοναδική. Επομένως, για δεδομένο υποχώρο ${\displaystyle V}$, μπορεί να υπάρχουν πολλές προβολές των οποίων το εύρος (ή ο πυρήνας) είναι ${\displaystyle V}$.

Εάν μια προβολή είναι μη τετριμμένη, έχει ελάχιστο πολυώνυμο ${\displaystyle x^{2}-x=x(x-1)}$, το οποίο παραγοντοποιείται σε διακριτούς γραμμικούς παράγοντες, και έτσι ο ${\displaystyle \mathbf {P} }$ είναι διαγωνοποιήσιμος.

Το γινόμενο των πινάκων προβολής, γενικά δεν είναι πίνακας προβολής, ακόμα κι αν οι πίνακες είναι μεταξύ τους ορθογώνιοι. Εάν δύο πίνακες προβολής είναι αντιμεταθέσιμοι, τότε το γινόμενο τους είναι πίνακας προβολής, αλλά το λογικό αντίστροφο δεν ισχύει: το γινόμενο δύο μη αντιμεταθέσιμων πινάκων προβολής μπορεί να είναι πίνακας προβολής.

Εάν δύο ορθογώνιοι μεταξύτους πίνακες προβολής είναι αντιμεταθέσιμοι, τότε το γινόμενο τους είναι ένας πίνακας ορθής προβολής. Εάν το γινόμενο δύο πινάκων ορθής προβολής είναι ένας πίνακας ορθής προβολής, τότε οι δύο αρχικοί πίνακες ορθής προβολής είναι αντιμεταθέσιμοι.

Όταν ο διανυσματικός χώρος ${\displaystyle W}$ είναι χώρος [./Https://en.wikipedia.org/wiki/Inner%20product%20space εσωτερικού γινομένου] και είναι πλήρης (δηλ. όταν ο ${\displaystyle W}$ είναι ένας χώρος Hilbert) μπορεί να χρησιμοποιηθεί η έννοια της [./Https://en.wikipedia.org/wiki/Orthogonality ορθογωνικότητας]. Μια ορθή προβολή είναι μια προβολή για την οποία το εύρος ${\displaystyle U}$ και το μηδενικό διάστημα ${\displaystyle V}$ είναι ορθογώνιοι υποχώροι. Έτσι,

${\displaystyle \langle \mathbf {P} \mathbf {x} ,(\mathbf {y} -\mathbf {P} \mathbf {y} )\rangle =\langle (\mathbf {x} -\mathbf {P} \mathbf {x} ),\mathbf {P} \mathbf {y} \rangle =0,\forall \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in W}$

Ισοδύναμα, $${\displaystyle \langle \mathbf {x} ,\mathbf {P} \mathbf {y} \rangle =\langle \mathbf {P} \mathbf {x} ,\mathbf {P} \mathbf {y} \rangle =\langle \mathbf {P} \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle .}$$Μια προβολή είναι ορθογώνια αν και μόνο αν είναι αυτοσυνημμένη . Χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες του ${\displaystyle \mathbf {P} }$, έχουμε ${\displaystyle \forall \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in W,\mathbf {P} \mathbf {x} \in U,\mathbf {y} -\mathbf {P} \mathbf {y} \in V}$ και$${\displaystyle \langle \mathbf {P} \mathbf {x} ,\mathbf {y} -\mathbf {P} \mathbf {y} \rangle =\langle \mathbf {P} ^{2}\mathbf {x} ,\mathbf {y} -\mathbf {P} \mathbf {y} \rangle =\langle \mathbf {P} \mathbf {x} ,\mathbf {P} \left(\mathbf {I} -\mathbf {P} \right)\mathbf {y} \rangle =\langle \mathbf {P} \mathbf {x} ,\left(\mathbf {P} -\mathbf {P} ^{2}\right)\mathbf {y} \rangle =0}$$όπου ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ είναι το εσωτερικό γινόμενο που σχετίζεται με τον ${\displaystyle W}$. Επομένως, ${\displaystyle \mathbf {P} }$ και ${\displaystyle \mathbf {I} -\mathbf {P} }$ είναι πίνακες ορθής προβολής ^[1]. Η άλλη περίπτωση, δηλαδή ότι αν ${\displaystyle \mathbf {P} }$ είναι πίνακας ορθής προβολής τότε η προβολή αυτοσυνημμένη, προκύπτει από την σχέση $${\displaystyle \langle \mathbf {x} ,\mathbf {P} \mathbf {y} \rangle =\langle \mathbf {P} \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =\langle \mathbf {x} ,\mathbf {P} ^{T}\mathbf {y} \rangle }$$για κάθε ${\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in W}$, οπότε ${\displaystyle \mathbf {P} =\mathbf {P} ^{T}}$.

Απόδειξη της ύπαρξης του πίνακα ορθής προβολής

Έστω ${\displaystyle H}$ ένας πλήρης μετρικός χώρος με εσωτερικό γινόμενο, και έστω ${\displaystyle U}$ ένας κλειστός γραμμικός υποχώρος του (επομένως, επίσης πλήρης).

Για κάθε ${\displaystyle \mathbf {x} }$, το ακόλουθο σύνολο μη αρνητικών [./Https://en.wikipedia.org/wiki/Norm%20(mathematics) αποστάσεων] ${\displaystyle \{\|\mathbf {x} -\mathbf {u} \|:\mathbf {u} \in U\}}$ έχει ένα [./Https://en.wikipedia.org/wiki/Infimum%20and%20supremum κάτω όριο], το οποίο λόγω της πληρότητας του ${\displaystyle U}$ είναι και [./Https://en.wikipedia.org/wiki/Maxima%20and%20minima ελάχιστο]. Ορίζουμε ως ${\displaystyle \mathbf {P} \cdot \mathbf {x} }$ το ως το σημείο του ${\displaystyle U}$, για το οποίο επιτυγχάνεται το παραπάνω ελάχιστο.

Προφανώς . Παραμένει προς απόδειξη ότι για το ${\displaystyle \mathbf {P} \cdot \mathbf {x} }$ ικανοποιείται η σχέση ${\displaystyle \langle \mathbf {x} -\mathbf {P} \cdot \mathbf {x} ,\mathbf {P} \cdot \mathbf {x} \rangle =0}$ και ότι η σχέση είναι γραμμική.

Έστω ${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {x} -\mathbf {P} \cdot \mathbf {x} }$. Για κάθε μη μηδενικό ${\displaystyle \mathbf {v} \in U}$, η ακόλουθη σχέση ισχύει:

${\displaystyle \left\Vert \mathbf {a} -{\frac {\langle \mathbf {a} ,\mathbf {v} \rangle }{\|\mathbf {v} \|^{2}}}\mathbf {v} \right\Vert ^{2}=\|\mathbf {a} \|^{2}-{\frac {\langle \mathbf {a} ,\mathbf {v} \rangle ^{2}}{\|\mathbf {v} \|^{2}}}.}$

Ορίζοντας ${\displaystyle \mathbf {w} =\mathbf {P} \cdot \mathbf {x} +{\frac {\langle \mathbf {a} ,\mathbf {v} \rangle }{\|\mathbf {v} \|^{2}}}\mathbf {v} }$, διαπιστώνουμε ότι ${\displaystyle \|\mathbf {x} -\mathbf {w} \|<\|\mathbf {x} -\mathbf {P} \cdot \mathbf {x} \|}$εκτός εάν ${\displaystyle \langle \mathbf {a} ,\mathbf {v} \rangle =0}$. Εφόσον για το ${\displaystyle \mathbf {P} \cdot \mathbf {x} }$ επιλέχθηκε ώστε να ισχύει το ελάχιστο του συνόλου, προκύπτει ότι όντως ${\displaystyle \langle \mathbf {a} ,\mathbf {v} \rangle =0}$. Συγκεκριμένα για ${\displaystyle \mathbf {y} =\mathbf {P} \cdot \mathbf {x} :\langle \mathbf {x} -\mathbf {P} \cdot \mathbf {x} ,\mathbf {P} \cdot \mathbf {x} \rangle =0}$.

Η γραμμικότητα προκύπτει από την σχέση ${\displaystyle \langle \mathbf {x} -\mathbf {P} \cdot \mathbf {x} ,\mathbf {v} \rangle =0,\forall \mathbf {v} \in U}$:

${\displaystyle \langle (\mathbf {x} +\mathbf {y} )-\mathbf {P} \cdot (\mathbf {x} +\mathbf {y} ),\mathbf {v} \rangle =0}$

${\displaystyle \langle (\mathbf {x} -\mathbf {P} \cdot \mathbf {x} )+(\mathbf {y} -\mathbf {P} \cdot \mathbf {y} ),\mathbf {v} \rangle =0}$.

Εφόσον πάρουμε τη διαφορά μεταξύ των δύο εξισώσεων, έχουμε:

${\displaystyle \langle \mathbf {P} \cdot \mathbf {x} +\mathbf {P} \cdot \mathbf {y} -\mathbf {P} \cdot (\mathbf {x} +\mathbf {y} ),\mathbf {v} \rangle =0}$.

Όμως, εφόσον μπορούμε να επιλέξουμε ${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {P} \cdot \mathbf {x} +\mathbf {P} \cdot \mathbf {y} -\mathbf {P} \cdot (\mathbf {x} +\mathbf {y} )}$ ( αφού ${\displaystyle \mathbf {v} \in U}$), προκύπτει ότι ${\displaystyle \mathbf {P} \cdot \mathbf {x} +\mathbf {P} \cdot \mathbf {y} =\mathbf {P} \cdot (\mathbf {x} +\mathbf {y} )}$. Παρόμοια προκύπτει ότι ${\displaystyle \lambda \mathbf {P} \cdot \mathbf {x} =\mathbf {P} \cdot (\lambda \mathbf {x} )}$ για κάθε λ μονόμετρο, δηλαδή πραγματικό ή μιγαδικό αριθμό.

 

Μια ορθή προβολή είναι ένας [./Https://en.wikipedia.org/wiki/Bounded%20operator περιορισμένος τελεστής], δηλαδή ένας μετασχηματισμός από [./Https://en.wikipedia.org/wiki/Bounded%20set%20(topological%20vector%20space) εσώκλειστο σύνολο] σε επίσης εσώκλειστο σύνολο. Αυτό συμβαίνει γιατί για κάθε ${\displaystyle \mathbf {v} }$ στον διανυσματικό χώρο έχουμε, από την ανισότητα Cauchy–Schwarz :$${\displaystyle \left\|\mathbf {P} \cdot \mathbf {v} \right\|^{2}=\langle \mathbf {P} \cdot \mathbf {v} ,\mathbf {P} \cdot \mathbf {v} \rangle =\langle \mathbf {P} \cdot \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle \leq \left\|\mathbf {P} \cdot \mathbf {v} \right\|\cdot \left\|\mathbf {v} \right\|}$$Επομένως, ${\displaystyle \left\|P\mathbf {v} \right\|\leq \left\|\mathbf {v} \right\|}$ .

Για μιγαδικούς ή πραγματικούς διανυσματικούς χώρους πεπερασμένων διαστάσεων, το τυπικό εσωτερικό γινόμενο μπορεί να αντικατασταθεί με το σύμβολο ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$.

Μια απλή περίπτωση εφαρμογής της ορθής προβολής είναι πάνω σε μια γραμμή. Αν ${\displaystyle \mathbf {u} }$ είναι ένα μοναδιαίο διάνυσμα στη γραμμή, τότε η προβολή δίνεται από το [./Https://en.wikipedia.org/wiki/Outer%20product εξωτερικό γινόμενο] ${\displaystyle \mathbf {P} _{\mathbf {u} }=\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} ^{T}}$.

(Αν ${\displaystyle \mathbf {u} }$ είναι μιγαδικό διάνυσμα, τότε ${\displaystyle \mathbf {P} _{\mathbf {u} }=\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} ^{*T}}$). Αυτός ο τελεστής αφήνει το ${\displaystyle \mathbf {u} }$ αμετάβλητο και εξαφανίζει όλα τα διανύσματα που είναι ορθογώνια προς ${\displaystyle \mathbf {u} }$, αποδεικνύοντας ότι είναι πράγματι η ορθή προβολή στη γραμμή που ορίζει το ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ^[1]. Ένας απλός τρόπος για να ελεγχθεί αυτό είναι να αναλυθεί ένα τυχαίο διάνυσμα ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ως το άθροισμα του προβαλλόμενου διανύσματος και μιας άλλης κάθετης σε αυτήν, ${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {x} _{\parallel }+\mathbf {x} _{\perp }}$. Εφαρμόζοντας την προβολή και τις ιδιότητες του εσωτερικού γινομένου παράλληλων και κάθετων διανυσμάτων, παίρνουμε $${\displaystyle P_{\mathbf {u} }\cdot \mathbf {x} =\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} ^{T}\cdot \mathbf {x} _{\parallel }+\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} ^{T}\cdot \mathbf {x} _{\perp }=\mathbf {u} \cdot \left(\operatorname {sgn} \left(\mathbf {u} ^{T}\cdot \mathbf {x} _{\parallel }\right)\cdot \left\|\mathbf {x} _{\parallel }\right\|\right)+\mathbf {u} \cdot \mathbf {0} =\mathbf {x} _{\parallel }.}$$

Αυτός ο τύπος μπορεί να γενικευτεί σε ορθές προβολές σε έναν υποχώρο αυθαίρετης [./Https://en.wikipedia.org/wiki/Dimension%20(vector%20space) διάστασης]. Έστω ${\displaystyle \mathbf {u} _{1},\ldots ,\mathbf {u} _{K}}$ μια [./Https://en.wikipedia.org/wiki/Orthonormal%20basis ορθοκανονική βάση] του υποχώρου ${\displaystyle U}$, με ${\displaystyle K\geq 1,K\in \mathbb {N} }$, και έστω ${\displaystyle \mathbf {A} \in \mathbb {R} ^{N\times K}}$ πίνακας του οποίου οι στήλες είναι ${\displaystyle \mathbf {u} _{1},\ldots ,\mathbf {u} _{K}}$ δηλ. ${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}\mathbf {u} _{1}&\ldots &\mathbf {u} _{K}\end{bmatrix}}}$ . Τότε η προβολή δίνεται από ^[1]: $${\displaystyle \mathbf {P} _{\mathbf {A} }=\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} ^{T}={\begin{bmatrix}\mathbf {u} _{1}&\ldots &\mathbf {u} _{K}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}\mathbf {u} _{1}^{T}\\\vdots \\\mathbf {u} _{K}^{T}\end{bmatrix}}=\sum _{k=1}^{K}\mathbf {u} _{k}\cdot \mathbf {u} _{k}^{T}}$$

Ο πίνακας ${\displaystyle \mathbf {A} ^{T}}$ αποτελεί την [./Https://en.wikipedia.org/wiki/Partial%20isometry μερική ισομετρία] που μηδενίζεται στο [./Https://en.wikipedia.org/wiki/Orthogonal%20complement ορθογώνιο συμπλήρωμα] του ${\displaystyle U}$ και ο ${\displaystyle \mathbf {A} }$ αποτελεί την ισομετρία που ενσωματώνει ${\displaystyle U}$ στον υποκείμενο διανυσματικό χώρο. Το εύρος των ${\displaystyle P_{A}}$ είναι επομένως ο τελικός χώρος του ${\displaystyle A}$ . Είναι επίσης σαφές ότι ${\displaystyle AA^{\mathsf {T}}}$ είναι ενεργοποιημένος ο τελεστής ταυτότητας ${\displaystyle U}$ .

Η συνθήκη ορθοκανονικότητας μπορεί επίσης να απορριφθεί. Εάν ${\displaystyle \mathbf {u} _{1},\ldots ,\mathbf {u} _{K}}$ είναι μια (όχι απαραίτητα ορθοκανονική) [./Https://en.wikipedia.org/wiki/Basis%20(linear%20algebra) βάση] με ${\displaystyle K\geq 1}$, και ${\displaystyle \mathbf {A} }$ είναι ο πίνακας με τα τα παραπάνω διανύσματα ως στήλες, τότε η προβολή είναι ^{[3] [1]}: $${\displaystyle \mathbf {P} _{\mathbf {A} }=\mathbf {A} \cdot \left(\mathbf {A} ^{T}\cdot \mathbf {A} \right)^{-1}\mathbf {A} ^{T}.}$$Ο πίνακας ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ακόμα ενσωματώνει τον ${\displaystyle U}$ στον υποκείμενο διανυσματικό χώρο αλλά δεν είναι πλέον ισομετρία γενικά. Ο πίνακας ${\displaystyle \left(\mathbf {A} ^{T}\mathbf {A} \right)^{-1}}$ είναι ένας «κανονικοποιητικός παράγοντας» που αποκαθιστά το σωστό μέγεθος των διανυσμάτων στα οποία εφαρμόζεται η ορθή προβολή. Για παράδειγμα, ο τελεστής πρώτου βαθμού ${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {u} ^{T}}$ δεν είναι προβολή αν ${\displaystyle \left\|\mathbf {u} \right\|\neq 1.}$ Μετά τη διαίρεση με ${\displaystyle \mathbf {u} ^{T}\cdot \mathbf {u} =\left\|\mathbf {u} \right\|^{2},}$ παίρνουμε την προβολή ${\displaystyle \mathbf {u} \left(\mathbf {u} ^{T}\mathbf {u} \right)^{-1}\mathbf {u} ^{T}}$ στον υποχώρο που ορίζεται από το διάνυσμα ${\displaystyle \mathbf {u} }$.

Όταν ο χώρος στηλών του πίνακα προβολής δημιουργείται από ένα [./Https://en.wikipedia.org/wiki/Frame%20(linear%20algebra) πλαίσιο] (δηλ. ο αριθμός των γεννητριών είναι μεγαλύτερος από τη διάστασή του), ο πίνακας προβολής παίρνει τη μορφή: ${\displaystyle \mathbf {P} _{\mathbf {A} }=\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} ^{+}}$ . Εδώ ${\displaystyle \mathbf {A} ^{+}=\left(\mathbf {A} ^{T}\cdot \mathbf {A} \right)\cdot \mathbf {A} ^{T}}$ είναι ο [./Https://en.wikipedia.org/wiki/Moore-Penrose%20inverse ψευδοανάστροφος πίνακας Moore–Penrose]. Αυτός είναι μόνο ένας από τους πολλούς τρόπους κατασκευής του πίνακα προβολής.

Αν ${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {A} &\mathbf {B} \end{bmatrix}}}$ είναι ένας αναστρέψιμος πίνακας και ${\displaystyle \mathbf {A} ^{T}\cdot \mathbf {B} =\mathbf {0} }$ (δηλαδή, ο ${\displaystyle \mathbf {B} }$ είναι ο πυρήνας του ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ), ^[4] ισχύει το εξής:$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {I} &={\begin{bmatrix}\mathbf {A} &\mathbf {B} \end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}\mathbf {A} &\mathbf {B} \end{bmatrix}}^{-1}\cdot {\begin{bmatrix}\mathbf {A} ^{T}\\\mathbf {B} ^{T}\end{bmatrix}}^{-1}\cdot {\begin{bmatrix}\mathbf {A} ^{T}\\\mathbf {B} ^{T}\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}\mathbf {A} &\mathbf {B} \end{bmatrix}}\cdot \left({\begin{bmatrix}\mathbf {A} ^{T}\\\mathbf {B} ^{T}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {A} &\mathbf {B} \end{bmatrix}}\right)^{-1}\cdot {\begin{bmatrix}\mathbf {A} ^{T}\\\mathbf {B} ^{T}\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}\mathbf {A} &\mathbf {B} \end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}\mathbf {A} ^{T}\mathbf {A} &\mathbf {0} \\\mathbf {0} &\mathbf {B} ^{T}\mathbf {B} \end{bmatrix}}^{-1}\cdot {\begin{bmatrix}\mathbf {A} ^{T}\\\mathbf {B} ^{T}\end{bmatrix}}\\&=\mathbf {A} \left(\mathbf {A} ^{T}\mathbf {A} \right)^{-1}\cdot \mathbf {A} ^{T}+\mathbf {B} \left(\mathbf {B} ^{T}\mathbf {B} \right)^{-1}\mathbf {B} ^{T}\end{aligned}}}$$Εάν η ορθογώνια συνθήκη ενισχυθεί σε ${\displaystyle \mathbf {A} ^{T}\cdot \mathbf {W} \cdot \mathbf {B} =\mathbf {A} ^{T}\mathbf {W} ^{T}\mathbf {B} =\mathbf {0} }$ όπου ${\displaystyle \mathbf {W} }$ αναστρέψιμος, ισχύει το εξής:$${\displaystyle \mathbf {I} ={\begin{bmatrix}\mathbf {A} &\mathbf {B} \end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}\left(\mathbf {A} ^{T}\mathbf {W} \mathbf {A} \right)^{-1}\cdot \mathbf {A} ^{T}\\\left(\mathbf {B} ^{T}\mathbf {W} \mathbf {B} \right)^{-1}\cdot \mathbf {B} ^{T}\end{bmatrix}}\cdot \mathbf {W} .}$$Όλοι αυτοί οι τύποι ισχύουν επίσης για μιγαδικούς χώρους εσωτερικού γινομένου, υπό την προϋπόθεση ότι χρησιμοποιείται η αναστοφος συζυγής του πίνακα ${\displaystyle \mathbf {A} ^{*T}}$, αντί του ανάστροφου ${\displaystyle \mathbf {A} ^{T}}$. Περισσότερες λεπτομέρειες σχετικά με τα αθροίσματα των πινάκων προβολής στο βιβλίο των Banerjee and Roy (2014) ^[3], όπως και το βιβλίο του Banerjee (2004) ^[5] για την εφαρμογή των αθροισμάτων των πινάκων προβολής στη βασική [./Https://en.wikipedia.org/wiki/Spherical%20trigonometry σφαιρική τριγωνομετρία].

Ο όρος πλάγιες προβολές χρησιμοποιείται μερικές φορές για να αναφερθεί σε μη ορθές προβολές. Αυτές οι προβολές χρησιμοποιούνται επίσης για την αναπαράσταση χωρικών σχημάτων σε δισδιάστατα σχέδια (βλ. [./Https://en.wikipedia.org/wiki/Oblique%20projection πλάγια προβολή]), αν και όχι τόσο συχνά όσο οι ορθές προβολές. Ενώ ο υπολογισμός της βέλτιστης τιμής για μια στατιστική παλινδρόμηση με τη μέθοδο των [./Https://en.wikipedia.org/wiki/Ordinary%20least%20squares απλών ελαχίστων τετραγώνων] απαιτεί μια ορθή προβολή, ο υπολογισμός της βέλτιστης τιμής μιας αντίστοιχης στατιστικής παλινδρόμησης με τη μέθοδο των [./Https://en.wikipedia.org/wiki/Instrumental%20variables%20estimation θεμελιωδών μεταβλητών] απαιτεί μια πλάγια προβολή.

Οι προβολές ορίζονται από τον πυρήνα του πίνακα προβολής και τα διανύσματα που συνιστούν την βάση που ορίζει τον χώρο στηλών του πίνακα προβολής (το οποίο είναι το συμπλήρωμα του πυρήνα ή κενού χώρου). Όταν αυτά τα διανύσματα βάσης είναι ορθογώνια προς τον μηδενικό χώρο, τότε η προβολή είναι μια ορθή προβολή. Όταν αυτά τα διανύσματα βάσης δεν είναι ορθογώνια στον μηδενικό χώρο, η προβολή είναι μια πλάγια προβολή ή απλώς μια γενική προβολή.

Έστω ${\displaystyle \mathbf {P} }$ ένας πίνακας προβολής ${\displaystyle \mathbf {P} :V\to V}$ τέτοια που ${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}=\mathbf {P} }$ και ότι ${\displaystyle \mathbf {P} :V\to V}$ μη μηδενικός τελεστής. Έστω τα διανύσματα ${\displaystyle \mathbf {u} _{1},\ldots ,\mathbf {u} _{K}}$ αποτελούν τη βάση για τον χώρο στηλών του πίνακα προβολής και ορίζουν τον πίνακα ${\displaystyle \mathbf {A} }$ διαστάσεων ${\displaystyle N\times K}$. Επομένως ο ακέραιος ${\displaystyle K\geq 1}$, σε διαφορετική περίπτωση ${\displaystyle K=0}$ και ${\displaystyle \mathbf {P} }$ είναι ο μηδενικός τελεστής. Ο χώρος στηλών και ο πυρήνας ή κενός χώρος είναι συμπληρωματικοί χώροι, επομένως ο κενός χώρος έχει διάσταση N-K. Από αυτό προκύπτει ότι το [./Https://en.wikipedia.org/wiki/Orthogonal%20complement ορθογώνιο συμπλήρωμα] του κενού χώρου έχει διάσταση K. Έστω ότι ${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{K}}$ να σχηματίζουν μια βάση για το ορθογώνιο συμπλήρωμα του μηδενικού χώρου της προβολής και να ορίζουν τον πίνακα ${\displaystyle \mathbf {B} }$. Επομένως, ο πίνακας προβολής ${\displaystyle \mathbf {P} }$ (${\displaystyle K\geq 1}$ ) δίνεται από$${\displaystyle \mathbf {P} =\mathbf {A} \cdot \left(\mathbf {B} ^{T}\cdot \mathbf {A} \right)^{-1}\mathbf {B} ^{T}.}$$

Αυτή η έκφραση γενικεύει τον τύπο για τις ορθογώνιες προβολές που δόθηκε παραπάνω ^{[3] [1]}. Μια τυπική απόδειξη αυτής της έκφρασης έχει ως ακολούθως. Οποιοδήποτε διάνυσμα ${\displaystyle \mathbf {x} }$ στον διανυσματικό χώρο ${\displaystyle V}$, μπορεί να εκφραστεί σαν ${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {x} _{1}+\mathbf {x} _{2}}$, όπου ${\displaystyle \mathbf {x} _{1}=P(\mathbf {x} )}$ η προβολή του ${\displaystyle \mathbf {x} _{1}}$και ${\displaystyle \mathbf {x} _{2}=\mathbf {x} -P(\mathbf {x} )}$. Έτσι ${\displaystyle P(\mathbf {x} _{2})=P(\mathbf {x} )-P^{2}(\mathbf {x} )=\mathbf {0} }$, και επομένως το ${\displaystyle \mathbf {x} _{2}}$ βρίσκεται στον κενό χώρο (πυρήνα) του ${\displaystyle \mathbf {P} }$. Με άλλα λόγια, το διάνυσμα ${\displaystyle \mathbf {x} _{1}}$ βρίσκεται στο χώρο στηλών του ${\displaystyle \mathbf {A} }$, επομένως ${\displaystyle \mathbf {x} _{1}=\mathbf {A} \cdot \mathbf {w} }$ για τυχαίο διάνυσμα ${\displaystyle \mathbf {w} }$ διάστασης K, ενώ το διάνυσμα ${\displaystyle \mathbf {x} _{2}}$ ικανοποιεί την σχέση ${\displaystyle \mathbf {B} ^{T}\cdot \mathbf {x} _{2}=\mathbf {0} }$, που προκύπτει από τον ορισμό του ${\displaystyle \mathbf {B} }$. Βάζοντας αυτές τις συνθήκες μαζί, για το διάνυσμα ${\displaystyle \mathbf {w} }$ προκύπτει ότι ${\displaystyle \mathbf {B} ^{T}\cdot (\mathbf {x} -\mathbf {A} \cdot \mathbf {w} )=\mathbf {0} }$. Εφόσον και οι δύο πίνακες ${\displaystyle \mathbf {A} }$ και ${\displaystyle \mathbf {B} }$ είναι πλήρους βαθμού K εξ' ορισμού, ο πίνακας ${\displaystyle \mathbf {B} ^{T}\cdot \mathbf {A} }$ διαστάσεων ${\displaystyle K\times K}$ είναι αναστρέψιμος. Άρα από την εξίσωση ${\displaystyle \mathbf {B} ^{T}\cdot (\mathbf {x} -\mathbf {A} \cdot \mathbf {w} )=\mathbf {0} }$, προκύπτει σαν λύση ότι ${\displaystyle \mathbf {w} =\left(\mathbf {B} ^{T}\cdot \mathbf {A} \right)^{-1}\cdot \mathbf {B} ^{T}\cdot \mathbf {x} }$. Επομένως, ${\displaystyle \mathbf {P} \cdot \mathbf {x} =\mathbf {x} _{1}=\mathbf {A} \cdot \mathbf {w} =\mathbf {A} \cdot \left(\mathbf {B} ^{T}\cdot \mathbf {A} \right)^{-1}\cdot \mathbf {B} ^{T}\cdot \mathbf {x} }$ για οποιοδήποτε διάνυσμα ${\displaystyle \mathbf {x} \in V}$ και ως εκ τούτου ${\displaystyle \mathbf {P} =\mathbf {A} \cdot \left(\mathbf {B} ^{T}\cdot \mathbf {A} \right)^{-1}\cdot \mathbf {B} ^{T}}$.

Στην περίπτωση που ο ${\displaystyle \mathbf {P} }$ είναι πίνακας ορθής προβολής, μπορούμε να ορίσουμε ${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {B} }$, και επομένως ${\displaystyle \mathbf {P} =\mathbf {A} \cdot \left(\mathbf {A} ^{T}\cdot \mathbf {A} \right)^{-1}\cdot \mathbf {A} ^{T}}$. Χρησιμοποιώντας αυτόν τον τύπο, μπορεί κάποιος εύκολα να ελέγξει ότι ${\displaystyle \mathbf {P} =\mathbf {P} ^{T}}$. Γενικά, εάν ο διανυσματικός χώρος ανήκει στο πεδίο των μιγαδικών αριθμών, τότε χρησιμοποιούμε τον ανάστροφο συζυγή, οπότε ο πίνακας προβολής ακολουθεί τον τύπο ${\displaystyle \mathbf {P} =\mathbf {A} \cdot \left(\mathbf {A} ^{*T}\cdot \mathbf {A} \right)^{-1}\cdot \mathbf {A} ^{*T}}$. Υπενθυμίζεται ότι με την χρήση του [./Https://en.wikipedia.org/wiki/Moore-Penrose%20inverse ψευδοανάστροφου πίνακα Moore–Penrose], μπορεί να οριστεί ο ${\displaystyle \mathbf {A} ^{+}=\left(\mathbf {A} ^{*T}\cdot \mathbf {A} \right)^{-1}\cdot \mathbf {A} ^{*T}}$. Αφού ο ${\displaystyle \mathbf {A} }$ είναι πλήρους βαθμού, προκύπτει ότι ${\displaystyle \mathbf {P} =\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} ^{+}}$.

Αξίζει να σημειωθεί ότι ${\displaystyle \mathbf {I} -\mathbf {P} }$ είναι επίσης προβολή. Οι μοναδικές τιμές του ${\displaystyle \mathbf {P} }$ και ${\displaystyle \mathbf {I} -\mathbf {P} }$ μπορεί να υπολογιστεί με χρήση της [./Https://en.wikipedia.org/wiki/Orthonormal%20basis ορθοκανονική βάση] του ${\displaystyle \mathbf {A} }$. Έστω ${\displaystyle \mathbf {Q} _{\mathbf {A} }}$ μία μια ορθοκανονική βάση του ${\displaystyle \mathbf {A} }$ και ${\displaystyle \mathbf {Q} _{\mathbf {A} }^{\perp }}$ το [./Https://en.wikipedia.org/wiki/Orthogonal%20complement ορθογώνιο συμπλήρωμα] του ${\displaystyle \mathbf {Q} _{\mathbf {A} }}$. Οι ιδιάζουσες τιμές του πίνακα ${\displaystyle \mathbf {Q} _{\mathbf {A} }^{T}\cdot \mathbf {A} \cdot \left(\mathbf {B} ^{T}\cdot \mathbf {A} \right)^{-1}\cdot \mathbf {B} ^{T}\cdot \mathbf {Q} _{\mathbf {A} }^{\perp }}$ παρίστανται από τις θετικές τιμές ${\displaystyle \gamma _{1}\geq \gamma _{2}\geq \ldots \geq \gamma _{k}}$. Επομένως, οι ιδιάζουσες τιμές του ${\displaystyle \mathbf {P} }$ είναι ^[6]:$${\displaystyle \sigma _{i}={\begin{cases}{\sqrt {1+\gamma _{i}^{2}}}&1\leq i\leq K\\0&{\text{αλλιώς}}\end{cases}}}$$και οι ιδιάζουσες τιμές του ${\displaystyle \mathbf {I} -\mathbf {P} }$ είναι$${\displaystyle \sigma _{i}={\begin{cases}{\sqrt {1+\gamma _{i}^{2}}}&1\leq i\leq K\\1&K+1\leq i\leq N-K\\0&{\text{αλλιώς}}\end{cases}}}$$Αυτό σημαίνει ότι οι μεγαλύτερες ιδιάζουσες τιμές του ${\displaystyle \mathbf {P} }$ και ${\displaystyle \mathbf {I} -\mathbf {P} }$ είναι ίσες, και έτσι η [./Https://en.wikipedia.org/wiki/Matrix%20norm ενέργεια (matrix norm) του πίνακα] των λοξών προβολών είναι η ίδια. Ωστόσο, η [./Https://en.wikipedia.org/wiki/Condition%20number ευαισθησία] ικανοποιεί τη σχέση ${\displaystyle \kappa (\mathbf {I} -\mathbf {P} )={\frac {\sigma _{1}}{1}}\geq {\frac {\sigma _{1}}{\sigma _{k}}}=\kappa (\mathbf {P} )}$, και επομένως δεν είναι απαραίτητα ίση.

Έστω ${\displaystyle V}$ ένας διανυσματικός χώρος (στην παρούσα περίπτωση ένα επίπεδο), ο οποίος ορίζεται από τα ορθογώνια διανύσματα ${\displaystyle \mathbf {u} _{1},\mathbf {u} _{2},\ldots ,\mathbf {u} _{p}}$. Έστω ${\displaystyle \mathbf {y} }$ ένα τυχαίο διάνυσμα. Μπορεί να οριστεί μια προβολή του ${\displaystyle \mathbf {y} }$ επάνω στον ${\displaystyle V}$ ως $${\displaystyle \operatorname {proj} _{V}\mathbf {y} =\sum _{i=1}^{p}{\frac {\mathbf {y} \cdot \mathbf {u} ^{i}}{\mathbf {u} ^{i}\cdot \mathbf {u} ^{i}}}\mathbf {u} ^{i},}$$όπου οι επαναλαμβανόμενοι δείκτες αθροίζονται ([./Https://en.wikipedia.org/wiki/Einstein%20notation σημειογραφία αθροίσματος Αϊνστάιν]). Το διάνυσμα ${\displaystyle \mathbf {y} }$ μπορεί να γραφτεί ως ορθογώνιο άθροισμα έτσι ώστε ${\displaystyle \mathbf {y} =\operatorname {proj} _{V}\mathbf {y} +\mathbf {z} }$ . ${\displaystyle \operatorname {proj} _{V}\mathbf {y} }$ μερικές φορές δηλώνεται ως ${\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}}$ . Υπάρχει ένα θεώρημα στη γραμμική άλγεβρα που δηλώνει ότι αυτό ${\displaystyle \mathbf {z} }$ είναι η μικρότερη απόσταση (η [./Https://en.wikipedia.org/wiki/Perpendicular%20distance κάθετη απόσταση]) από ${\displaystyle \mathbf {y} }$ προς τον ${\displaystyle V}$ και χρησιμοποιείται συνήθως σε τομείς όπως η μηχανική μάθηση.

Οποιαδήποτε προβολή ${\displaystyle \mathbf {P} =\mathbf {P} ^{2}}$ σε ένα διανυσματικό χώρο διάστασης ${\displaystyle D}$ πάνω από ένα σώμα ή πεδίο είναι ένας [./Https://en.wikipedia.org/wiki/Diagonalizable%20matrix πίνακας που μπορεί να μετασχηματιστεί σε διαγώνιο], αφού το [./Https://en.wikipedia.org/wiki/Minimal%20polynomial%20(linear%20algebra) ελάχιστο πολυώνυμο των ιδιοτιμών] του διαιρεί το ${\displaystyle x^{2}-x}$, και το οποίο χωρίζεται σε διακριτούς γραμμικούς παράγοντες. Υπάρχει μια βάση στην οποία ο ${\displaystyle \mathbf {P} }$ έχει τη μορφή

${\displaystyle \mathbf {P} =\mathbf {I} _{R}\oplus \mathbf {0} _{D-R}}$

όπου ${\displaystyle R}$ είναι ο [./Https://en.wikipedia.org/wiki/Rank%20(linear%20algebra) βαθμός] του ${\displaystyle \mathbf {P} }$. Εδώ ${\displaystyle \mathbf {I} _{R}}$ είναι ο μοναδιαίος πίνακας διάστασης ${\displaystyle R}$, και ${\displaystyle \mathbf {0} _{D-R}}$ είναι ο μηδενικός πίνακας μεγέθους ${\displaystyle D-R}$. Εάν ο διανυσματικός χώρος είναι σύνθετος και με εσωτερικό γινόμενο, τότε υπάρχει μια ορθοκανονική βάση στην οποία ο πίνακας P είναι ^[7]

${\displaystyle \mathbf {P} ={\begin{bmatrix}1&\sigma _{1}\\0&0\end{bmatrix}}\oplus \cdots \oplus {\begin{bmatrix}1&\sigma _{k}\\0&0\end{bmatrix}}\oplus \mathbf {I} _{m}\oplus \mathbf {0} _{s}.}$

που ${\displaystyle \sigma _{1}\geq \sigma _{2}\geq \dots \geq \sigma _{k}>0}$. Οι ακέραιοι ${\displaystyle k,s,m}$ και οι πραγματικοί αριθμοί ${\displaystyle \sigma _{i}}$ καθορίζονται μοναδικά. Ας σημειωθεί ότι ${\displaystyle 2k+s+m=d}$. Ο παράγοντας ${\displaystyle \mathbf {I} _{m}\oplus \mathbf {0} _{s}}$ αντιστοιχεί στον μέγιστο αμετάβλητο υποχώρο στον οποίο ${\displaystyle \mathbf {P} }$ λειτουργεί ως ορθογώνια προβολή (έτσι ώστε ο ίδιος ο P να είναι ορθογώνιος αν και μόνο αν ${\displaystyle k=0}$) και τα ${\displaystyle \sigma _{i}}$ αντιστοιχούν στα στοιχεία που μορφοποιούν την πλάγια προβολή.

Όταν ο υποκείμενος διανυσματικός χώρος ${\displaystyle X}$ είναι ένας (όχι απαραιτήτως πεπερασμένος) [./Https://en.wikipedia.org/wiki/Normed%20vector%20space κανονικοποιημένος διανυσματικός χώρος], η ισχύς των αναλυτικών ιδιοτήτων, οι οποίες είναι άσχετες στην περίπτωση των πεπερασμένων διαστάσεων, πρέπει να εξεταστεί. Υποθέτουμε ότι ${\displaystyle X}$ είναι χώρος Μπάναχ.

Πολλά από τα αλγεβρικά αποτελέσματα που συζητήθηκαν παραπάνω παραμένουν σε ισχύ. Μια δεδομένη άμεση ανάλυση αθροίσματος του ${\displaystyle X}$ σε συμπληρωματικούς υποχώρους εξακολουθεί να καθορίζει μια προβολή, όπως και το αντίστροφο. Αν το ${\displaystyle X}$ είναι το [./Https://en.wikipedia.org/wiki/Direct%20sum άμεσο άθροισμα] ${\displaystyle X=U\oplus V}$, τότε ο τελεστής που ορίζεται από την προβολή ${\displaystyle P(u+v)=u}$, εξακολουθεί να είναι μια προβολή με χώρο ${\displaystyle U}$ και πυρήνα ${\displaystyle V}$. Είναι επίσης σαφές ότι ${\displaystyle P^{2}=P}$. Αντίθετα, εάν η ${\displaystyle P}$ είναι προβολή στο ${\displaystyle X}$, δηλ. ${\displaystyle P^{2}=P}$, τότε επαληθεύεται εύκολα ότι ${\displaystyle (1-P)^{2}=(1-P)}$. Με άλλα λόγια, ${\displaystyle 1-P}$ είναι επίσης μια προβολή. Η σχέση ${\displaystyle P^{2}=P}$ υποδηλώνει ${\displaystyle 1=P+(1-P)}$ και ${\displaystyle X}$ είναι το άμεσο άθροισμα ${\displaystyle \operatorname {rg} (P)\oplus \operatorname {rg} (1-P)}$.

Ωστόσο, σε αντίθεση με την περίπτωση των πεπερασμένων διαστάσεων, οι προβολές στην γενική περίπτωση, δεν χρειάζεται να είναι [./Https://en.wikipedia.org/wiki/Bounded%20operator συνεχείς]. Αν ένας υποχώρος ${\displaystyle U}$ του ${\displaystyle X}$ δεν είναι κλειστός στην κανονική τοπολογία, τότε η προβολή στον ${\displaystyle U}$ δεν είναι συνεχής. Με άλλα λόγια, το εύρος μιας συνεχούς προβολής ${\displaystyle P}$ πρέπει να είναι ένας κλειστός υποχώρος. Επιπλέον, ο πυρήνας μιας συνεχούς προβολής (στην πραγματικότητα, ενός συνεχούς γραμμικού τελεστή γενικά) είναι κλειστός. Έτσι, μια συνεχής προβολή ${\displaystyle P}$ αναλύει τον ${\displaystyle X}$ σε δύο συμπληρωματικούς κλειστούς υποχώρους: ${\displaystyle X=\operatorname {rg} (P)\oplus \ker(P)=\ker(1-P)\oplus \ker(P)}$ .

Το αντίστροφο ισχύει επίσης, αλλά με μια πρόσθετη παραδοχή. Έστω ${\displaystyle U}$ είναι ένας κλειστός υποχώρος του ${\displaystyle X}$. Αν υπάρχει κλειστός υποχώρος ${\displaystyle V}$ έτσι ώστε X = U ⊕ V, τότε η προβολή ${\displaystyle P}$ με υποχώρο ${\displaystyle U}$ και πυρήνα ${\displaystyle V}$ είναι συνεχής. Αυτό προκύπτει από το [./Https://en.wikipedia.org/wiki/Closed%20graph%20theorem θεώρημα κλειστού γραφήματος]. Έστω x_n → x και Px_n → y. Πρέπει να αποδειχθεί ότι ${\displaystyle Px=y}$ . Αφού ο ${\displaystyle U}$ είναι κλειστός και {Px_n} ⊂ U, το y βρίσκεται μέσα στον ${\displaystyle U}$, δηλ. Py = y. Επίσης, x_n − Px_n = (I − P)x_n → x − y. Επειδή ο ${\displaystyle V}$ είναι κλειστός και {(I − P)x_n} ⊂ V, έχουμε ${\displaystyle x-y\in V}$, δηλ. ${\displaystyle P(x-y)=Px-Py=Px-y=0}$, που αποδεικνύει τον ισχυρισμό.

Το παραπάνω επιχείρημα κάνει χρήση της υπόθεσης ότι και τα δύο ${\displaystyle U}$ και ${\displaystyle V}$ είναι κλειστά. Σε γενικές γραμμές, δεδομένου ενός κλειστού υποχώρου ${\displaystyle U}$, δεν χρειάζεται να υπάρχει συμπληρωματικός κλειστός υποχώρος ${\displaystyle V}$, αν και για τους χώρους Hilbert αυτό μπορεί πάντα να γίνει λαμβάνοντας το [./Https://en.wikipedia.org/wiki/Orthogonal%20complement ορθογώνιο συμπλήρωμα]. Για τους χώρους Μπάναχ, ένας μονοδιάστατος υποχώρος έχει πάντα έναν κλειστό συμπληρωματικό υποχώρο. Αυτό είναι μια άμεση συνέπεια του [./Https://en.wikipedia.org/wiki/Hahn-Banach%20theorem θεωρήματος Hahn-Banach]. Έστω ${\displaystyle U}$ να ορίζεται από το ${\displaystyle u}$. Από τους Hahn-Banach, υπάρχει μια οριοθετημένη [./Https://en.wikipedia.org/wiki/Linear%20form γραμμική συνάρτηση] ${\displaystyle \varphi }$ τέτοια ώστε φ(u) = 1. Ο ${\displaystyle P(x)=\varphi (x)u}$ ικανοποιεί την συνθήκη ${\displaystyle P^{2}=P}$, δηλαδή είναι προβολή. Ο μη απειρισμός του του ${\displaystyle \varphi }$ συνεπάγεται συνέχεια του ${\displaystyle P}$ και ως εκ τούτου ${\displaystyle \ker(P)=\operatorname {rg} (I-P)}$ είναι ένας κλειστός συμπληρωματικός υποχώρος του ${\displaystyle U}$.

Οι προβολές (ορθογώνιες και πλάγιες) παίζουν σημαντικό ρόλο στην υλοποίηση αλγορίθμων για ορισμένα προβλήματα γραμμικής άλγεβρας:

• Ανάλυση QR (βλ. [./Https://en.wikipedia.org/wiki/Householder%20transformation Μετασχηματισμός Householder] και [./Https://en.wikipedia.org/wiki/Gram-Schmidt%20process διαδικασία Gram–Schmidt]).
• Ανάλυση πίνακα σε ιδιάζουσες τιμές.
• Αναγωγή σε [./Https://en.wikipedia.org/wiki/Hessenberg%20matrix μορφή Hessenberg] (σχεδόν τριγωνικός πίνακας, το πρώτο βήμα σε πολλούς [./Https://en.wikipedia.org/wiki/Eigenvalue%20algorithm αλγόριθμους υπολογισμού ιδιοτιμών]).
• Γραμμική παλινδρόμηση.
• Τα προβολικά στοιχεία στις άλγεβρες πινάκων χρησιμοποιούνται στην κατασκευή ορισμένων ομάδων Κ στη [./Https://en.wikipedia.org/wiki/Operator%20K-theory θεωρία τελεστών Κ].

Όπως αναφέρθηκε παραπάνω, οι προβολές είναι μια ειδική περίπτωση ταυτοδυναμίας. Αναλυτικά, οι ορθογώνιες προβολές είναι μη αντιμεταθετικές γενικεύσεις [./Https://en.wikipedia.org/wiki/Characteristic%20polynomial χαρακτηριστικών συναρτήσεων]. Οι αδυναμίες χρησιμοποιούνται για την ταξινόμηση, για παράδειγμα, [./Https://en.wikipedia.org/wiki/Semisimple%20algebra ημιαπλών άλγεβρων], ενώ η θεωρία μετρικών ξεκινά με την εξέταση χαρακτηριστικών συναρτήσεων αριθμήσιμων συνόλων. Επομένως, όπως μπορεί κανείς να φανταστεί, οι προβολές συναντώνται πολύ συχνά στο πλαίσιο της [./Https://en.wikipedia.org/wiki/Operator%20algebra άλγεβρας τελεστών]. Συγκεκριμένα, μια άλγεβρα von Neumann δημιουργείται από το πλήρες [./Https://en.wikipedia.org/wiki/Lattice%20(order) πλέγμα] προβολών της.

Γενικότερα, δεδομένης μιας απεικόνισης μεταξύ κανονικών διανυσματικών χώρων ${\displaystyle T\colon V\to W,}$ μπορεί κανείς αναλόγως να ζητήσει αυτή η απεικόνιση να είναι μια ισομετρία στο ορθογώνιο συμπλήρωμα του πυρήνα: δηλαδή ${\displaystyle (\ker T)^{\perp }\to W}$ να είναι ισομετρία (σύγκριση με την [./Https://en.wikipedia.org/wiki/Partial%20isometry μερική ισομετρία]); συγκεκριμένα πρέπει να είναι επί. Η περίπτωση της ορθής προβολής είναι όταν το W είναι ένας υποχώρος του V. Στη [./Https://en.wikipedia.org/wiki/Riemannian%20geometry γεωμετρία του Riemann], αυτό χρησιμοποιείται στον ορισμό μιας [./Https://en.wikipedia.org/wiki/Riemannian%20submersion βύθισης του Riemann].

• [./Https://en.wikipedia.org/wiki/Centering%20matrix Πίνακας κεντρικής προβολής], που είναι ένα παράδειγμα πίνακα προβολής.
• Ο αλγόριθμος προβολής του Dykstra για τον υπολογισμό της προβολής σε μια τομή συνόλων.
• [./Https://en.wikipedia.org/wiki/Invariant%20subspace Αμετάβλητος υποχώρος].
• [./Https://en.wikipedia.org/wiki/Least-squares%20spectral%20analysis Φασματική ανάλυση ελάχιστων τετραγώνων].
• [./Https://en.wikipedia.org/wiki/Orthogonalization Ορθογωνοποίηση].
• Ιδιότητες ίχνους πίνακα.

• Banerjee, Sudipto; Roy, Anindya (2014), Linear Algebra and Matrix Analysis for Statistics, Texts in Statistical Science (1η έκδοση), Chapman and Hall/CRC, ISBN 978-1420095388 
• Dunford, N.· Schwartz, J. T. (1958). Linear Operators, Part I: General Theory. Interscience. 
• Meyer, Carl D. (2000). Matrix Analysis and Applied Linear Algebra. Society for Industrial and Applied Mathematics. ISBN 978-0-89871-454-8. 
• Strang, Gilbert (1988). Linear Algebra and its Applications (3η έκδοση). Orlando, Florida, U.S.A.: Harcourt Brace & Company. σελ. 132-183. ISBN 0-15-551005-3. 
• Olver, Peter J.· Shakiban, Chehrzad (2018). Applied Linear Algebra (2η έκδοση). U.S.A.: Springer. σελ. 129-234. ISBN 978-3-319-91041-3. 
• Lütkepohl, Helmut (1996). Handbook of Matrices. United Kingdom: John Wiley & Sons Ltd. σελ. 113-167. ISBN 978-0-47197-015-6. 

• MIT Linear Algebra Lecture on Projection Matrices στο YouTube, from MIT OpenCourseWare
• Linear Algebra 15d: The Projection Transformation στο YouTube, by Pavel Grinfeld.
• Planar Geometric Projections Tutorial Αρχειοθετήθηκε 2016-03-04 στο Wayback Machine. – a simple-to-follow tutorial explaining the different types of planar geometric projections.