Στην γραμμική άλγεβρα, ο ανάστροφος πίνακας ${\displaystyle A^{T}}$ ενός πίνακα ${\displaystyle A}$ δίνεται από την αντανάκλαση των στοιχείων ως προς την κύρια διαγώνιο του πίνακα. Πιο συγκεκριμένα, για έναν ${\displaystyle n\times m}$ πίνακα ${\displaystyle A}$ ο ανάστροφός του είναι ο ${\displaystyle m\times n}$ πίνακας ${\displaystyle A^{T}}$, με ${\displaystyle (A^{T})_{ij}=A_{ji}}$ για κάθε ${\displaystyle 1\leq i\leq n}$ και ${\displaystyle 1\leq j\leq m}$.^{[1]:35[2]:190[3]:12-13[4]:8[5]}

Για παράδειγμα, για τον πίνακα ${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{bmatrix}}}$ με διαστάσεις ${\displaystyle 3\times 2}$ ο ανάστροφός του είναι ο ${\displaystyle A^{T}={\begin{bmatrix}1&3&5\\2&4&6\end{bmatrix}}}$ με διαστάσεις ${\displaystyle 2\times 3}$.

Στην γενική περίπτωση:

${\displaystyle A=\underbrace {\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&\ldots &A_{1m}\\A_{21}&A_{22}&\ldots &A_{2m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{n1}&A_{n2}&\ldots &A_{nm}\end{bmatrix}} _{n\times m}\qquad \qquad A^{T}=\underbrace {\begin{bmatrix}A_{11}&A_{21}&\ldots &A_{n1}\\A_{12}&A_{22}&\ldots &A_{n2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{1m}&A_{2m}&\ldots &A_{nm}\end{bmatrix}} _{m\times n}.}$

• Παρακάτω δίνονται κάποια συγκεκριμένα παραδείγματα πινάκων, μαζί με τον ανάστροφό τους:

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}\qquad A^{T}={\begin{bmatrix}1&3\\2&4\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle B={\begin{bmatrix}1&2\end{bmatrix}}\qquad B^{T}={\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle C={\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}}\qquad C^{T}={\begin{bmatrix}1&4\\2&5\\3&6\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle D={\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}}\qquad D^{T}={\begin{bmatrix}1&4&7\\2&5&8\\3&6&9\end{bmatrix}}}$

• Ο ανάστροφος του ${\displaystyle n\times 1}$ διανύσματος στήλης ${\displaystyle v}$ είναι το ${\displaystyle 1\times n}$ διάνυσμα γραμμής:

${\displaystyle \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\vdots \\v_{n}\end{bmatrix}}\qquad }$ και ${\displaystyle \qquad \mathbf {v} ^{T}={\begin{bmatrix}v_{1}&v_{2}&\ldots &v_{n}\end{bmatrix}}}$.

• Η αναστροφή του πίνακα γειτνίασης ενός κατευθυνόμενου γράφου αντιστοιχεί στον πίνακα γειτνίασης του γράφου με ακμές που έχουν αντίθετη φορά.

• Ο ανάστροφος του ανάστροφου μας δίνει τον αρχικό πίνακα, ${\displaystyle (A^{T})^{T}=A}$.^{[2]: 190 [6]:25}

• Η αναστροφή ενός πίνακα ${\displaystyle A\mapsto A^{T}}$ είναι γραμμικός μετασχηματισμός στον χώρο των πινάκων με ίδιες διστάσεις. Δηλαδή για κάθε πίνακες ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ διαστάσεων ${\displaystyle n\times m}$ και κάθε στοιχείο ${\displaystyle c}$, ισχύει ότι ${\displaystyle (cA)^{T}=cA^{T}}$ και ${\displaystyle (A+B)^{T}=A^{T}+B^{T}}$.^{[1]: 36 [2]: 190 [6]: 25}

• Για το γινόμενο δύο πινάκων ${\displaystyle A}$ και ${\displaystyle B}$, ισχύει ότι ${\displaystyle (AB)^{T}=B^{T}A^{T}}$.^{[1]: 36 [2]: 190 [6]: 25}

• Για έναν αντιστρέψιμο πίνακα ${\displaystyle A}$, ισχύει ότι ο ανάστροφός του είναι αντιστρέψιμος και ${\displaystyle (A^{T})^{-1}=(A^{-1})^{T}}$.^{[1]: 46 [6]: 25}

• Για έναν τετραγωνικό πίνακα ${\displaystyle A}$, το ίχνος ${\displaystyle \operatorname {tr} (A^{T})=\operatorname {tr} (A)}$.

• Για την ορίζουσα του αναστρέψιμου πίνακα, ${\displaystyle \operatorname {det} (A^{T})=\operatorname {det} (A)}$.^{[1]: 52 [6]: 25}

• Συμμετρικός πίνακας είναι κάθε τετραγωνικός πίνακας ${\displaystyle A}$ με ${\displaystyle A^{T}=A}$.
• Αντισυμμετρικός πίνακας είναι κάθε τετραγωνικός πίνακας ${\displaystyle A}$ με ${\displaystyle A^{T}=-A}$.
• Ορθογώνιος πίνακας είναι κάθε τετραγωνικός πίνακας ${\displaystyle A}$ με ${\displaystyle A^{T}A=AA^{T}}$.