Die Rutherford-Streuung beschreibt die Ablenkung von geladenen Partikeln durch die Coulomb-Kraft an einem punktförmigen geladenen Streuzentrum. Im Ausgangsversuch wurde die Streuung von Alpha-Teilchen an Gold-Atomkernen untersucht. Die resultierenden Teilchenbahnen sind Hyperbeln. Die Verteilung der gestreuten Teilchen ließ erstmals darauf schließen, dass die positive Ladung und die Masse in den Atomen sich auf einen extrem kleinen Raum im Zentrum des Atoms konzentrieren. Bis dahin hatte man das Modell von J. J. Thomson angenommen, bei dem die positive Ladung des Atoms homogen im ganzen Atom verteilt ist (thomsonsches Atommodell). An diesen Experimenten waren unter Ernest Rutherfords Leitung Hans Geiger und Ernest Marsden beteiligt. Das Experiment zeigte überraschenderweise auch nach hinten abgelenkte Alphateilchen, was Rutherford so kommentiert haben soll: „Dies ist so unwahrscheinlich, als ob man mit einer Pistole auf einen Wattebausch schießt und die Kugel zurückprallt.“^[1]

In einen Bleiblock mit Öffnung zu einer Seite hin wird ein radioaktiver Stoff gelegt, der Strahlung abgibt: Alpha-, Beta- und Gamma-Strahlung. Die aus der Öffnung im Bleiblock austretenden Strahlen werden durch ein elektrisches Feld geleitet, um sie voneinander zu trennen. Dadurch werden die negativen Elektronen (Beta-Strahlen) zum positiven Pol und die positiven Helium-Atomkerne (Alpha-Strahlen) zum negativen Pol abgelenkt, während die Richtung der ungeladenen Photonen (Gamma-Strahlen) unverändert bleibt. Die Alpha-Strahlung wird senkrecht auf eine nur 0,5 μm dicke Goldfolie (ca. 1000 Atome hintereinander) gerichtet. Die aus der Folie austretende Strahlung lässt sich danach mit einem Leuchtschirm oder einem daran befestigten Film sichtbar machen. Gold wurde verwendet, da es sich schon damals mit einfachen mechanischen Mitteln zu sehr dünnen Schichten verarbeiten ließ und eine hohe Atommasse besitzt. Daher stammt auch die Bezeichnung Goldfolienexperiment.

• Fast alle Alpha-Teilchen können die Goldfolie ungehindert passieren.
• Etwa jedes 100.000ste Alpha-Teilchen wird um 90 Grad oder mehr abgelenkt.^[2]
• Je größer der Streuwinkel, desto seltener tritt diese Ablenkung auf.
• Einige Alpha-Teilchen werden zurückgestreut.

Für die beobachtete Verteilung hat Rutherford die unten beschriebene Streuformel entwickelt.

Die extrem seltene Ablenkung der Alpha-Teilchen und deren Winkelverteilung lassen sich dadurch verstehen, dass sich in den Atomen nur ein sehr kleines Massezentrum befindet, das positiv geladen ist. Man nennt dieses Massezentrum den Atomkern. Da die meisten Teilchen die Goldfolie ungehindert passieren, muss zwischen den Kernen ein großer Freiraum bestehen. Dieses Ergebnis führte zu dem rutherfordschen Atommodell. Die Elektronen, welche sich in dem relativ zum Kerndurchmesser riesigen leeren Raum um den Kern bewegen, schirmen die konzentrierte positive Kern-Ladung ab, sodass das Atom nach außen hin neutral erscheint.

Die rutherfordsche Streuformel gibt den differentiellen Wirkungsquerschnitt (auch Streuquerschnitt genannt) in Abhängigkeit vom Streuwinkel ${\displaystyle \vartheta }$ im Schwerpunktsystem an:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \Omega }}=\left({\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Z_{1}Z_{2}}{4E_{0}}}\right)^{2}{\frac {1}{\sin ^{4}\left({\frac {\vartheta }{2}}\right)}}}$

Die gleiche Formel in kernphysikalisch praktischen Einheiten:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \Omega }}[\mathrm {barn} ]\approx 1{,}3\cdot 10^{-3}\left({\frac {Z_{1}Z_{2}}{E_{0}[\mathrm {MeV} ]}}\right)^{2}{\frac {1}{\sin ^{4}\left({\frac {\vartheta }{2}}\right)}}}$

Damit ist die Wahrscheinlichkeitsdichte beschrieben, dass Teilchen eine Ablenkung um den Winkel ${\displaystyle \vartheta }$ erleiden. In einem Raumwinkelelement ${\displaystyle \Delta \Omega =\Delta \vartheta \Delta \varphi }$ treffen ${\displaystyle {\tfrac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \Omega }}\,\Delta \Omega }$ Telchen ein.

In der Formel werden weiterhin folgende Größen benutzt:

Elektrische Feldkonstante (Dielektrizitätskonstante)	${\displaystyle \varepsilon _{0}=8{,}854\cdot 10^{-12}\,{\frac {\mathrm {C} }{\mathrm {Vm} }}}$
Ladung der Teilchen im einfallenden Strahl	${\displaystyle Z_{1}e}$
Ladung des Atomkerns	${\displaystyle Z_{2}e}$
Elementarladung	${\displaystyle e=1{,}602\cdot 10^{-19}\,\mathrm {C} }$
Anfangsenergie des gestreuten Teilchens	${\displaystyle E_{0}}$

Auf den numerischen Vorfaktor kommt man schnell, indem man ${\displaystyle {\tfrac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}}}}$ durch die Feinstrukturkonstante ${\displaystyle \alpha \ =\ {\tfrac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\;{\tfrac {e^{2}}{\hbar c}}\approx 1/137}$ ausdrückt und darin ${\displaystyle \hbar c\approx 197\,\mathrm {MeV} \cdot \mathrm {fm} }$ einsetzt.

Rutherford leitete die rutherfordsche Streuformel aus der klassischen Physik her. Eine vollständige quantenmechanische Behandlung des Problems ergibt in der bornschen Näherung für die Intensität der gestreuten Teilchen dieselbe Streuformel. Quantenmechanische Effekte aus den höheren Näherungen und auch die exakte Lösung betreffen nur noch die quantenmechanischen Phase der Streuwelle. Dies kann sich nur auswirken, wenn Wellen zu verschiedenen Ablenkwinkeln kohärent überlagert werden, wie es bei der Streuung identischer Teilchen eintritt.^[3] Ein Problem der rutherfordschen Formel ist der Grenzfall ${\displaystyle \vartheta =0}$, wo der differentielle Wirkungsquerschnitt unendlich groß wird. Kleine Winkel entsprechen einem großen Stoßparameter. Bei sehr großen Stoßparametern schirmen die Atomelektronen den Kern jedoch ab.

Aufgrund der abstoßenden Wirkung der Coulombkraft ${\displaystyle F={\frac {Z_{1}Z_{2}e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}r^{2}}}}$ ergibt sich für die Bahn des Alphateilchens (${\displaystyle Z_{1}=2}$) eine Hyperbel.

Die große Halbachse a der Hyperbel lässt sich aus dem Ansatz

${\displaystyle E_{\mathrm {kin} }=e\Phi _{c}={\frac {Z_{1}Z_{2}e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}2a}}={\frac {Z_{1}Z_{2}e^{2}}{8\pi \varepsilon _{0}a}}}$

bestimmen, wobei sich aufgrund der Hyperbelform der Bahn ${\displaystyle 2a}$ als der minimale Abstand des Alphateilchens ergibt, wenn es zentral mit dem Kern stößt. ${\displaystyle a}$ ist von der kinetischen Energie abhängig und kann auch für Stöße, die nicht zentral sind, übernommen werden. Der Stoßparameter ${\displaystyle b}$ ist der minimale Abstand des Alphateilchens zum Kern, wenn es auf einer Geraden weiter fliegen würde. Tatsächlich wird das Alphateilchen um den Winkel ${\displaystyle \vartheta }$ gestreut. Aus der Geometrie der Hyperbel erhält man folgende Gleichungen:

${\displaystyle \tan \left(\alpha \right)={\frac {b}{a}}=\tan \left(90^{\circ }-{\frac {\vartheta }{2}}\right)=\cot \left({\frac {\vartheta }{2}}\right)}$,

da ${\displaystyle 2\alpha +\vartheta =180^{\circ }}$ und damit

${\displaystyle \cot {\frac {\vartheta }{2}}={\frac {b}{a}}={\frac {8\pi \varepsilon _{0}E_{\mathrm {kin} }}{Z_{1}Z_{2}e^{2}}}b}$.

Durch Ableitung der letzten Formel erhält man einen Zusammenhang zwischen der Breite ${\displaystyle \mathrm {d} b}$ eines Hohlzylinders und der zugehörigen Breite ${\displaystyle \mathrm {d} \vartheta }$ des Ablenkwinkels ${\displaystyle \vartheta }$.

${\displaystyle -{\frac {1}{2\sin ^{2}{\frac {\vartheta }{2}}}}\mathrm {d} \vartheta ={\frac {8\pi \varepsilon _{0}E_{\mathrm {kin} }}{Z_{1}Z_{2}e^{2}}}\mathrm {d} b}$

Sei ${\displaystyle z={\frac {n}{V}}}$ die Teilchendichte (${\displaystyle n}$ Atome pro Volumen ${\displaystyle V}$) des Streumaterials und ${\displaystyle x}$ die Dicke der Folie, so gibt ${\displaystyle \sigma ={\frac {A}{n}}={\frac {\frac {V}{x}}{n}}={\frac {1}{zx}}}$ die durchschnittliche Querschnittsfläche pro Atom an, die das Alphateilchen beim Durchgang durch die Folie erfährt. ${\displaystyle \sigma }$ nennt man auch den Wirkungsquerschnitt.

Die Wahrscheinlichkeit ${\displaystyle P(\vartheta )\mathrm {d} \vartheta }$ im Ring des Hohlzylinders zu landen ergibt sich dann aus

${\displaystyle P(\vartheta )\mathrm {d} \vartheta ={\frac {A_{b}}{\sigma }}={\frac {2\pi bdb}{\frac {1}{zx}}}=zx2\pi b\mathrm {d} b}$.

Von ${\displaystyle N}$ Teilchen werden ${\displaystyle \mathrm {d} N}$ in den Hohlkegel gestreut. Die Wahrscheinlichkeit dafür ist

${\displaystyle {\begin{aligned}P(\vartheta )\mathrm {d} \vartheta &={\frac {\mathrm {d} N}{N}}=zx2\pi b\mathrm {d} b\\&=zx2\pi {\frac {Z_{1}Z_{2}e^{2}}{8\pi \varepsilon _{0}E_{\mathrm {kin} }}}\cot {\frac {\vartheta }{2}}\cdot {\frac {Z_{1}Z_{2}e^{2}}{8\pi \varepsilon _{0}E_{\mathrm {kin} }}}\cdot {\frac {1}{2\sin ^{2}{\frac {\vartheta }{2}}}}\mathrm {d} \vartheta \\&=zx{\frac {Z_{1}^{2}Z_{2}^{2}e^{4}}{64\pi \varepsilon _{0}^{2}E_{\mathrm {kin} }^{2}}}\cdot {\frac {\cos {\frac {\vartheta }{2}}}{\sin ^{3}{\frac {\vartheta }{2}}}}\mathrm {d} \vartheta \end{aligned}}}$

${\displaystyle \mathrm {d} N}$ gibt die Anzahl der Teilchen in den Raumwinkel ${\displaystyle \mathrm {d} \Omega }$ an.

${\displaystyle \mathrm {d} \Omega =2\pi \sin(\vartheta )d\vartheta =4\pi \sin {\frac {\vartheta }{2}}\cos {\frac {\vartheta }{2}}\mathrm {d} \vartheta }$

Daraus folgt:

${\displaystyle \mathrm {d} \vartheta ={\frac {1}{4\pi \sin {\frac {\vartheta }{2}}\cos {\frac {\vartheta }{2}}}}\mathrm {d} \Omega }$.

So ergibt sich für die Wahrscheinlichkeit

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} N}{N}}=zx{\frac {Z_{1}^{2}Z_{2}^{2}e^{4}}{256\pi ^{2}\varepsilon _{0}^{2}E_{\mathrm {kin} }^{2}}}\cdot {\frac {1}{\sin ^{4}{\frac {\vartheta }{2}}}}\mathrm {d} \Omega }$

Dies ist die Rutherford-Streuformel. Sie gibt an, wie hoch die Wahrscheinlichkeit für ein Teilchen ist, in den Raumwinkel ${\displaystyle \mathrm {d} \Omega }$ gestreut zu werden.

Oft wird die Streuformel mit Hilfe des differentiellen Wirkungsquerschnitts ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \Omega }}}$ angegeben. Er ist ein Maß für die gleiche Wahrscheinlichkeit.

Es gilt

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} N}{N}}={\frac {\mathrm {d} \sigma }{\sigma }}=z\cdot x\cdot \mathrm {d} \sigma }$

und damit

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \Omega }}={\frac {Z_{1}^{2}Z_{2}^{2}e^{4}}{256\pi ^{2}\varepsilon _{0}^{2}E_{\mathrm {kin} }^{2}}}\cdot {\frac {1}{\sin ^{4}{\frac {\vartheta }{2}}}}=\left({\frac {Z_{1}Z_{2}e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}\cdot 4\cdot E_{\mathrm {kin} }}}\right)^{2}\cdot {\frac {1}{\sin ^{4}{\frac {\vartheta }{2}}}}.}$

Bemerkungen

1. ${\displaystyle \vartheta =0}$ ist nicht definiert, da es einen minimalen Ablenkwinkel ${\displaystyle \vartheta _{\mathrm {min} }}$ gibt. Dieser wird angenommen, wenn sich das Alphateilchen im Abstand ${\displaystyle b=b_{\mathrm {max} }}$ vom Atom, also am Rand der kreisförmigen Wirkungsquerschnittsfläche bewegt. Für einen größeren Stoßparameter ${\displaystyle b}$ befindet sich das Alphateilchen im Streufeld des Nachbaratoms und der Ablenkwinkel nimmt wieder zu.
   Dabei gilt:

   ${\displaystyle \sigma ={\frac {A}{n}}=b_{\mathrm {max} }^{2}\cdot \pi }$
   und

   ${\displaystyle \tan {\frac {\vartheta _{\mathrm {min} }}{2}}={\frac {Z_{1}Z_{2}e^{2}}{8\pi \varepsilon _{0}E_{\mathrm {kin} }\cdot b_{\mathrm {max} }}}}$.

2. Das Integral über die Wahrscheinlichkeitsverteilung ${\displaystyle P(\vartheta )\mathrm {d} \vartheta }$ ergibt 1

   ${\displaystyle \int _{\vartheta _{\mathrm {min} }}^{\pi }{P(\vartheta )\mathrm {d} \vartheta }=1}$

3. Ähnliches gilt für die Flächenintegrale

   ${\displaystyle \int _{\vartheta \geqslant \vartheta _{\mathrm {min} }}{zx{\frac {Z_{1}^{2}Z_{2}^{2}e^{4}}{256\pi ^{2}\varepsilon _{0}^{2}E_{\mathrm {kin} }^{2}}}\cdot {\frac {1}{\sin ^{4}{\frac {\vartheta }{2}}}}\mathrm {d} \Omega }=1}$
   und

   ${\displaystyle \int _{\vartheta \geqslant \vartheta _{\mathrm {min} }}\left({\frac {Z_{1}Z_{2}e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}\cdot 4\cdot E_{\mathrm {kin} }}}\right)^{2}\cdot {\frac {1}{\sin ^{4}{\frac {\vartheta }{2}}}}\mathrm {d} \Omega =\sigma }$

• Rutherford Backscattering Spectrometry

• E. Rutherford, The Scattering of α and β Particles by Matter and the Structure of the Atom, Philosophical Magazine. Series 6, 21 (May 1911) p. 669–688 (PDF, Kurzfassung)
• H. Geiger, E. Marsden: On a Diffuse Reflection of the α-Particles (Memento vom 24. April 2008 im Internet Archive), Proceedings of the Royal Society 82A (1909), p. 495–500
• H. Geiger, E. Marsden: LXI. The Laws of Deflexion of a Particles through Large Angles, Philosophical Magazine 25 (1913), p. 604–623
• Gerthsen, Kneser, Vogel: Physik, 16. Auflage, S. 630–633, Springer-Verlag

Commons: Geiger-Marsden experiment – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

• LP - Rutherfordsches Streuexperiment (inkl. Skizzen, Fotos, Video und Literaturhinweisen)
• Rutherfordexperiment auf Schülerniveau (LEIFIphysik)

1. ↑ Wolfgang Demtröder: Experimentalphysik 3: Atome, Moleküle und Festkörper. Springer Berlin Heidelberg, 2016, ISBN 978-3-662-49094-5, S. 64 (google.com). 
2. ↑ Eckhard Ignatowitz: Chemie für Schule und Beruf: ein Lehr- und Lernbuch. 5. Auflage. Verl. Europa-Lehrmittel Nourney, Vollmer, Haan-Gruiten 2014, ISBN 978-3-8085-7056-2. 
3. ↑ Jörn Bleck-Neuhaus: Elementare Teilchen: von den Atomen über das Standard-Modell bis zum Higgs-Boson. 2. Auflage. Springer Spektrum, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-32578-6. , Kap. 5