Το εικοστό πρώτο πρόβλημα από τα 23 προβλήματα του Χίλμπερτ, από τον περίφημο κατάλογο που παρουσίασε το 1900 ο Ντέιβιντ Χίλμπερτ, αφορά την ύπαρξη μιας συγκεκριμένης κατηγορίας γραμμικών διαφορικών εξισώσεων με συγκεκριμένα ιδιάζοντα^[1] σημεία και μονοδρομική ομάδα.

Το αρχικό πρόβλημα του 1902 διατυπώθηκε ως εξής :

Απόδειξη της ύπαρξεως γραμμικών διαφορικών εξισώσεων που έχουν προδιαγεγραμμένη μονοδρομική ομάδα

Στη θεωρία των γραμμικών διαφορικών εξισώσεων[2] με μία ανεξάρτητη μεταβλητή z, επιθυμώ να επισημάνω ένα σημαντικό πρόβλημα το οποίο πολύ πιθανόν να είχε κατά νου ο ίδιος ο Ρίμαν. Το πρόβλημα αυτό έχει ως εξής: Να δείξουμε ότι υπάρχει πάντα μια γραμμική διαφορική εξίσωση της κατηγορίας Φούξιαν, με συγκεκριμένα ιδιάζοντα σημεία και μονοδρομική ομάδα. Το πρόβλημα απαιτεί την παραγωγή n συναρτήσεων της μεταβλητής z, κανονικών σε όλο το μιγαδικό z-επίπεδο εκτός από τα δοσμένα ιδιάζοντα σημεία- στα σημεία αυτά οι συναρτήσεις μπορούν να γίνουν άπειρες με πεπερασμένη μόνο τάξη, και όταν το z περιγράφει κύκλους γύρω από τα σημεία αυτά οι συναρτήσεις θα υποστούν τις προβλεπόμενες γραμμικές αντικαταστάσεις. Η ύπαρξη τέτοιων διαφορικών εξισώσεων έχει αποδειχθεί πιθανή με την καταμέτρηση των σταθερών, αλλά η αυστηρή απόδειξη έχει επιτευχθεί μέχρι σήμερα μόνο στην ειδική περίπτωση όπου οι θεμελιώδεις εξισώσεις των συγκεκριμένων αντικαταστάσεων έχουν όλες ρίζες απόλυτου μεγέθους μονάδας. Ο Λ. Σλέσινγκερ (1895) έδωσε αυτή την απόδειξη, βασιζόμενος στη θεωρία του Πουανκαρέ για τις φουξιανές ζ-συναρτήσεις. Η θεωρία των γραμμικών διαφορικών εξισώσεων θα είχε προφανώς μια πιο ολοκληρωμένη εμφάνιση αν το πρόβλημα που σκιαγραφήθηκε εδώ μπορούσε να διευθετηθεί με κάποια απόλυτα γενική μέθοδο.[3]

Στην πραγματικότητα είναι πιο σωστό να μιλάμε όχι για διαφορικές εξισώσεις αλλά για γραμμικά συστήματα διαφορικών εξισώσεων: για να υλοποιήσουμε οποιαδήποτε μονοδρομία μέσω μιας διαφορικής εξίσωσης πρέπει να δεχτούμε, γενικά, την παρουσία πρόσθετων φαινομενικών ιδιομορφιών, δηλαδή ιδιομορφιών με τετριμμένη τοπική μονοδρομία. Σε πιο σύγχρονη γλώσσα, τα εν λόγω (συστήματα) διαφορικών εξισώσεων είναι αυτά που ορίζονται στο μιγαδικό επίπεδο, μείον μερικά σημεία, και με μια κανονική ιδιομορφία σε αυτά. Μια πιο αυστηρή εκδοχή του προβλήματος απαιτεί αυτές οι ιδιομορφίες να είναι φουξιανές, δηλαδή πόλοι πρώτης τάξεως (λογαριθμικοί πόλοι), μεταξύ άλλων και στο άπειρο. Προβλέπεται μια ομάδα μονοδρομίας, μέσω μιας πεπερασμένης διάστασης μιγαδικής παράστασης της θεμελιώδους ομάδας του συμπληρώματος στη σφαίρα Ρίμαν αυτών των σημείων, συν το σημείο στο άπειρο, μέχρι ισοδυναμίας. Η θεμελιώδης ομάδα είναι στην πραγματικότητα μια ελεύθερη ομάδα, σε «κυκλώματα» που περνούν μία φορά γύρω από κάθε σημείο που λείπει, ξεκινώντας και καταλήγοντας σε ένα δεδομένο σημείο βάσης. Το ερώτημα είναι αν η απεικόνιση από αυτές τις φουξιανές εξισώσεις^[4] σε κλάσεις απεικονίσεων είναι επιρριπτική.

Το πρόβλημα αυτό ονομάζεται συνηθέστερα πρόβλημα Ρίμαν-Χίλμπερτ. Οδήγησε σε διάφορες διμερείς αντιστοιχίες γνωστές ως «αντιστοιχίες Ρίμαν-Χίλμπερτ», για επίπεδες αλγεβρικές συνδέσεις με κανονικές ιδιομορφίες και γενικότερα για κανονικές ολονομικές D-modules ή επίπεδες αλγεβρικές συνδέσεις με κανονικές ιδιομορφίες σε κύριες G-δέσμες, σε όλες τις διαστάσεις. Η ιστορία των αποδείξεων που αφορούν μια απλή μιγαδική μεταβλητή είναι περίπλοκη. Ο Γιόσιπ Πλέμελ δημοσίευσε μια λύση το 1908. Η εργασία αυτή έγινε για μεγάλο χρονικό διάστημα αποδεκτή ως οριστική λύση- υπήρξε επίσης εργασία του G. D. Mπίρκοφ το 1913. Ο Πλέμελζ (1964) έγραψε μια μονογραφία που συνοψίζει την εργασία του. Λίγα χρόνια αργότερα ο σοβιετικός μαθηματικός Γιούλι Σ. Ιλιασένκο και άλλοι άρχισαν να εγείρουν αμφιβολίες για την εργασία του Πλέμελτζ. Στην πραγματικότητα, ο Πλέμελτζ αποδεικνύει με ακρίβεια ότι οποιαδήποτε ομάδα μονοδρομιών μπορεί να υλοποιηθεί από ένα κανονικό γραμμικό σύστημα το οποίο είναι φουξιανό σε όλα τα σημεία εκτός από ένα από τα ιδιάζοντα σημεία. Ο ισχυρισμός του Πλέμελζ ότι το σύστημα μπορεί να γίνει Φουξιανό και στο τελευταίο σημείο είναι λανθασμένος, εκτός αν η μονοδρομία είναι διαγωνοποιήσιμη εκεί^[5].

Πράγματι, ο Αντρέι Α. Μπολιμπρούχ (1990) βρήκε ένα αντιπαράδειγμα στη δήλωση του Πλέμελζ. Αυτό θεωρείται συνήθως ως αντιπαράδειγμα στο ακριβές ερώτημα που είχε κατά νου ο Χίλμπερτ - ο Μπολιμπρούχ έδειξε ότι για μια δεδομένη διαμόρφωση πόλων ορισμένες ομάδες μονοδρομιών μπορούν να πραγματοποιηθούν από κανονικά, αλλά όχι από φουξιανά συστήματα. (Το 1990 δημοσίευσε την ενδελεχή μελέτη της περίπτωσης των κανονικών συστημάτων μεγέθους 3 παρουσιάζοντας όλες τις περιπτώσεις που υπάρχουν τέτοια αντιπαραδείγματα. Το 1978 ο Ντέκερς έδειξε ότι για συστήματα μεγέθους 2 ο ισχυρισμός του Πλέμελζ είναι αληθής. Ο Αντρέι Α. Μπολιμπρούχ (1992) και ανεξάρτητα ο Βλαντιμίρ Κόστοφ (1992) έδειξαν ότι για οποιοδήποτε μέγεθος, μια μη αναγώγιμη μονοδρομική ομάδα μπορεί να υλοποιηθεί από ένα σύστημα Φουξ. Η συνδιάσταση της ποικιλίας των μονοδρομικών ομάδων κανονικών συστημάτων μεγέθους ${\displaystyle n}$ με ${\displaystyle p+1}$ πόλους που δεν μπορούν να πραγματοποιηθούν από συστήματα Φούξιαν είναι ίση με ${\displaystyle 2(n-1)p}$ (Vladimir Kostov (1992)). Παράλληλα, η σχολή της αλγεβρικής γεωμετρίας Γκρόθεντιεκ είχε αρχίσει να ενδιαφέρεται για ζητήματα «ολοκληρώσιμων συνδέσεων σε αλγεβρικές ποικιλίες», γενικεύοντας τη θεωρία των γραμμικών διαφορικών εξισώσεων σε επιφάνειες Ρίμαν. Ο Πιερ Ντελίν απέδειξε μια ακριβή αντιστοιχία Ρίμαν-Χίλμπερτ σε αυτό το γενικό πλαίσιο (ένα σημαντικό σημείο ήταν να πούμε τι σημαίνει « φουξιανή»). Με την εργασία του Χέλμουτ Ρέχρλ, καλύφθηκε και πάλι η περίπτωση σε μία μιγαδική διάσταση.

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Proof of Dehn's Theorem at Everything2
• Weisstein, Eric W., "Dehn Invariant" από το MathWorld.
• Dehn Invariant at Everything2
• Ντέιβιντ Χίλμπερτ, Μαθηματικά προβλήματα, 6ο πρόβλημα, σε αγγλική μετάφραση.

• Ελλειπτική συνάρτηση
• Διαφορική εξίσωση
• Εφαρμοσμένα μαθηματικά
• Τετραγωνικό σώμα
• Ελλειπτική συνάρτηση
• Σφαίρα του Ρίμαν
• Πιερ Ντελίν
• Ανρί Πουανκαρέ
• Χώρος Χίλμπερτ
• Ντάβιντ Χίλμπερτ
• Ευκλείδειος χώρος
• Επιφάνεια Ρίμαν
• Αλγεβρική ποικιλία

• Trogdon, Thomas· Olver, Sheehan (22 Δεκεμβρίου 2015). Riemann-Hilbert Problems, Their Numerical Solution, and the Computation of Nonlinear Special Functions. SIAM. ISBN 978-1-61197-419-5. 
• Yandell, Ben (12 Δεκεμβρίου 2001). The Honors Class: Hilbert's Problems and Their Solvers. CRC Press. ISBN 978-1-4398-6422-7. 
• Arnold, V.· Monastyrsky, M. (1 Ιανουαρίου 1993). Developments in Mathematics. CRC Press. ISBN 978-0-412-45270-3. 
• Kouneiher, Joseph (26 Μαΐου 2018). Foundations of Mathematics and Physics One Century After Hilbert: New Perspectives. Springer. ISBN 978-3-319-64813-2. 
• Michler, Ruth Ingrid (2003). Topics in Algebraic and Noncommutative Geometry: Proceedings in Memory of Ruth Michler, July 20-22, 2001, Luminy, France [and] October 25-28, 2001, Annapolis, Maryland. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-3209-7. 
• Ilʹi︠a︡shenko, I︠U︡ S.· Yakovenko, S. (2008). Lectures on Analytic Differential Equations. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-3667-5. 
• Orlik, Peter· Society, American Mathematical (1983). Singularities, Part 2. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-1466-6. 
• Monastyrsky, Michael (11 Νοεμβρίου 2013). Riemann, Topology, and Physics. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4899-3514-4. 

• Anosov, D. V.; Bolibruch, A. A. (1994), The Riemann-Hilbert problem, Aspects of Mathematics, E22, Braunschweig: Friedr. Vieweg & Sohn, doi:10.1007/978-3-322-92909-9, ISBN 978-3-528-06496-9 
• Bolibrukh, A. A. (1990), «The Riemann-Hilbert problem», Akademiya Nauk SSSR I Moskovskoe Matematicheskoe Obshchestvo. Uspekhi Matematicheskikh Nauk 45 (2): 3–47, doi:10.1070/RM1990v045n02ABEH002350, ISSN 0042-1316 
• Deligne, Pierre (1970). Équations différentielles à points singuliers réguliers. (French) Lecture Notes in Mathematics, Vol. 163. Springer-Verlag, Berlin-New York, 1970. 133 pp. MR0417174
• Plemelj, Josip (1964), Radok., J. R. M., επιμ., Problems in the sense of Riemann and Klein, Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics, 16, New York-London-Sydney: Interscience Publishers John Wiley & Sons Inc., ISBN 9780470691250, https://books.google.com/books?id=f0urAAAAIAAJ 
• Bolibrukh, A.A. (1992), «Sufficient conditions for the positive solvability of the Riemann-Hilbert problem», Matematicheskie Zametki 51 (2): 110–117, doi:10.1007/BF02102113 
• Gérard, Raymond (1969). Le problème de Riemann-Hilbert sur une variété analytique complexe. (French) Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 19 (1969), fasc. 2, 1--32. MR0281946
• Kostov, Vladimir Petrov (1992), «Fuchsian linear systems on ${\displaystyle CP^{1}}$ and the Riemann-Hilbert problem», Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I 315 (2): 143–148 
• Röhrl, Helmut (1957). Das Riemann-Hilbertsche Problem der Theorie der linearen Differentialgleichungen. (German) Math. Ann. 133, 1--25. MR0086958
• Schlesinger, L. (1895), Handbuch der Theorie der linearen Differentialgleichungen vol. 2, part 2, No. 366 
• Treibich Kohn, Armando. (1983), «Un résultat de Plemelj.», Mathematics and Physics (Paris, 1979/1982): 307–312, Progr. Math., 37, Birkhäuser Boston, Boston, MA, 1983 
• Katz, N.M. (1976), «An Overview of Deligne's work on Hilbert's Twenty-First Problem», Proceedings of Symposia in Pure Mathematics 28: 537–557, doi:10.1090/pspum/028.2/9904, ISBN 9780821814284 

• On the Riemann–Hilbert Problem (archive.org copy [1] Αρχειοθετήθηκε 2011-07-18 στο Wayback Machine.)
• Hain, Richard M. (1986). «On a generalization of Hilbert's 21st problem» (στα γαλλικά). Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure 19 (4): 609–627. doi:10.24033/asens.1520. ISSN 1873-2151. http://www.numdam.org/item/ASENS_1986_4_19_4_609_0/. 
• «On Hilbert's 21st problem for scalar Fuchsian equations».