In der Mathematik ist die Weyl-Gruppe ein wichtiges Hilfsmittel zur Untersuchung von Lie-Gruppen und Lie-Algebren und allgemeiner von Wurzelsystemen. Sie ist nach Hermann Weyl benannt, der 1925 ihre Bedeutung erkannte.

Es sei ${\displaystyle G}$ eine halbeinfache Lie-Gruppe und

${\displaystyle G=KAN}$

ihre Iwasawa-Zerlegung (K ist eine kompakte Untergruppe, A eine abelsche und N eine nilpotente). Es seien ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{G}(A)}$ der Normalisator von ${\displaystyle A}$ in ${\displaystyle G}$ und ${\displaystyle {\mathcal {Z}}_{G}(A)}$ der Zentralisator von ${\displaystyle A}$ in ${\displaystyle G}$. Die Weyl-Gruppe ist definiert als

${\displaystyle W={\mathcal {N}}_{G}(A)/{\mathcal {Z}}_{G}(A)}$.

Sie ist eine endliche Gruppe, die von Elementen der Ordnung 2 erzeugt wird.

Für jeden maximalen Torus ${\displaystyle T\subset G}$ sei ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{G}(T)}$ und ${\displaystyle {\mathcal {Z}}_{G}(T)}$ der Normalisator und Zentralisator von ${\displaystyle T}$, dann ist

${\displaystyle W={\mathcal {N}}_{G}(T)/{\mathcal {Z}}_{G}(T)={\mathcal {N}}_{G}(T)/T}$

die Weyl-Gruppe von ${\displaystyle T}$.

Es sei ${\displaystyle R}$ ein Wurzelsystem in einem Vektorraum ${\displaystyle V}$, dann heißt die von den Spiegelungen an den von den Wurzeln erzeugten Hyperebenen

${\displaystyle \left\{s_{\mathrm {A} }:\mathrm {A} \in R\right\}}$

erzeugte Gruppe ${\displaystyle W}$ die Weyl-Gruppe des Wurzelsystems.

Falls ${\displaystyle G}$ eine halbeinfache Lie-Gruppe mit Lie-Algebra ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ist, dann betrachtet man eine Cartan-Unteralgebra ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\subset {\mathfrak {g}}}$ und das dazugehörige Wurzelsystem ${\displaystyle R}$. Die Weyl-Gruppe von ${\displaystyle ({\mathfrak {a}},R)}$ stimmt mit der Weyl-Gruppe von ${\displaystyle G}$ überein.

Das längste Element der Weyl-Gruppe (zu einem gegebenen Wurzelsystem) ist das Element maximaler Länge bzgl. des durch Spiegelungen an den von Wurzeln erzeugten Hyperebenen gegebenen Erzeugendensystems.

Die Weyl-Gruppe der speziellen linearen Gruppe ${\displaystyle SL(n,\mathbb {R} )}$ ist die symmetrische Gruppe ${\displaystyle S_{n}}$. Das längste Element ist die Permutation ${\displaystyle (1,2,\ldots ,n-1,n)\to (n,n-1,\ldots ,2,1)}$.

• Michael Davis: The Geometry and Topology of Coxeter Groups, ISBN 978-0-691-13138-2

• Alexander Kirillov: An introduction to Lie groups and Lie algebras, PDF (Kapitel 8)
• Encyclopedia of Mathematics, A. S. Fedenko