Ο Ρίμαν γεννήθηκε στο Μπρέζελεντς (Breselenz), ένα χωριό κοντά στο Ντάνενμπεργκ, στο κρατίδιο Ανόβερο της Γερμανίας. Ο πατέρας του, ο Friedrich Bernhard Riemann, ήταν ένας φτωχός Λουθηρανόςπάστορας στο χωριό και είχε πολεμήσει στους Ναπολεόντειους Πολέμους. Η μητέρα του πέθανε πριν μεγαλώσουν τα παιδιά της. Ο Ρίμαν ήταν το δεύτερο από 6 παιδιά, ντροπαλός και με νευρικές καταρρεύσεις. Ωστόσο, έδειξε ασυνήθιστες μαθηματικές ικανότητες, όπως αφάνταστη ταχύτητα στους υπολογισμούς, από μικρή ηλικία, αλλά υπέφερε από δειλία και φόβο να μιλά δημόσια.
Στο σχολείο ο Ρίμαν μελέτησε πολύ τη Βίβλο αλλά το μυαλό του συχνά γυρνούσε στα μαθηματικά. Προσπάθησε ακόμα και να αποδείξει μαθηματικά την ορθότητα της Γενέσεως. Οι δάσκαλοί του έμεναν κατάπληκτοι από την ευφυΐα του και την ικανότητά του να εκτελεί εξαιρετικά πολύπλοκες μαθηματικές πράξεις. Συχνά ξεπερνούσε τις γνώσεις των δασκάλων του. Το 1840 ο Ρίμαν πήγε στο Ανόβερο να ζήσει με τη γιαγιά του, ώστε να σπουδάσει περαιτέρω. Μετά τον θάνατό της το 1842, γράφτηκε στο Johanneum («Ιωάννειο Λύκειο») στο Λύνεμπουργκ. Το 1846, σε ηλικία 19 ετών, άρχισε να μελετά φιλολογία και Χριστιανική θεολογία ώστε να γίνει ιερέας και να βοηθήσει έτσι οικονομικά την οικογένειά του. Αλλά τον επόμενο χρόνο, ο πατέρας του, αφού κατόρθωσε να συγκεντρώσει με μεγάλες δυσκολίες αρκετά χρήματα για να τον στείλει στο πανεπιστήμιο, του επέτρεψε να αφήσει τη θεολογία και να αρχίσει σπουδές στα μαθηματικά. Τον έστειλε στο γνωστό Πανεπιστήμιο του Γκέτινγκεν, όπου συνάντησε τον μεγάλο μαθηματικό Καρλ Φρίντριχ Γκάους και παρακολούθησε διαλέξεις του πάνω στη μέθοδο των ελάχιστων τετραγώνων.
Τα ώριμα χρόνια
Σύντομα ωστόσο ο Ρίμαν μετακόμισε στο Βερολίνο, όπου δίδασκαν οι Γιακόμπι, Ντίριχλετ και Στάινερ.[12] Παρέμεινε στο Βερολίνο για μία διετία και έπειτα επέστρεψε στο Γκέτινγκεν το 1849.
Ο Ρίμαν άρχισε να δίνει διαλέξεις το 1854, διαλέξεις που θεμελίωσαν τη γεωμετρία που σήμερα αποκαλείται «Ριμάνεια». Μετά από μια αποτυχημένη προσπάθεια να γίνει καθηγητής κατ' εξαίρεση στο Πανεπιστήμιο του Γκέτινγκεν σε ηλικία μόλις 31 ετών (το 1857), ο Ρίμαν απέκτησε ένα κανονικό μισθό. Το 1859 τελικά, μετά τον θάνατο των Γκάους και Ντίριχλετ, εκλέχθηκε καθηγητής και επικεφαλής του τμήματος μαθηματικών εκεί. Υπήρξε ο πρώτος που πρότενε να χρησιμοποιηθούν πάνω από τρεις ή τέσσερις διαστάσεις για τη μοντελοποίηση της φυσικής πραγματικότητας.[13][14]
Το 1862 ο Ρίμαν νυμφεύθηκε την Elise Koch, με την οποία απέκτησαν μία κόρη.[15]
Ο Ρίμαν έφυγε από το Γκέτινγκεν το 1866, όταν ο στρατός του Ανόβερου και της Πρωσίας πολεμούσαν εκεί.[16] Πέθανε από φυματίωση στο τρίτο του ταξίδι στην Ιταλία, στη Σελάσκα, στις ακτές της Λίμνης Ματζόρε, όπου παραθέριζε εξαιτίας του καλού κλίματος για την πάθησή του. Τάφηκε στο Μπιγκαντσόλο (Biganzolo) της Βερμπανία (Verbania).
Ο Ρίμαν ήταν αφοσιωμένος Χριστιανός, γιος ενός Προτεστάντη ιερέα, και έβλεπε τη ζωή του ως μαθηματικό ως έναν άλλο τρόπο για να υπηρετεί τον Θεό. Κατά τη διάρκεια της ζωής του, ήταν δεμένος με τη Χριστιανική του πίστη και το θεωρούσε την πιο σημαντική πτυχή της ζωής του. Στη στιγμή του θανάτου του έλεγε την προσευχή με τη σύζυγό του και πέθανε πριν ολοκληρώσει την προσευχή.[17]
Εν τω μεταξύ, στο Γκέτινγκεν η οικονόμος του πέταξε μερικά από τα χαρτιά στο γραφείο του, συμπεριλαμβανομένων πολλών αδημοσίευτων έργων του. Ο Ρίμαν αρνήθηκε να δημοσιεύσει ημιτελή έργα και μερικές βαθιές γνώσεις μπορεί να έχουν χαθεί.[16]
Ο τάφος του Ρίμαν στο Biganzolo της Ιταλίας, αναφέρετε στο Ρωμ. 8:28:[18]
Εδώ αναπαύεται εν Θεώ
Georg Friedrich Bernhard Riemann
Καθηγητής στο Γκέτινγκεν
γεννημένος στο Μπρέζελεντς, 17 Σεπτεμβρίου 1826
πέθανε στη Selasca, 20 Ιουλίου 1866
Για αυτούς που αγαπούν τον Θεό, όλα συνεργάζονται για το καλό τους
Πολύ γνωστές είναι και κάποιες συνεισφορές του Ρίμαν στη σύγχρονη αναλυτική Θεωρία αριθμών. Σε μία και μόνη σύντομη δημοσίευση (τη μοναδική του επί της θεωρίας αριθμών), εισήγαγε την αποκαλούμενη συνάρτηση ζ του Ρίμαν και έδειξε τη σημασία της για την κατανόηση της κατανομής των πρώτων αριθμών. Διατύπωσε μια σειρά από εικασίες σχετικές με ιδιότητες της συναρτήσεως ζ, μία από τις οποίες είναι η περιβόητη υπόθεση του Ρίμαν.
Το 1853, ο Γκάους ζήτησε από τον φοιτητή του Ρίμαν να ετοιμάσει και να παρουσιάσει μια διατριβή επί υφηγεσία πάνω στα θεμέλια της γεωμετρίας. Μετά από πολλούς μήνες ο Ρίμαν ανέπτυξε τη θεωρία του για τις ανώτερες διαστάσεις. Όταν τελικά έδωσε τη διάλεξή του στο Γκέτινγκεν το 1854, το μαθηματικό κοινό την υποδέχθηκε με ενθουσιασμό. Θεωρείται ακόμα μία από τις σημαντικότερες εργασίες για τη γεωμετρία. Ο τίτλος της ήταν Über die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen («Επί των υποθέσεων που βρίσκονται στα θεμέλια της Γεωμετρίας»).
Αυτό που θεμελίωσε η παραπάνω εργασία ήταν η Ριμάνεια γεωμετρία. Ο Ρίμαν βρήκε τον σωστό τρόπο να επεκτείνει σε διαστάσεις τη διαφορική γεωμετρία των επιφανειών, την οποία ο ίδιος ο Γκάους είχε αποδείξει με το theorema egregium. Το θεμελιώδες εδώ είναι ο Τανυστής καμπυλότητας Ρίμαν. Για την περίπτωση μιας επιφάνειας, αυτός μπορεί να αναχθεί σε ένα αριθμό (βαθμωτό), θετικό, αρνητικό ή μηδέν: οι μη μηδενικές και σταθερές περιπτώσεις είναι τα μοντέλα των γνωστών μη ευκλείδειων γεωμετριών.
Ανώτερες διαστάσεις
Η ιδέα του Ρίμαν ήταν να εισαγάγει ένα σύνολο αριθμών για κάθε σημείο του χώρου που θα περιέγραφαν το πόσο καμπυλωμένος ήταν. Βρήκε ότι στους χώρους τεσσάρων διαστάσεων χρειάζονται 10 αριθμοί σε κάθε σημείο για την πλήρη περιγραφή των ιδιοτήτων μιας πολλαπλότητας, όσο και όπως παραμορφωμένη και να είναι αυτή. Αυτός είναι ο περίφημος μετρικός τανυστής.
