Στα μαθηματικά, μια ομάδα πινάκων είναι μια ομάδα G που αποτελείται από αντιστρέψιμους πίνακες σε ένα συγκεκριμένο σώμαK, με την πράξη του πολλαπλασιασμού πινάκων. Μια γραμμική ομάδα[1][2] είναι μια ομάδα που είναι ισομορφική με μια ομάδα πινάκων (δηλαδή που επιτρέπει μια πιστή, πεπερασμένης διάστασης απεικόνιση πάνω στο K).
Κάθε πεπερασμένη ομάδα είναι γραμμική, επειδή μπορεί να υλοποιηθεί με πίνακες μεταθέσεων χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Κέιλι. Μεταξύ των άπειρων ομάδων, οι γραμμικές ομάδες αποτελούν μια ενδιαφέρουσα και εύχρηστη κατηγορία. Παραδείγματα ομάδων που δεν είναι γραμμικές περιλαμβάνουν ομάδες που είναι «πολύ μεγάλες» (παραδείγματος χάριν, η ομάδα των μεταθέσεων ενός άπειρου συνόλου), ή που παρουσιάζουν κάποια παθολογική συμπεριφορά (παραδείγματος χάριν, άπειρες ομάδες στρέψης πεπερασμένης παραγωγής).
Ορισμός και βασικά παραδείγματα
Μια ομάδα G λέγεται ότι είναι γραμμική αν υπάρχει ένα σώμαK, ένας ακέραιος αριθμός d και μια ερριπτική ομοιομορφία από την G στη γενική γραμμική ομάδα GLd (K) (μια πιστή γραμμική απεικόνιση διάστασης d πάνω από το K): αν χρειάζεται μπορεί κανείς να αναφέρει το σώμα και τη διάσταση λέγοντας ότι η G είναι γραμμική βαθμού d πάνω από το K. Βασικά παραδείγματα είναι οι ομάδες που ορίζονται ως υποομάδες μιας γραμμικής ομάδας, παραδείγματος χάριν:
Η ίδια η ομάδα GLn(K)
Η ειδική γραμμική ομάδα SLn(K) (η υποομάδα των πινάκων με ορίζουσα 1),
Αν το gi είναι μια συλλογή στοιχείων στο GLn(K) με δείκτη ένα σύνολο I, η υποομάδα που παράγεται από το gi είναι μια γραμμική ομάδα.
Στη μελέτη των ομάδων Λι[3], είναι μερικές φορές πολύ βολικό από παιδαγωγική άποψη να περιορίσουμε την προσοχή μας σε ομάδες Λι που μπορούν να αναπαρασταθούν πιστά στο σώμα των μιγαδικών αριθμών. (Ορισμένοι συγγραφείς απαιτούν η ομάδα να αναπαρίσταται ως κλειστή υποομάδα του GLn(C)). Στα βιβλία που ακολουθούν αυτή την προσέγγιση περιλαμβάνονται τα έργα Χαλλ [4] και Ροσμάν [5].
Κατηγορίες γραμμικών ομάδων
Κλασικές ομάδες και σχετικά παραδείγματα
Οι λεγόμενες κλασικές ομάδες γενικεύουν τα παραδείγματα 1 και 2 ανωτέρω. Εμφανίζονται ως γραμμικές αλγεβρικές ομάδες, δηλαδή ως υποομάδες της GLn που ορίζονται από έναν πεπερασμένο αριθμό εξισώσεων. Βασικά παραδείγματα είναι οι ορθογώνιες, μοναδιαίες και συμλεκτικές ομάδες, αλλά είναι δυνατόν να κατασκευαστούν περισσότερες χρησιμοποιώντας άλγεβρες διαίρεσης (παραδείγματος χάριν, η μοναδιαία ομάδα μιας άλγεβρας τεταρτοταγώνων είναι μια κλασική ομάδα). Ας σημειωθεί ότι οι προβολικές ομάδες που σχετίζονται με αυτές τις ομάδες είναι επίσης γραμμικές, αν και λιγότερο προφανώς. Ενδεικτικά, η ομάδα PSL2(R) δεν είναι ομάδα πινάκων 2 × 2, αλλά έχει μια πιστή αναπαράσταση ως πίνακες 3 × 3 (η παράλληλη αναπαράσταση), η οποία μπορεί να χρησιμοποιηθεί στη γενική περίπτωση.
Πολλές ομάδες Λι[3] είναι γραμμικές, αλλά όχι όλες. Το καθολικό κάλυμμα της SL2(R) δεν είναι γραμμικό, όπως και πολλές επιλύσιμες ομάδες, για παράδειγμα το πηλίκο της ομάδας Χάιζενμπεργκ από μια κεντρική κυκλική υποομάδα.
Οι διακριτές υποομάδες των κλασικών ομάδων Λι (επί παραδείγματι πλέγματα ή λεπτές ομάδες) είναι επίσης παραδείγματα ενδιαφέρουσας γραμμικής ομάδας.
Πεπερασμένες ομάδες
Μια πεπερασμένη ομάδα G τάξης n είναι γραμμική βαθμού το πολύ n πάνω σε οποιοδήποτε σώμα K. Αυτή η δήλωση ονομάζεται μερικές φορές θεώρημα του Κέιλι και προκύπτει απλώς από το γεγονός ότι η δράση της G στον δακτύλιο ομάδων K[G] με αριστερό (ή δεξιό) πολλαπλασιασμό είναι γραμμική και πιστή. Οι πεπερασμένες ομάδες τύπου Λι (κλασικές ομάδες πάνω από πεπερασμένα σώματα) είναι μια σημαντική οικογένεια πεπερασμένων απλών ομάδων, καθώς καταλαμβάνουν τις περισσότερες θέσεις στην ταξινόμηση των πεπερασμένων απλών ομάδων.
Πεπερασμένα παραγόμενες ομάδες πινάκων
Ενώ το παράδειγμα 4 παραπάνω είναι πολύ γενικό για να ορίσει μια διακριτή κλάση (περιλαμβάνει όλες τις γραμμικές ομάδες), ο περιορισμός σε ένα πεπερασμένο σύνολο δεικτών I, δηλαδή σε πεπερασμένα παραγόμενες ομάδες, επιτρέπει την κατασκευή πολλών ενδιαφερουσών παραδειγμάτων. Παραδείγματος χάριν:
Το λήμμα ping-pong μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την κατασκευή πολλών παραδειγμάτων γραμμικών ομάδων που είναι ελεύθερες ομάδες (παραδείγματος χάριν η ομάδα που παράγεται από είναι ελεύθερη).
Οι αριθμητικές ομάδες είναι γνωστό ότι παράγονται πεπερασμένα. Από την άλλη πλευρά, είναι δύσκολο πρόβλημα να βρεθεί ένα ρητό σύνολο γεννητριών για μια δεδομένη αριθμητική ομάδα.
Οι ομάδες πλεξίδων[6] (οι οποίες ορίζονται ως πεπερασμένη ομάδα) έχουν πιστή γραμμική αναπαράσταση σε έναν πεπερασμένης διάστασης μιγαδικό διανυσματικό χώρο όπου οι γεννήτριες ενεργούν με ρητούς πίνακες.[7]
Παραδείγματα από τη γεωμετρία
Σε ορισμένες περιπτώσεις, η θεμελιώδης ομάδα μιας πολλαπλότητας μπορεί να αποδειχθεί ότι είναι γραμμική χρησιμοποιώντας παραστάσεις που προέρχονται από μια γεωμετρική δομή. Παραδείγματος χάριν, όλες οι κλειστές επιφάνειες γένους τουλάχιστον 2 είναι υπερβολικές επιφάνειες Ρίμαν. Μέσω του θεωρήματος ομογενοποίησης προκύπτει μια αναπαράσταση της θεμελιώδους ομάδας της στην ομάδα ισομετρίας του υπερβολικού επιπέδου, η οποία είναι ισομορφική με την PSL2(R) και αυτό υλοποιεί τη θεμελιώδη ομάδα ως φούξιανή ομάδα. Μια γενίκευση αυτής της κατασκευής δίνεται από την έννοια της (G,X)-δομής σε μια πολλαπλότητα.
Ένα άλλο παράδειγμα είναι η θεμελιώδης ομάδα των πολλαπλών Σίφερτ. Από την άλλη πλευρά, δεν είναι γνωστό αν όλες οι θεμελιώδεις ομάδες των 3 πολλαπλών είναι γραμμικές[8].
Θεωρία αναπαράστασης
Αφού διαπιστωθεί ότι μια ομάδα είναι γραμμική, είναι ενδιαφέρον να προσπαθήσουμε να βρούμε «βέλτιστες» πιστές γραμμικές παραστάσεις γι' αυτήν, λόγου χάριν της μικρότερης δυνατής διάστασης, ή ακόμη και να προσπαθήσουμε να ταξινομήσουμε όλες τις γραμμικές παραστάσεις της (συμπεριλαμβανομένων εκείνων που δεν είναι πιστές). Τα ερωτήματα αυτά αποτελούν αντικείμενο της θεωρίας αναπαραστάσεων. Τα κυριότερα μέρη της θεωρίας περιλαμβάνουν:
Θεωρία απεικόνισης των ομάδων Λι[9] και γενικότερα των γραμμικών αλγεβρικών ομάδων.
Η θεωρία απεικόνισης των άπειρων πεπερασμένων ομάδων είναι γενικά μυστηριώδης- το αντικείμενο ενδιαφέροντος σε αυτή την περίπτωση είναι οι ποικιλίες χαρακτήρων της ομάδας, οι οποίες είναι καλά κατανοητές μόνο σε πολύ λίγες περιπτώσεις, όπως για παράδειγμα οι ελεύθερες ομάδες, οι επιφανειακές ομάδες και γενικότερα τα πλέγματα στις ομάδες Λι (παραδείγματος χάριν μέσω του θεωρήματος υπερκαμψίας του Μαργκούλις και άλλων αποτελεσμάτων ακαμψίας).
Ιδιότητες
Ενώ οι γραμμικές ομάδες αποτελούν μια τεράστια κατηγορία παραδειγμάτων, μεταξύ όλων των άπειρων ομάδων διακρίνονται από πολλές αξιοσημείωτες ιδιότητες. Οι πεπερασμένα παραγόμενες γραμμικές ομάδες έχουν τις ακόλουθες ιδιότητες:
Είναι υπολειμματικά πεπερασμένα,
Το θεώρημα του Μπέρνσαϊντ: μια ομάδα στρέψης πεπερασμένου εκθέτη που είναι γραμμική πάνω σε ένα σώμα χαρακτηριστικού 0 πρέπει να είναι πεπερασμένη, [10]
Το θεώρημα του Σουρ: μια γραμμική ομάδα στρέψης είναι τοπικά πεπερασμένη. Συγκεκριμένα, αν έχει πεπερασμένη παραγωγή τότε είναι πεπερασμένη.[11]
Το λήμμα του Σέλμπεργκ: κάθε γραμμική ομάδα πεπερασμένης παραγωγής περιέχει μια υποομάδα πεπερασμένου δείκτη χωρίς στρέψη.[12]
Η εναλλακτική λύση του Tits δηλώνει ότι μια γραμμική ομάδα είτε περιέχει μια μη-αβελιανή ελεύθερη ομάδα είτε είναι πρακτικά επιλύσιμη (δηλαδή περιέχει μια επιλύσιμη ομάδα πεπερασμένου δείκτη). Αυτό έχει πολλές περαιτέρω συνέπειες, όπως επί παραδείγματι:
Η συνάρτηση Ντεν μιας πεπερασμένης γραμμικής ομάδας μπορεί να είναι μόνο πολυωνυμική ή εκθετική,
μια επιδεκτική γραμμική ομάδα είναι πρακτικά επιλύσιμη, ιδίως στοιχειωδώς επιδεκτική,
η εικασία φον Νόιμαν[13] είναι αληθής για τις γραμμικές ομάδες.
Παραδείγματα μη γραμμικών ομάδων
Δεν είναι δύσκολο να δώσουμε παραδείγματα μη γραμμικών ομάδων με άπειρη παραγωγή: λόγου χάριν, η άπειρη αβελιανή ομάδα (Z/2Z)N x (Z/3Z)N δεν μπορεί να είναι γραμμική[14] Εφόσον η συμμετρική ομάδα σε ένα άπειρο σύνολο περιέχει αυτή την ομάδα, δεν είναι επίσης γραμμική. Η εύρεση πεπερασμένων παραδειγμάτων είναι πιο λεπτή και συνήθως απαιτεί τη χρήση μιας από τις ιδιότητες που αναφέρονται παραπάνω.
Αφού κάθε πεπερασμένη γραμμική ομάδα είναι κατάλοιπα πεπερασμένη, δεν μπορεί να είναι ταυτόχρονα απλή και άπειρη. Έτσι, οι πεπερασμένα παραγόμενες άπειρες απλές ομάδες, λόγου χάριν η ομάδα F του Τόμσον και το πηλίκο της ομάδας του Χίγκμαν από μια μέγιστη κατάλληλη κανονική υποομάδα, δεν είναι γραμμικές.
Με βάση το συμπέρασμα της εναλλακτικής λύσης Τιτς που αναφέρθηκε παραπάνω, οι ομάδες ενδιάμεσης ανάπτυξης, όπως η ομάδα του Γκριγκόρτσουκ, δεν είναι γραμμικές.
Και πάλι, σύμφωνα με την εναλλακτική λύση Τιτς, όπως αναφέρθηκε παραπάνω, όλα τα αντιπαραδείγματα της εικασίας von Νόιμαν δεν είναι γραμμικά. Αυτό περιλαμβάνει την ομάδα F του Τόμσον και τις ομάδες τεράτων του Τάρσκι.
Με βάση το θεώρημα του Μπέρνσαϊντ, οι άπειρες, πεπερασμένης παραγωγής ομάδες στρέψης, όπως οι ομάδες τεράτων του Τάρσκι, δεν μπορούν να είναι γραμμικές.
Υπάρχουν παραδείγματα υπερβολικών ομάδων που δεν είναι γραμμικές, που λαμβάνονται ως πηλίκα πλεγμάτων στις ομάδες Λί Sp(n', 1).[15]
Η εξωτερική ομάδα αυτομορφισμού Out(Fn) της ελεύθερης ομάδας είναι γνωστό ότι δεν είναι γραμμική για n τουλάχιστον 4.[16]
Σε αντίθεση με την περίπτωση των ομάδων πλεξίδων, είναι ένα ανοικτό ερώτημα αν η ομάδα κλάσης απεικόνισης μιας επιφάνειας γένους > 1 είναι γραμμική.
Belevitch V (1950). «Theory of 2n-terminal networks with applications to conference telephony». Electrical Communication27: 231–244.
Bareiss, E. H. (1969), «Numerical solution of linear equations with Toeplitz and vector Toeplitz matrices», Numerische Mathematik13 (5): 404–424, doi:10.1007/BF02163269
Adian, Sergei (1982), «Random walks on free periodic groups», Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Mat.46 (6): 1139–1149, 1343,
Conder, Marston; Robertson, Edmund; Williams, Peter (1992), «Presentations for 3-dimensional special linear groups over integer rings», Proceedings of the American Mathematical Society (American Mathematical Society) 115 (1): 19–26, doi:10.2307/2159559
↑Aschenbrenner, Matthias· Friedl, Stefan· Wilton, Henry (2015). 3–manifolds groups. EMS Series of Lectures in Mathematics. European Math. Soc. Section 9.6.
↑Formanek, E.; Procesi, C. (1992). «The automorphism group of a free group is not linear». J. Algebra149 (2): 494–499. doi:10.1016/0021-8693(92)90029-l.
Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, Graduate Texts in Mathematics, 222 (2nd έκδοση), Springer, ISBN978-3319134666.
Rossmann, Wulf (2002), Lie Groups: An Introduction through Linear Groups, Oxford Graduate Texts in Mathematics, Oxford University Press, ISBN9780198596837.
