Το πρόβλημα του Μπορσούκ στη γεωμετρία, για ιστορικούς λόγους, ονομάζεται λανθασμένα ως εικασία του Μπορσούκ, είναι ερώτημα στη διακριτή γεωμετρία.

Το 1932 ο Κάρολ Μπορσούκ έδειξε ότι μια συνηθισμένη μπάλα 3 διαστάσεων στον Ευκλείδειο χώρο μπορεί εύκολα να χωρισθεί σε 4 στερεά, καθένα από τα οποία έχει μια μικρότερη διάμετρο από την μπάλα, και γενικά η d-διάστατη μπάλα μπορεί να καλυφθεί με d + 1 συμπαγή σύνολα διαμέτρων μικρότερες από την μπάλα. Ταυτόχρονα απέδειξε ότι τα υποσύνολα d δεν είναι αρκετά σε γενικές γραμμές. Η απόδειξη βασίζεται στο θεώρημα Μπορσούκ–Ούλαμ. Αυτό οδήγησε τον Μπορσούκ σε μια τόσο γενική ερώτηση:

Die folgende Frage bleibt offen: Lässt sich jede beschränkte Teilmenge E des Raumes ${\displaystyle (n+1)}$ Mengen zerlegen, von denen jede einen kleineren Durchmesser als E hat;

Αυτό μπορεί να μεταφραστεί ως:

Το ακόλουθο ερώτημα παραμένει ανοιχτό: κάθε φραγμένο υποσύνολο Ε του χώρου είναι χωρισμένο σε σύνολα ${\displaystyle (n+1)}$, καθένα από τα οποία έχει μια μικρότερη διάμετρο από τον Ε;

Το ερώτημα έχει θετική απάντηση στις ακόλουθες περιπτώσεις:

• d = 2 — το οποίο είναι το αρχικό αποτέλεσμα από τον Κάρολ Μπορσούκ (1932).
• d = 3 — εμφανίστηκε από τον Γιούλιαν Πέρκαλ (1947),^[1] και ανεξάρτητα, 8 χρόνια αργότερα, από τον Χ. Γ. Έγκλστον (1955).^[2] Αργότερα, οι Μπράνκο Γκρηνμπάουμ και Αλαντάρ Χέππες βρήκαν μια απλή απόδειξη.
• Για όλα τα d σε ομαλούς κυρτούς φορείς — αποδείχθηκε από τον Χούγκο Χαντβίγκερ (1946).^[3][4]
• Για όλα τα d σε κεντρικά-συμμετρικούς φορείς — αποδείχθηκε από τον Α. Σ. Ρίσλινγκ (1971).^[5]
• Για όλα τα d σε σώματα εκ περιστροφής — αποδείχθηκε από τον Μπόρις Ντέκστερ (1995).^[6]

Το πρόβλημα τελικά λύθηκε το 1993 από τους Τζεφ Καχν και Γκιλ Καλάι, οι οποίοι έδειξαν ότι η γενική απάντηση στο ερώτημα του Μπορσούκ είναι όχι.^[7] Η αναπαράστασή τους δείχνει ότι τα d + 1 κομμάτια που δεν επαρκούν για d = 1.325 και για κάθε d > 2.014.

Το αποτέλεσμα τους βελτιώθηκε το 2003 από τους Χίνριχς και Ρίχτερ, που αναπαράστησαν πεπερασμένα σύνολα για το d ≥ 298, το οποίο δεν μπορεί να χωριστεί σε d+11 τμήματα με μικρότερη διάμετρο.

Αφότου ο Αντρέι Β. Μπονταρένκο έδειξε το 2013 ότι η εικασία του Μπορσούκ είναι ψευδής για όλα τα d ≥ 65,^{[8] [9]} το τρέχων καλύτερο όριο, λόγω του Τόμας Γιένριχ, είναι το 64.^[10][11]

Εκτός από την εύρεση του ελάχιστου αριθμού δ τέτοιων διαστάσεων, εκτός από τον αριθμό τεμαχίων ${\displaystyle \alpha (d)>d+1}$ οι μαθηματικοί ενδιαφέρονται να βρουν την γενική συμπεριφορά της συνάρτησης ${\displaystyle \alpha (d)}$. Οι Καχν και Καλάι δείχνουν ότι σε γενικές γραμμές (για το d αυτό είναι αρκετά μεγάλο) ένας χρειάζεται αριθμό τεμαχίων ${\displaystyle \alpha (d)\geq (1.2)^{\sqrt {d}}}$. Αναφέρουν επίσης το άνω όριο από τον Οντέντ Σραμ, ο οποίος έδειξε ότι για κάθε ε, αν το d είναι αρκετά μεγάλο, προκύπτει ${\displaystyle \alpha (d)\leq \left({\sqrt {3/2}}+\varepsilon \right)^{d}}$.^[12] Η σωστή τάξη μεγέθους του α(d) είναι ακόμα άγνωστη.^[13] Ωστόσο, εικάζεται ότι υπάρχει μια σταθερά c > 1 τέτοια ώστε να προκύπτει ${\displaystyle \alpha (d)>c^{d}}$ για όλα τα d ≥ 1.

• Η Εικασία του Χάντβιγκερ καλύπτει κυρτά σώματα με μικρότερα αντίγραφα του εαυτού τους.

• Oleg Pikhurko, Algebraic Methods in Combinatorics, course notes.
• Andrei M. Raigorodskii, The Borsuk partition problem: the seventieth anniversary, Mathematical Intelligencer 26 (2004), no. 3, 4–12.
• Raigorodskii, Andreii M. (2008). «Three lectures on the Borsuk partition problem». Στο: Young, Nicholas, επιμ. Surveys in contemporary mathematics. London Mathematical Society Lecture Note Series. 347. Cambridge University Press. σελίδες 202–247. ISBN 978-0-521-70564-6. 

• Weisstein, Eric W. "Εικασία Μπορσούκ". MathWorld.