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Der Satz von den Ergänzungsparallelogrammen ist ein Lehrsatz der Elementargeometrie über die Flächeninhalte von Parallelogrammen.

Formulierung des Satzes

Der Satz besagt folgendes:^[1]^[2]^[3]^[4]^[5]^[6]

Gegeben sei ein Parallelogramm ${\mathcal {P}}=ABCD$ der euklidischen Ebene und darin sei $d$ eine der beiden Diagonalen, etwa (oBdA) $d=AC$ .

Weiter sei $Z$ ein innerer Punkt von $d$ .

Durch $Z$ seien die beiden Parallelen zu den Seiten von ${\mathcal {P}}$ gezogen, welche ${\mathcal {P}}$ in vier Teilparallelogramme unterteilen, wobei $Z$ deren alleiniger gemeinsamer Punkt ist.

Dann gilt:

Die beiden Teilparallelogramme, welche von der Diagonalen $d$ nicht zerlegt werden, also mit $d$ allein den Punkt $Z$ gemeinsam haben, sind ergänzungsgleich und daher von identischem Flächeninhalt.

Herleitung und Erläuterung

Die vier Teilparallelogramme von ${\mathcal {P}}$ seien mit ${\mathcal {P}}_{A},{\mathcal {P}}_{B},{\mathcal {P}}_{C},{\mathcal {P}}_{D}$ bezeichnet. Die Indizierung orientiert sich an den Eckpunkten von ${\mathcal {P}}$ . Es ist also ${\mathcal {P}}_{X}$ dasjenige Teilparallelogramm, welches den Eckpunkt $X$ $(X=A,B,C,D)$ enthält. Folglich sind aus Konvexitätsgründen die beiden Teilparallelogramme, welche mit der Diagonalen $d$ allein den Punkt $Z$ gemeinsam haben, ${\mathcal {P}}_{B}$ und ${\mathcal {P}}_{D}$ , während ${\mathcal {P}}_{A}$ und ${\mathcal {P}}_{C}$ diejenigen beiden Teilparallelogramme seien, welche mit $d$ mehr als einen Punkt gemeinsam haben.

$d$ zerlegt nun ${\mathcal {P}}$ in zwei kongruente Dreiecke, nämlich in $ABC$ und $ACD$ , und genauso zerlegt $d$ sowohl ${\mathcal {P}}_{A}$ als auch ${\mathcal {P}}_{C}$ jeweils in zwei kongruente Dreiecke.

Sind hier nun ${\Delta }_{1}$ und ${\Delta }_{2}$ die beiden Zerlegungsdreiecke von ${\mathcal {P}}_{A}$ beziehungsweise ${\Delta }_{3}$ und ${\Delta }_{4}$ die beiden Zerlegungsdreiecke von ${\mathcal {P}}_{C}$ und dabei ${\Delta }_{1}$ und ${\Delta }_{3}$ innerhalb des Dreiecks $ABC$ beziehungsweise ${\Delta }_{2}$ und ${\Delta }_{4}$ innerhalb des Dreiecks $ACD$ gelegen, so wird $ABC$ in die drei Flächenstücke ${\Delta }_{1}$ und ${\Delta }_{3}$ und ${\mathcal {P}}_{B}$ zerlegt und genauso $ACD$ in die drei Flächenstücke ${\Delta }_{2}$ und ${\Delta }_{4}$ und ${\mathcal {P}}_{D}$ .

Folglich ergeben sich hinsichtlich der Flächeninhalte die Identitäten

(I)

F_{ABC}=F_{ACD}={\frac {F_{ABCD}}{2}}

(II)

F_{ABC}=F_{{\Delta }_{1}}+F_{{\Delta }_{3}}+F_{{\mathcal {P}}_{B}}

(III)

F_{ACD}=F_{{\Delta }_{2}}+F_{{\Delta }_{4}}+F_{{\mathcal {P}}_{D}}

und daraus wegen der genannten Kongruenzbeziehungen unmittelbar die Identität

(IV)

F_{{\mathcal {P}}_{B}}=F_{{\mathcal {P}}_{D}}

.

Dies bedeutet auch:

{\mathcal {P}}_{B}

und

{\mathcal {P}}_{D}

sind ergänzungsgleich.

Denn durch Hinzufügung endlich vieler paarweise kongruenter Vielecke werden aus ${\mathcal {P}}_{B}$ und ${\mathcal {P}}_{D}$ zwei kongruente Vielecke erhalten, nämlich die beiden Dreiecke $ABC$ und $ACD$ ^[7]

Dies beweist den Satz.

Zur Terminologie

Die beiden Teilparallelogramme ${\mathcal {P}}_{B}$ und ${\mathcal {P}}_{D}$ werden wegen des in dem Satz dargestellten Sachverhalts Ergänzungsparallelogramme genannt. Damit ist auch der Name des Satzes selbst erklärt.

Literatur

P. S. Alexandroff, A. I. Markuschewitsch, A. J. Chintschin [Red.]: Enzyklopädie der Elementarmathematik. Band V. Geometrie (= Hochschulbücher für Mathematik. Band 11). Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1971.
Hermann Athen, Jörn Bruhn (Hrsg.): Lexikon der Schulmathematik und angrenzender Gebiete. Band 1. A–E. Aulis Verlag Deubner, Köln 1977, ISBN 3-7614-0242-2.
Walter Gellert, Herbert Kästner, Siegfried Neuber (Hrsg.): Fachlexikon ABC Mathematik. Verlag Harri Deutsch, Thun / Frankfurt/Main 1978, ISBN 3-87144-336-0.
Hugo Fenkner, Karl Holzmüller: Mathematisches Unterrichtswerk. Nach den Richtlinien für die Lehrpläne der höheren Schulen Preußens neu bearbeitet von Karl Holzmüller. 12. Auflage. Geometrie. Ausgabe A in 2 Teilen. I. Teil. Verlag von Otto Salle, Berlin 1926.
Johannes Kratz: Geometrie (= Mathematik für Gymnasien. Band 4). 4. Auflage. Bayerischer Schulbuch Verlag, München 1966.
Theophil Lambacher, Wilhelm Schweizer (Hrsg.): Lambacher-Schweizer. Mathematisches Unterrichtswerk für höhere Schulen. Geometrie. Ausgabe E. Teil 1. 15. Auflage. Ernst Klett Verlag, Stuttgart 1965.
Harald Scheid (Hrsg.): DUDEN: Rechnen und Mathematik. 4., völlig neu bearbeitete Auflage. Bibliographisches Institut, Mannheim / Wien / Zürich 1985, ISBN 3-411-02423-2.

Einzelnachweise

↑ Hugo Fenkner, Karl Holzmüller: Mathematisches Unterrichtswerk. Nach den Richtlinien für die Lehrpläne der höheren Schulen Preußens neu bearbeitet von Karl Holzmüller. 12. Auflage. Geometrie. Ausgabe A in 2 Teilen. I. Teil. Verlag von Otto Salle, Berlin 1926, S. 127.
↑ Johannes Kratz: Geometrie (= Mathematik für Gymnasien. Band 4). 4. Auflage. Bayerischer Schulbuch Verlag, München 1966, S. 172.
↑ Theophil Lambacher, Wilhelm Schweizer (Hrsg.): Lambacher-Schweizer. Mathematisches Unterrichtswerk für höhere Schulen. Geometrie. Ausgabe E. Teil 1. 15. Auflage. Ernst Klett Verlag, Stuttgart 1965, S. 59.
↑ Fachlexikon ABC Mathematik. S. 135.
↑ DUDEN: Rechnen und Mathematik. S. 142.
↑ Lexikon der Schulmathematik. Band 1, S. 247.
↑ Enzyklopädie der Elementarmathematik. Band V, S. 140.