Στη θεωρία αριθμών, η πρώτη εικασία Χάρντι-Λίτλγουντ^[1] δηλώνει τον ασυμπτωτικό τύπο για τον αριθμό των πρώτων k-tuples^[2] που είναι μικρότερες από ένα δεδομένο μέγεθος, γενικεύοντας το θεώρημα των πρώτων αριθμών. Προτάθηκε για πρώτη φορά από τους Γ. Χ. Χάρντι και Τζον Έντενσορ Λίτλγουντ το 1923^[3]

Έστω ${\displaystyle m_{1},m_{2},\ldots ,m_{k}}$ θετικοί ζυγοί ακέραιοι αριθμοί έτσι ώστε οι αριθμοί της ακολουθίας ${\displaystyle P=(p,p+m_{1},p+m_{2},\ldots ,p+m_{k})}$ δεν σχηματίζουν πλήρη κλάση υπολοίπων ως προς οποιονδήποτε πρώτο αριθμό και έστω ${\displaystyle \pi _{P}(n)}$ συμβολίζει τον αριθμό των πρώτων αριθμών ${\displaystyle p}$ μικρότερων από ${\displaystyle n}$ st. ${\displaystyle p+m_{1},p+m_{2},\ldots ,p+m_{k}}$ είναι όλα πρώτοι. Τότε ^[1][4]

${\displaystyle \pi _{P}(n)\sim C_{P}\int _{2}^{n}{\frac {dt}{\log ^{k+1}t}},}$

όπου

${\displaystyle C_{P}=2^{k}\prod _{q{\text{ prime,}} \atop q\geq 3}{\frac {1-{\frac {w(q;m_{1},m_{2},\ldots ,m_{k})}{q}}}{\left(1-{\frac {1}{q}}\right)^{k+1}}}}$

είναι ένα γινόμενο επί περιττών πρώτων αριθμών και ${\displaystyle w(q;m_{1},m_{2},\ldots ,m_{k})}$ δηλώνει τον αριθμό των διακριτών υπολοίπων των ${\displaystyle 0,m_{1},m_{2},\ldots ,m_{k}}$ modulo ${\displaystyle q}$.

Η περίπτωση ${\displaystyle k=1}$ και ${\displaystyle m_{1}=2}$ σχετίζεται με την εικασία των δίδυμων πρώτων. Συγκεκριμένα αν ${\displaystyle \pi _{2}(n)}$ δηλώνει τον αριθμό των δίδυμων πρώτων αριθμών μικρότερων από n τότε

${\displaystyle \pi _{2}(n)\sim C_{2}\int _{2}^{n}{\frac {dt}{\log ^{2}t}},}$

όπου

${\displaystyle C_{2}=2\prod _{\textstyle {q{\text{ prime,}} \atop q\geq 3}}\left(1-{\frac {1}{(q-1)^{2}}}\right)\approx 1.320323632\ldots }$

είναι η σταθερά των δίδυμων πρώτων.^[4]

Οι αριθμοί Σκιουζ για πρώτους k-tuples είναι μια επέκταση του ορισμού του αριθμού Σκιουζ σε πρώτους k-tuples που βασίζεται στην πρώτη εικασία των Χάρντι-Λίτλγουντ. Ο αρχικός πρώτος αριθμός p που παραβιάζει την ανισότητα Χάρντι-Λίτλγουντ για το k-tuple P, δηλαδή, τέτοιος ώστε

${\displaystyle \pi _{P}(p)>C_{P}\operatorname {li} _{P}(p),}$

(αν υπάρχει τέτοιος πρώτος) είναι ο αριθμός Σκιουζ (Skewes) για το P.^[4]

Η εικασία έχει αποδειχθεί ότι δεν συμβιβάζεται με τη δεύτερη εικασία Χάρντι - Λίτλγουντ.^[5]

Η εικασία των Μπέιτμαν-Χορν είναι μια σημαντική γενίκευση στη θεωρία αριθμών, που επεκτείνει την πρώτη εικασία των Χάρντι-Λίτλγουντ σε πολυώνυμα βαθμού μεγαλύτερου του 1.^[1]

Το 2013, ο Γιτάνγκ Ζανγκ απέδειξε την ύπαρξη απείρως πολλών ζευγών πρώτων αριθμών που χωρίζονται με διαφορά μικρότερη από 70 εκατομμύρια^[6][7]. Αν και αυτό δεν αποδεικνύει την εικασία Χάρντι-Λίτλγουντ στο σύνολό της, η ανακάλυψη αποτελεί σημαντική πρόοδο στην κατανόηση της κατανομής των πρώτων αριθμών.

Η ανακάλυψη του Ζανγκ άνοιξε το δρόμο για μια σειρά περαιτέρω ερευνών, που οδήγησαν στη σταδιακή μείωση αυτής της διαφοράς σε πολύ χαμηλότερα επίπεδα χάρη στη συλλογική εργασία πολλών μαθηματικών στο πρόγραμμα Polymath^[8][9]. Στο τέλος, η διαφορά μειώθηκε στο 246, μια θεαματική ανακάλυψη στον τομέα αυτό.

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
• Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών

• Θεωρία αριθμών
• Αλγεβρική θεωρία αριθμών
• Φυσικός λογάριθμος
• Δεύτερη Εικασία Χάρντι-Λίτλγουντ
• Δίδυμοι πρώτοι αριθμοί
• e (μαθηματική σταθερά)
• Πρώτος αριθμός
• Δίδυμοι πρώτοι αριθμοί
• Γενικευμένη υπόθεση Ρίμαν
• Προβλήματα του Λαντάου
• Εικασία του Λεζάντρ
• Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
• Αλγεβρική γεωμετρία
• Υπόθεση H του Σίνζελ
• Συνάρτηση Όιλερ
• Ευκλείδειος χώρος

• Weisstein, Eric W. (12 Δεκεμβρίου 2002). CRC Concise Encyclopedia of Mathematics. CRC Press. ISBN 978-1-4200-3522-3. 
• Deza, Elena (6 Αυγούστου 2021). Mersenne Numbers And Fermat Numbers. World Scientific. ISBN 978-981-12-3033-2. 
• Elwes, Dr Richard· Elwes, Richard (6 Ιουλίου 2017). Maths 1001: Absolutely Everything That Matters in Mathematics. Quercus. ISBN 978-1-78648-695-0. 
• Garcia, Stephan Ramon· Miller, Steven J. (13 Ιουνίου 2019). 100 Years of Math Milestones: The Pi Mu Epsilon Centennial Collection. American Mathematical Soc. ISBN 978-1-4704-3652-0. 
• Cleveland, Tristin (11 Απριλίου 2018). Number Theory. Scientific e-Resources. ISBN 978-1-83947-326-5. 
• Cai, Tianxin (7 Ιουλίου 2022). Perfect Numbers And Fibonacci Sequences. World Scientific. ISBN 978-981-12-4409-4. 
• Macfarlane, Alan· Turin, Mark (30 Σεπτεμβρίου 2021). Science and Religion: Edwin Salpeter, Owen Gingerich and John Polkinghorne. Routledge. ISBN 978-1-000-46790-1. 
• Aflitunov, Albert (26 Οκτωβρίου 2024). Arithmetic (number theory). Litres. ISBN 978-5-04-688265-0. 
• Broughan, Kevin (25 Φεβρουαρίου 2021). Bounded Gaps Between Primes: The Epic Breakthroughs of the Early Twenty-First Century. Cambridge University Press. ISBN 978-1-108-83674-6. 
• Davis, Ernest· Davis, Philip J. (17 Νοεμβρίου 2015). Mathematics, Substance and Surmise: Views on the Meaning and Ontology of Mathematics. Springer. ISBN 978-3-319-21473-3. 
• Neale, Vicky (2017). Closing the Gap: The Quest to Understand Prime Numbers. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-878828-7. 

• Aneva, B. (1999), «Symmetry of the Riemann operator», Physics Letters B 450 (4): 388–396, doi:10.1016/s0370-2693(99)00172-0, http://www.secamlocal.ex.ac.uk/people/staff/mrwatkin/zeta/aneva.pdf .

Wolf, M. (2020), «Will a physicist prove the Riemann hypothesis?», Reports on Progress in Physics 83 (4): 036001, doi:10.1088/1361-6633/ab3de7, PMID 31437818, https://iopscience.iop.org/article/10.1088/1361-6633/ab3de7 .

• Elizalde, Emilio (1994), Zeta regularization techniques with applications, World Scientific, ISBN 978-981-02-1441-8 . Here the author explains in what sense the problem of Hilbert–Polya is related with the problem of the Gutzwiller trace formula and what would be the value of the sum ${\displaystyle \exp(i\gamma )}$ taken over the imaginary parts of the zeros.
• Pollack, Paul (2008). «An explicit approach to hypothesis H for polynomials over a finite field». Στο: De Koninck, Jean-Marie· Granville, Andrew· Luca, Florian, επιμ. Anatomy of integers. Based on the CRM workshop, Montreal, Canada, March 13–17, 2006. CRM Proceedings and Lecture Notes. 46. Providence, RI: American Mathematical Society. σελίδες 259–273. ISBN 978-0-8218-4406-9. Zbl 1187.11046. 

• Apostol, Thomas M. (1976), Introduction to Analytic Number Theory, New York: Springer, ISBN 0-387-90163-9, https://archive.org/details/introductiontoan00apos_0 
• Conway, John Horton; Guy, Richard K. (1996), The Book of Numbers, New York: Copernicus, ISBN 978-0-387-97993-9 
• Crandall, Richard; Pomerance, Carl (2005), Prime Numbers: A Computational Perspective (2nd έκδοση), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-25282-7 
• Singer, I. M.· Thorpe, J. A. (28 Μαΐου 2015). Lecture Notes on Elementary Topology and Geometry. Springer. ISBN 978-1-4615-7347-0. 
• Apostol, Tom M. (29 Ιουνίου 2013). Introduction to Analytic Number Theory. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4757-5579-4. 
• Miller, P. D. (2006), Applied Asymptotic Analysis, American Mathematical Society, ISBN 9780821840788, https://books.google.com/books?id=KQvqBwAAQBAJ 
• Apostol, Thomas M. (1976), Introduction to Analytic Number Theory, New York: Springer, ISBN 0-387-90163-9, https://archive.org/details/introductiontoan00apos_0