Στη θεωρία των αριθμών, η εικασία του Κράμερ, που διατυπώθηκε από τον Σουηδό μαθηματικό Χάραλντ Κράμερ το 1936^[1], είναι μια εκτίμηση για το μέγεθος των αποστάσεων μεταξύ διαδοχικών πρώτων αριθμών: διαισθητικά, οι αποστάσεις μεταξύ διαδοχικών πρώτων αριθμών είναι πάντα μικρες και η εικασία ποσοτικοποιεί ασυμπτωτικά πόσο μικρες πρέπει να είναι. Δηλώνει ότι

${\displaystyle p_{n+1}-p_{n}=O((\log p_{n})^{2}),}$

όπου p_n δηλώνει τον n-th πρώτο αριθμό, O είναι ο συμβολισμός big O και "log" είναι ο φυσικός λογάριθμος. Ενώ αυτή είναι η δήλωση που υποθέτει ρητά ο Κράμερ, η ευρετική του μέθοδος υποστηρίζει στην πραγματικότητα την ισχυρότερη δήλωση

${\displaystyle \limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {p_{n+1}-p_{n}}{(\log p_{n})^{2}}}=1,}$

και μερικές φορές αυτή η διατύπωση ονομάζεται εικασία του Κράμερ. Ωστόσο, αυτή η ισχυρότερη εκδοχή δεν υποστηρίζεται από ακριβέστερα ευρετικά μοντέλα, τα οποία ωστόσο υποστηρίζουν την πρώτη εκδοχή της εικασίας του Κράμερ.

Η ισχυρότερη μορφή όλων, η οποία δεν υποστηρίχθηκε ποτέ από τον Κράμερ, αλλά είναι αυτή που χρησιμοποιείται στους υπολογισμούς πειραματικής επαλήθευσης και στο σχεδιάγραμμα αυτού του άρθρου, είναι απλώς

${\displaystyle p_{n+1}-p_{n}<(\log p_{n})^{2}.}$

Καμία από τις τρεις μορφές δεν έχει ακόμη αποδειχθεί ή διαψευστεί.

Ο Κράμερ έδωσε μια υπό όρους απόδειξη της πολύ ασθενέστερης δήλωσης ότι

${\displaystyle p_{n+1}-p_{n}=O({\sqrt {p_{n}}}\,\log p_{n})}$

με την υπόθεση της υπόθεσης Ρίμαν.^[1] Το καλύτερο γνωστό άνευ όρων όριο είναι

${\displaystyle p_{n+1}-p_{n}=O(p_{n}^{0.525})}$

που οφείλεται στους Μπέικερ, Χάρμαν και Πιντζ.^[2]

Προς την άλλη κατεύθυνση, ο Ε. Βεστίνθιος απέδειξε το 1931 ότι τα κενά των πρώτων αριθμών αυξάνονται περισσότερο από λογαριθμικά. Δηλαδή,^[3]

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {p_{n+1}-p_{n}}{\log p_{n}}}=\infty .}$

Το αποτέλεσμά του βελτιώθηκε από τον Ρ. Α. Ράνκιν,^[4] ο οποίος απέδειξε ότι

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {p_{n+1}-p_{n}}{\log p_{n}}}\cdot {\frac {\left(\log \log \log p_{n}\right)^{2}}{\log \log p_{n}\log \log \log \log p_{n}}}>0.}$

Ο Πολ Ερντός υπέθεσε ότι η αριστερή πλευρά του παραπάνω τύπου είναι άπειρη, και αυτό αποδείχθηκε το 2014 από τους Κέβιν Φορντ, Μπεν Γκριν, Σεργκέι Κονιάγκιν και Τέρενς Τάο,^[5] και ανεξάρτητα από τον Τζέιμς Μέιναρντ^[6]. Οι δύο ομάδες συγγραφέων εξάλειψαν έναν από τους παράγοντες του ${\displaystyle \log \log \log p_{n}}$ αργότερα την ίδια χρονιά, ^[7] δείχνοντας ότι, άπειρες φορές,

${\displaystyle \ {p_{n+1}-p_{n}}{>}{\frac {c\cdot \log p_{n}\cdot \log \log p_{n}\cdot \log \log \log \log p_{n}}{\log \log \log p_{n}}}}$

όπου ${\displaystyle c>0}$ είναι κάποια σταθερά.

Η εικασία του Κράμερ βασίζεται σε ένα πιθανοτικό μοντέλο - ουσιαστικά μια ευρετική μέθοδος - σύμφωνα με την οποία η πιθανότητα ένας αριθμός μεγέθους x να είναι πρώτος είναι 1/log x. Αυτό είναι γνωστό ως το τυχαίο μοντέλο Κράμερ ή μοντέλο Κράμερ των πρώτων αριθμών^[8].

Στο τυχαίο μοντέλο Κράμερ,

${\displaystyle \limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {p_{n+1}-p_{n}}{\log ^{2}p_{n}}}=1}$

με πιθανότητα ένα^[1]. Ωστόσο, όπως επισημαίνεται από τον Άντριου Γκράνβιλ,^[9] το θεώρημα του Μάιερ δείχνει ότι το τυχαίο μοντέλο Κράμερ δεν περιγράφει επαρκώς την κατανομή των πρώτων αριθμών σε μικρά διαστήματα, και μια βελτίωση του μοντέλου Κράμερ που λαμβάνει υπόψιν τη διαιρετότητα με μικρούς πρώτους αριθμούς υποδηλώνει ότι το όριο δεν πρέπει να είναι 1, αλλά μια σταθερά ${\displaystyle c\geq 2e^{-\gamma }\approx 1.1229\ldots }$ ( A125313), όπου ${\displaystyle \gamma }$ είναι η σταθερά Όιλερ-Μασκερόνι. Ο Γιάνος Πιντς πρότεινε ότι το όριο sup μπορεί να είναι άπειρο^[10] και ομοίως οι Λεονάρντ Άντλεμαν και Κέβιν ΜακΚέρλι γράφουν

Ως αποτέλεσμα της εργασίας του Χ. Μάιερ σχετικά με τις αποστάσεις μεταξύ διαδοχικών πρώτων αριθμών, η ακριβής διατύπωση της εικασίας του Κράμερ τέθηκε υπό αμφισβήτηση [... ] Πιθανώς εξακολουθεί να ισχύει ότι για κάθε σταθερά ${\displaystyle c>2}$, υπάρχει μια σταθερά${\displaystyle d>0}$ τέτοια ώστε να υπάρχει ένας πρώτος μεταξύ ${\displaystyle x}$ και ${\displaystyle x+d(\log x)^{c}}$.^[11].

Παρομοίως, ο Ρόμπιν Βίσερ γράφει

Στην πραγματικότητα, λόγω της εργασίας που έκανε ο Γκρανβίλ, πιστεύεται πλέον ευρέως ότι η εικασία του Κράμερ είναι λανθασμένη. Πράγματι, [υπάρχουν] ορισμένα θεωρήματα που αφορούν μικρά διαστήματα μεταξύ πρώτων αριθμών, όπως το θεώρημα του Μάιερ, τα οποία έρχονται σε αντίθεση με το μοντέλο του Κράμερ^[12].

(οι εσωτερικές παραπομπές αφαιρέθηκαν).

Ο Ντανιέλ Σανκς υπέθεσε την ακόλουθη ασυμπτωτική ισότητα, ισχυρότερη από την εικασία του Κράμερ,^[13] για ρεκόρ αποστάσεων: ${\displaystyle G(x)\sim \log ^{2}x.}$

Ο Τζ. Χ. Κάντγουελ^[14] πρότεινε τον τύπο για τις μέγιστες αποστάσεις: ${\displaystyle G(x)\sim \log ^{2}x-\log x\log \log x,}$ ο οποίος είναι τυπικά ταυτόσημος με την εικασία του Σανκς αλλά προτείνει έναν όρο χαμηλότερης τάξης.

Ο Μάρεκ Βολφ^[15] πρότεινε τον τύπο για τις μέγιστες αποστάσεις ${\displaystyle G(x)}$ που εκφράζονται με βάση τη Συνάρτηση καταμέτρησης πρώτων αριθμών ${\displaystyle \pi (x)}$:

${\displaystyle G(x)\sim {\frac {x}{\pi (x)}}(2\log \pi (x)-\log x+c),}$

όπου ${\displaystyle c=\log(2C_{2})=0.2778769...}$ και ${\displaystyle C_{2}=0.6601618...}$ είναι η σταθερά των δίδυμων πρώτων, βλέπε  A005597, A114907. Αυτό είναι και πάλι τυπικά ισοδύναμο με την εικασία του Σανκς, αλλά υποδηλώνει όρους χαμηλότερης τάξης.

${\displaystyle G(x)\sim \log ^{2}x-2\log x\log \log x-(1-c)\log x.}$.

Ο Τόμας Νίκελι υπολόγισε πολλες μεγάλες πρωτεύοντες αποστάσεις^[16]. Μετράει την ποιότητα της προσαρμογής στην εικασία του Κράμερ μετρώντας τον λόγο

${\displaystyle R={\frac {\log p_{n}}{\sqrt {p_{n+1}-p_{n}}}}.}$

Γράφει, «Για τις μεγαλύτερες γνωστές μέγιστες αποστάσεις, το ${\displaystyle R}$} παραμείνει κοντά στο 1,13».

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών

• Θεωρία αριθμών
• Αλγεβρική θεωρία αριθμών
• Φυσικός λογάριθμος
• Υπόθεση Ρίμαν
• Συνάρτηση ζήτα Ρίμαν
• Πρώτος αριθμός
• Τέρενς Τάο
• Ευρετική
• Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
• Αλγεβρική γεωμετρία
• Χώρος Χίλμπερτ
• Ντάβιντ Χίλμπερτ
• Ευκλείδειος χώρος

• Sabihi, Ahmad (1 Ιανουαρίου 2023). On solutions of some of unsolved problems in number theory, specifically on the distribution of primes. Infinite Study. 
• Csuhaj-Varjú, Ersébet· Dietzfelbinger, Martin (12 Αυγούστου 2014). Mathematical Foundations of Computer Science 2014: 39th International Symposium, MFCS 2014, Budapest, Hungary, August 26-29, 2014. Proceedings, Part II. Springer. ISBN 978-3-662-44465-8. 
• Feliksiak, Jan (14 Μαρτίου 2013). THE SYMPHONY OF PRIMES, DISTRIBUTION OF PRIMES AND RIEMANN'S HYPOTHESIS. Xlibris Corporation. ISBN 978-1-4797-6560-7. 
• Gathen, Joachim von zur· Gerhard, Jürgen (3 Ιουλίου 2003). Modern Computer Algebra. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-82646-4. 
• Bruns, Carson J.· Stoddart, J. Fraser (7 Νοεμβρίου 2016). The Nature of the Mechanical Bond: From Molecules to Machines. John Wiley & Sons. ISBN 978-1-119-04400-0. 
• Bruns, Carson J.· Stoddart, J. Fraser (7 Νοεμβρίου 2016). The Nature of the Mechanical Bond: From Molecules to Machines. John Wiley & Sons. ISBN 978-1-119-04400-0. 
• Riesel, Hans (6 Δεκεμβρίου 2012). Prime Numbers and Computer Methods for Factorization. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4612-0251-6. 
• Koninck, Jean-Marie De· Levesque, Claude (1989). Number Theory. Walter de Gruyter. ISBN 978-3-11-011791-2. 
• Deza, Elena (10 Φεβρουαρίου 2023). Perfect And Amicable Numbers. World Scientific. ISBN 978-981-12-5964-7. 
• Riesel, Hans (6 Δεκεμβρίου 2012). Prime Numbers and Computer Methods for Factorization. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4612-0251-6. 

• Guy, Richard K. (2004). Unsolved problems in number theory (3rd έκδοση). Springer-Verlag. A8. ISBN 978-0-387-20860-2. Zbl 1058.11001. 
• Soundararajan, K. (2007). «The distribution of prime numbers». Στο: Granville, Andrew· Rudnick, Zeév, επιμ. Equidistribution in number theory, an introduction. Proceedings of the NATO Advanced Study Institute on equidistribution in number theory, Montréal, Canada, July 11--22, 2005. NATO Science Series II: Mathematics, Physics and Chemistry. 237. Dordrecht: Springer-Verlag. σελίδες 59–83. ISBN 978-1-4020-5403-7. Zbl 1141.11043. 
• Pintz, János (2007). «Cramér vs. Cramér. On Cramér's probabilistic model for primes». Functiones et Approximatio Commentarii Mathematici 37 (2): 361–376. doi:10.7169/facm/1229619660. ISSN 0208-6573.
  MR 2363833
  . http://projecteuclid.org/euclid.facm/1229619660. 

• Weisstein, Eric W. «Cramér Conjecture». mathworld.wolfram.com (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 24 Δεκεμβρίου 2024. 
• Weisstein, Eric W. «Cramér-Granville Conjecture». mathworld.wolfram.com (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 24 Δεκεμβρίου 2024. 
• Sorenson, Jonathan; Webster, Jonathan (2024-12-06). «An algorithm and computation to verify Legendre’s conjecture up to $$7\cdot 10^{13}$$» (στα αγγλικά). Research in Number Theory 11 (1): 4. doi:10.1007/s40993-024-00589-4. ISSN 2363-9555. https://link.springer.com/article/10.1007/s40993-024-00589-4. 
• «On a new property of primes that leads to a generalization of Cramer's conjecture - ResearchGate». 
• «Firoozbakht's conjecture and Cramér's conjecture». Mathematics Stack Exchange (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 24 Δεκεμβρίου 2024.