Το εικοστό τέταρτο πρόβλημα του Χίλμπερτ είναι ένα μαθηματικό πρόβλημα που δεν δημοσιεύθηκε ως μέρος του καταλόγου των 23 προβλημάτων (γνωστού ως προβλήματα του Χίλμπερτ), αλλά περιλαμβανόταν στις αρχικές σημειώσεις του Ντέιβιντ Χίλμπερτ. Το εν λόγω πρόβλημα ζητούσε ένα κριτήριο απλότητας στις μαθηματικές αποδείξεις και την ανάπτυξη μιας θεωρίας αποδείξεων με τη δυνατότητα να αποδείξει ότι μια δεδομένη απόδειξη είναι η απλούστερη δυνατή^[1].

Το 24ο πρόβλημα ανακαλύφθηκε εκ νέου από τον Γερμανό ιστορικό Ρύντιγκερ Τίλε το 2000, σημειώνοντας ότι ο Χίλμπερτ δεν συμπεριέλαβε το 24ο πρόβλημα στη διάλεξη όπου παρουσιάζονται τα "προβλήματα του Χίλμπερτ" ή σε κανένα άλλο δημοσιευμένο κείμενο. Οι φίλοι του Χίλμπερτ και συνάδελφοι μαθηματικοί όπως οι Άντολφ Χούρβιτς και Χέρμαν Μινκόφσκι συμμετείχαν στενά στο έργο, αλλά δεν γνώριζαν τίποτα για το συγκεκριμένο πρόβλημα.

Αυτό είναι το πλήρες κείμενο από τις σημειώσεις του Χίλμπερτ που παρατίθεται στην εργασία του Ρίντιγκερ Τίλε. Το τμήμα μεταφράστηκε από τον Ρίντιγκερ Τίλε.^[1]

Το πρόβλημα νούμερο 24 στο συνέδριό μου στο Παρίσι θα ήταν: Κριτήρια απλότητας ή απόδειξη της μεγαλύτερης απλότητας ορισμένων αποδείξεων. Ανάπτυξη μιας θεωρίας της μεθόδου απόδειξης στα μαθηματικά γενικά. Υπό ένα δεδομένο σύνολο συνθηκών μπορεί να υπάρχει μόνο μία απλούστερη απόδειξη. Συνήθως, αν υπάρχουν δύο αποδείξεις ενός θεωρήματος, πρέπει να συνεχίσουμε μέχρι η μία να προκύψει από την άλλη ή μέχρι να γίνει φανερό ότι έχουν χρησιμοποιηθεί διαφορετικές συνθήκες (και βοηθήματα) στις δύο αποδείξεις. Αν υπάρχουν δύο διαδρομές, δεν είναι απαραίτητο να ακολουθήσουμε τη μία ή την άλλη ή να αναζητήσουμε μια τρίτη- είναι απαραίτητο να μελετήσουμε την περιοχή μεταξύ των δύο διαδρομών. Προσπάθειες να κρίνουμε την απλότητα μιας απόδειξης μπορείτε να βρείτε στη συζήτησή μου για τις συζυγίες και τις συζυγίες [ο Χίλμπερτ έγραψε λάθος τη λέξη συζυγίες] μεταξύ των συζυγιών (βλ. Hilbert 42, διαλέξεις XXXII-XXXIX). Η χρήση ή η γνώση μιας συζυγίας απλοποιεί κατά τρόπο ουσιαστικό μια απόδειξη ότι μια ορισμένη ταυτότητα είναι αληθής. Επειδή κάθε διαδικασία πρόσθεσης [είναι] εφαρμογή του νόμου της αντιμεταθετικής ιδιότητας της πρόσθεσης κ.λπ. [και επειδή] αυτή αντιστοιχεί πάντοτε σε γεωμετρικά θεωρήματα ή λογικά συμπεράσματα, μπορεί κανείς να μετρήσει αυτές τις [διαδικασίες], και, για παράδειγμα, κατά την απόδειξη ορισμένων θεωρημάτων της στοιχειώδους γεωμετρίας (το θεώρημα του Πυθαγόρα, [τα θεωρήματα] για τα αξιοσημείωτα σημεία των τριγώνων), μπορεί κανείς πολύ καλά να αποφασίσει ποια από τις αποδείξεις είναι η απλούστερη. [Σημείωση του συγγραφέα: Μέρος της τελευταίας πρότασης δεν είναι μόνο ελάχιστα ευανάγνωστο στο σημειωματάριο του Χίλμπερτ αλλά και γραμματικά λανθασμένο. Οι διορθώσεις και οι προσθήκες που έκανε ο Χίλμπερτ σε αυτή την καταχώρηση δείχνουν ότι κατέγραψε το πρόβλημα βιαστικά].

- Ντέιβιντ Χίλμπερτ, Μαθηματικά σημειωματάρια

Το 2002, ο Τίλε και ο Λάρι Γουός δημοσίευσαν ένα άρθρο για το εικοστό τέταρτο πρόβλημα του Χίλμπερτ με μια συζήτηση σχετικά με τη σχέση του με διάφορα θέματα στην αυτοματοποιημένη συλλογιστική, τη λογική και τα μαθηματικά^[2].

Λόγω της ασαφούς διατύπωσης του προβλήματος, θα πρέπει να εκληφθεί λιγότερο ως ακριβής δήλωση του προβλήματος και περισσότερο ως ερευνητική ιδέα. Από το αρχικό κείμενο μπορούν να εντοπιστούν ορισμένα ερωτήματα που υπάρχουν και στη σημερινή έρευνα.

• Πώς μπορεί να οριστεί η απλότητα των αποδείξεων;
• Πώς μπορεί να βρεθεί η απλούστερη απόδειξη ενός θεωρήματος;
• Πώς μπορεί να αναπτυχθεί μια θεωρία των μαθηματικών αποδείξεων και της πολυπλοκότητάς τους;
• Ποιες διαφορετικές συνθήκες μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την απόδειξη ενός θεωρήματος;
• Μπορούν δύο αποδείξεις του ίδιου θεωρήματος να μετατραπούν η μία στην άλλη;

Σήμερα, τα ερωτήματα αυτά αντιμετωπίζονται στο ευρύτερο πλαίσιο της λογικής και της θεωρίας αποδείξεων. Το ζήτημα των αναγκαίων συνθηκών είναι το κεντρικό θέμα των αντίστροφων μαθηματικών. Πράγματι, στη θεωρία ομοτοπικών τύπων, μια εναλλακτική αξιωματοποίηση των μαθηματικών, μπορεί να οριστεί μια ακριβής έννοια της «ισότητας» των αποδείξεων. Υπάρχουν προτάσεις που έχουν τουλάχιστον δύο διαφορετικές αποδείξεις κατά την έννοια της θεωρίας ομοτοπικών τύπων^[3][4].

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Proof of Dehn's Theorem at Everything2
• Weisstein, Eric W., "Dehn Invariant" από το MathWorld.
• Dehn Invariant at Everything2
• Ντέιβιντ Χίλμπερτ, Μαθηματικά προβλήματα, 6ο πρόβλημα, σε αγγλική μετάφραση.

• Μερική διαφορική εξίσωση
• Χέρμαν Μινκόβσκι
• Αλγεβρικός αριθμός
• Αντιμεταθετική ιδιότητα
• Πυθαγόρειο θεώρημα
• Δυναμικός προγραμματισμός
• Μιγαδικός αριθμός
• Αλγεβρική γεωμετρία
• Μερική διαφορική εξίσωση
• Χώρος Χίλμπερτ
• Ντάβιντ Χίλμπερτ
• Ευκλείδειος χώρος
• Καρλ Φρίντριχ Γκάους

• Hutter, Dieter· Stephan, Werner (29 Μαρτίου 2011). Mechanizing Mathematical Reasoning: Essays in Honor of Jörg H. Siekmann on the Occasion of His 60th Birthday. Springer. ISBN 978-3-540-32254-2. 
• Gabbay, Dov M.· Goncharov, Sergei S. (2 Ιουλίου 2006). Mathematical Problems from Applied Logic I: Logics for the XXIst Century. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-31072-5. 
• Gamwell, Lynn (2016). Mathematics and Art: A Cultural History. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-16528-8. 
• Kossak, Roman· Ording, Philip (28 Ιουνίου 2017). Simplicity: Ideals of Practice in Mathematics and the Arts. Springer. ISBN 978-3-319-53385-8. 
• Jr, John W. Dawson (15 Ιουλίου 2015). Why Prove it Again?: Alternative Proofs in Mathematical Practice. Birkhäuser. ISBN 978-3-319-17368-9. 
• Sandifer, G. Edward (3 Αυγούστου 2020). How Euler Did It. American Mathematical Soc. ISBN 978-1-4704-5745-7. 
• Rowe, David E. (13 Φεβρουαρίου 2018). A Richer Picture of Mathematics: The Göttingen Tradition and Beyond. Springer. ISBN 978-3-319-67819-1. 
• Marcinkowski, Jerzy (9 Σεπτεμβρίου 2004). Computer Science Logic: 18th International Workshop, CSL 2004, 13th Annual Conference of the EACSL, Karpacz, Poland, September 20-24, 2004, Proceedings. Springer. ISBN 978-3-540-30124-0. 
• MONTUSCHI, ELEONORA· OMODEO, PIETRO DANIEL (15 Ιανουαρίου 2021). Ordinare il mondo. Prospettive logiche ed epistemologiche su scienza, natura e società. Armando Editore. ISBN 978-88-6992-679-2. 
• Centrone, Stefania (7 Σεπτεμβρίου 2017). Essays on Husserl's Logic and Philosophy of Mathematics. Springer. ISBN 978-94-024-1132-4. 

• Thiele, Rüdiger (2005). Van Brummelen, Glen, επιμ. Hilbert and his Twenty-Four Problems. New York, NY: Springer. σελίδες 243–295. ISBN 978-0-387-28272-5. 
• Thiele, Rüdger (2003). «Hilbert's Twenty-Fourth Problem». The American Mathematical Monthly 110 (1): 1–24. doi:10.2307/3072340. ISSN 0002-9890. https://www.jstor.org/stable/3072340. 
• «David Hilbert's 24 Problems». Maths History (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 23 Δεκεμβρίου 2024. 
• «Hilbert's (cancelled) 24th problem». MathOverflow (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 23 Δεκεμβρίου 2024. 

• <Renn, Jürgen (17 Ιουνίου 2007). The Genesis of General Relativity: Sources and Interpretations. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4020-4000-9. 
• Gonthier, Georges· Norrish, Michael (11 Δεκεμβρίου 2013). Certified Programs and Proofs: Third International Conference, CPP 2013, Melbourne, VIC, Australia, December 11-13,2013, Proceedings. Springer. ISBN 978-3-319-03545-1. 
• Freitas, Elizabeth de· Sinclair, Nathalie (22 Ιουνίου 2017). What is a Mathematical Concept?. Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-13463-8. 
• Reid, Constance (5 Ιουνίου 2013). Courant. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-21626-3. 
• Menzler-Trott, Eckart (5 Μαΐου 2016). Logic's Lost Genius. American Mathematical Soc. ISBN 978-1-4704-2812-9.